Многомерное t -распределение

Многомерный t

Обозначение	${\displaystyle t_{\nu }({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$
Параметры	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=[\mu _{1},\dots ,\mu _{p}]^{T}}$ расположение ( вещественный вектор ) масштабная матрица ( положительно-определенная вещественная матрица ) - это степени свободы${\displaystyle p\times 1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle \nu }$
Поддерживать	${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p}\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}\left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{-(\nu +p)/2}}$
CDF	Нет аналитического выражения, но см. Текст для приближений
Иметь в виду	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$если ; еще не определено${\displaystyle \nu >1}$
Медиана	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$
Режим	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}{\boldsymbol {\Sigma }}}$если ; еще не определено${\displaystyle \nu >2}$
Асимметрия	0

В статистике , то многомерный т -распределение (или многомерное распределение Стьюдента ) является многомерным распределением вероятностей . Это обобщение случайных векторов из Стьюдента т -распределения , что распределение относится к одномерным случайным величинам . В то время как случай случайной матрицы может рассматриваться в рамках этой структуры, матричное t- распределение отличается и особенно использует матричную структуру.

Определение [ править ]

Один из распространенных методов построения многомерного t- распределения для случая измерений основан на наблюдении, что если и независимы и распределены как и (то есть многомерное нормальное распределение и распределение хи-квадрат ) соответственно, матрица представляет собой p  ×  p матрица, а затем имеет плотность${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle u}$${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathbf {0} },{\boldsymbol {\Sigma }})}$${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } \,}$${\displaystyle {\mathbf {y} }/{\sqrt {u/\nu }}={\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle {\mathbf {x} }}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}\left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{-(\nu +p)/2}}$

и называется многомерным t- распределением с параметрами . Обратите внимание, что это не ковариационная матрица, поскольку ковариация определяется выражением (для ).${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\mu }},\nu }$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$${\displaystyle \nu /(\nu -2)\mathbf {\Sigma } }$${\displaystyle \nu >2}$

В частном случае распределение является многомерным распределением Коши .${\displaystyle \nu =1}$

Вывод [ править ]

Есть на самом деле много кандидатов для многомерного обобщения Стьюдента т -распределения . Обширный обзор месторождения был дан Котцем и Надараджей (2004). Существенный вопрос состоит в том, чтобы определить функцию плотности вероятности нескольких переменных, которая является подходящим обобщением формулы для одномерного случая. В одном измерении ( ), с и , мы имеем функцию плотности вероятности${\displaystyle p=1}$${\displaystyle t=x-\mu }$${\displaystyle \Sigma =1}$

${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma [(\nu +1)/2]}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma [\nu /2]}}(1+t^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}}$

и один из подходов - записать соответствующую функцию от нескольких переменных. Это основная идея теории эллиптического распределения , в которой записывается соответствующая функция переменных, которая заменяется квадратичной функцией всех . Ясно, что это имеет смысл только тогда, когда все маргинальные распределения имеют одинаковые степени свободы . Имеется простой выбор многомерной функции плотности${\displaystyle p}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle t^{2}}$${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mathbf {A} ={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}}$

${\displaystyle f(\mathbf {t} )={\frac {\Gamma ((\nu +p)/2)\left|\mathbf {A} \right|^{1/2}}{{\sqrt {\nu ^{p}\pi ^{p}\,}}\,\Gamma (\nu /2)}}\left(1+\sum _{i,j=1}^{p,p}A_{ij}t_{i}t_{j}/\nu \right)^{-(\nu +p)/2}}$

который является стандартным, но не единственным выбором.

Важным частным случаем является стандартное двумерное t -распределение, p = 2:

${\displaystyle f(t_{1},t_{2})={\frac {\left|\mathbf {A} \right|^{1/2}}{2\pi }}\left(1+\sum _{i,j=1}^{2,2}A_{ij}t_{i}t_{j}/\nu \right)^{-(\nu +2)/2}}$

Обратите внимание на это .${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\pi \ \nu \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}={\frac {1}{2\pi }}}$

Теперь, если - единичная матрица, плотность равна${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle f(t_{1},t_{2})={\frac {1}{2\pi }}\left(1+(t_{1}^{2}+t_{2}^{2})/\nu \right)^{-(\nu +2)/2}.}$

Сложность со стандартным представлением раскрывается этой формулой, которая не факторизуется в произведение маргинальных одномерных распределений. При диагональном представлении можно показать, что стандартное представление имеет нулевую корреляцию, но маргинальные распределения не согласуются со статистической независимостью .${\displaystyle \Sigma }$

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Определение кумулятивной функции распределения (cdf) в одном измерении может быть расширено до нескольких измерений путем определения следующей вероятности (вот действительный вектор):${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle F(\mathbf {x} )=\mathbb {P} (\mathbf {X} \leq \mathbf {x} ),\quad {\textrm {where}}\;\;\mathbf {X} \sim t_{\nu }({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}).}$

Нет простой формулы для , но ее можно аппроксимировать численно с помощью интегрирования Монте-Карло . ^{[1] [2]}${\displaystyle F(\mathbf {x} )}$

Копулы, основанные на многомерном t [ править ]

Использование таких распределений вновь вызывает интерес в связи с приложениями в области математических финансов , особенно за счет использования t- копулы Стьюдента . ^{[ необходима цитата ]}

Понятия, связанные с данным [ править ]

В одномерные статистики, в Стьюдента т -TEST использует Стьюдента т -распределения . Распределение Т- квадрата Хотеллинга - это распределение, которое возникает в многомерной статистике. Матрица т -распределении является распределение для случайных величин , расположенных в матричной структуре.

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

См. Также [ править ]

• Многомерное нормальное распределение , которое является частным случаем многомерного t-распределения Стьюдента, когда .${\displaystyle \nu \uparrow \infty }$
• Распределение Хи , pdf коэффициента масштабирования при построении t-распределения Стьюдента, а также 2-норма (или евклидова норма ) многомерного нормально распределенного вектора (с центром в нуле).
• Расстояние Махаланобиса

Ссылки [ править ]

Литература [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Методы копулы против канонических многомерных распределений: многомерное T-распределение Стьюдента с общими степенями свободы
• Многовариантное t- распределение Стьюдента