Законы Мерсенн в являются законы , описывающие частоту от колебаний натянутой струны или монохорда , [1] полезны в музыкальной настройки и музыкального инструмента конструкции .
Обзор
Уравнение было впервые предложено французским математиком и теоретиком музыки Марином Мерсенном в его работе 1636 года Harmonie universelle . [2] Законы Мерсенна регулируют конструкцию и работу струнных инструментов , таких как пианино и арфы , которые должны учитывать общую силу натяжения, необходимую для поддержания правильной высоты звука струн. Нижние струны толще, а значит, имеют большую массу на единицу длины. У них обычно более низкое напряжение . Гитары - знакомое исключение из этого правила: натяжение струн одинаково для удобства игры, поэтому более низкий шаг струны в основном достигается за счет увеличения массы на длину. [примечание 1] Струны с более высоким тоном обычно тоньше, имеют большее натяжение и могут быть короче. «Этот результат существенно не отличается от результата Галилея , но он по праву известен как закон Мерсенна», потому что Мерсенн физически доказал их истинность посредством экспериментов (в то время как Галилей считал их доказательство невозможным). [3] «Мерсенн исследовал и уточнил эти отношения экспериментально, но не сам их создавал». [4] Хотя его теории верны, его измерения не очень точны, а его расчеты были значительно улучшены Жозефом Совером (1653–1716) за счет использования акустических ударов и метрономов . [5]
Уравнения
Собственная частота равна:
- а) наоборот пропорциональна к длине струны (закон Пифагора [1] ),
- б) пропорционально квадратному корню из растягивающей силы, и
- в) обратно пропорционально квадратному корню из массы на единицу длины.
- (уравнение 26)
- (уравнение 27)
- (уравнение 28)
Так, например, при прочих равных свойствах струны, чтобы сделать ноту на октаву выше (2/1), нужно либо уменьшить ее длину наполовину (1/2), либо увеличить натяжение до квадрата ( 4), либо уменьшить его массу на единицу длины на обратный квадрат (1/4).
Гармоники | Длина, | Напряжение, | или масса |
---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 1/2 = 0,5 | 2² = 4 | 1 / 2² = 0,25 |
3 | 1/3 = 0. 33 | 3² = 9 | 1 / 3² = 0. 11 |
4 | 1/4 = 0,25 | 4² = 16 | 1 / 4² = 0,0625 |
8 | 1/8 = 0,125 | 8² = 64 | 1 / 8² = 0,015625 |
Эти законы получены из уравнения 22 Мерсенна: [6]
Формула для основной частоты является:
где f - частота, L - длина, F - сила, а μ - масса на единицу длины.
Подобные законы не были разработаны для труб и духовых инструментов одновременно, поскольку законы Мерсенна предшествовали концепции высоты звука духовых инструментов , зависящей от продольных волн, а не от «перкуссии». [3]
Смотрите также
Заметки
- ^ Масса обычно добавляется за счет увеличения площади поперечного сечения. Это увеличивает силовую постоянную струны (k). Более высокое значение k не влияет на высоту звука как таковую , но удары струны растягивают ее в дополнение к ее укорачиванию, а увеличение высоты звука из-за растяжения больше для более высоких значений k. Таким образом, интонация требует большей компенсации для нижних струн и (что заметно) для стали по сравнению с нейлоном. Этот эффект по-прежнему применяется к струнам, у которых масса увеличивается с обмотками, хотя и в меньшей степени, потому что сердечник, поддерживающий натяжение струны, обычно должен быть большего размера, чтобы выдерживать большие массы обмотки.
Рекомендации
- ^ a b c d Джинсы, Джеймс Хопвуд (1937/1968). Наука и музыка , стр 62-4. Дувр. ISBN 0-486-61964-8 . Цитируется в " Законах Мерсенна ", Wolfram.com
- ^ Мерсенн, Марин (1636). Harmonie universelle [ нужна страница ] . Цитируется в « Законах Мерсенна », Wolfram.com .
- ^ а б Коэн, HF (2013). Количественная оценка музыки: музыкальная наука на первом этапе научной революции 1580–1650 гг. , С.101. Springer. ISBN 9789401576864 .
- ^ Gozza, Паоло; изд. (2013). Число в звук: музыкальный путь к научной революции , с.279. Springer. ISBN 9789401595780 . Гоцца ссылается на высказывания Сигалии Достровского «Теория ранних вибраций», стр.185-187.
- ^ Бейер, Роберт Томас (1999). Звуки нашего времени: двести лет акустике . Springer. стр.10. ISBN 978-0-387-98435-3 .
- Перейти ↑ Steinhaus, Hugo (1999). Математические снимки [ необходима страница ] . Дувр, ISBN 9780486409146 . Цитируется в « Законах Мерсенна », Wolfram.com .
Внешние ссылки
- СМИ, связанные с законами Мерсенна, на Викискладе?