Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В статистике , то многомерный т -распределение (или многомерное распределение Стьюдента ) является многомерным распределением вероятностей . Это обобщение случайных векторов из Стьюдента т -распределения , что распределение относится к одномерным случайным величинам . В то время как случай случайной матрицы может рассматриваться в рамках этой структуры, матричное t- распределение отличается и особенно использует матричную структуру.

Определение [ править ]

Один из распространенных методов построения многомерного t- распределения для случая измерений основан на наблюдении, что если и независимы и распределены как и (то есть многомерное нормальное распределение и распределение хи-квадрат ) соответственно, матрица представляет собой p  ×  p матрица, а затем имеет плотность

и называется многомерным t- распределением с параметрами . Обратите внимание, что это не ковариационная матрица, поскольку ковариация определяется выражением (для ).

В частном случае распределение является многомерным распределением Коши .

Вывод [ править ]

Есть на самом деле много кандидатов для многомерного обобщения Стьюдента т -распределения . Обширный обзор месторождения был дан Котцем и Надараджей (2004). Существенный вопрос состоит в том, чтобы определить функцию плотности вероятности нескольких переменных, которая является подходящим обобщением формулы для одномерного случая. В одном измерении ( ), с и , мы имеем функцию плотности вероятности

и один из подходов - записать соответствующую функцию от нескольких переменных. Это основная идея теории эллиптического распределения , в которой записывается соответствующая функция переменных, которая заменяется квадратичной функцией всех . Ясно, что это имеет смысл только тогда, когда все маргинальные распределения имеют одинаковые степени свободы . Имеется простой выбор многомерной функции плотности

который является стандартным, но не единственным выбором.

Важным частным случаем является стандартное двумерное t -распределение, p = 2:

Обратите внимание на это .

Теперь, если - единичная матрица, плотность равна

Сложность со стандартным представлением раскрывается этой формулой, которая не факторизуется в произведение маргинальных одномерных распределений. При диагональном представлении можно показать, что стандартное представление имеет нулевую корреляцию, но маргинальные распределения не согласуются со статистической независимостью .

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Определение кумулятивной функции распределения (cdf) в одном измерении может быть расширено до нескольких измерений путем определения следующей вероятности (вот действительный вектор):

Нет простой формулы для , но ее можно аппроксимировать численно с помощью интегрирования Монте-Карло . [1] [2]

Копулы, основанные на многомерном t [ править ]

Использование таких распределений вновь вызывает интерес в связи с приложениями в области математических финансов , особенно за счет использования t- копулы Стьюдента . [ необходима цитата ]

Понятия, связанные с данным [ править ]

В одномерные статистики, в Стьюдента т -TEST использует Стьюдента т -распределения . Распределение Т- квадрата Хотеллинга - это распределение, которое возникает в многомерной статистике. Матрица т -распределении является распределение для случайных величин , расположенных в матричной структуре.

См. Также [ править ]

  • Многомерное нормальное распределение , которое является частным случаем многомерного t-распределения Стьюдента, когда .
  • Распределение Хи , pdf коэффициента масштабирования при построении t-распределения Стьюдента, а также 2-норма (или евклидова норма ) многомерного нормально распределенного вектора (с центром в нуле).
  • Расстояние Махаланобиса

Ссылки [ править ]

  1. ^ Ботев, ЗИ; L'Ecuyer, P. (6 декабря 2015 г.). «Эффективная оценка вероятности и моделирование усеченного многомерного распределения Стьюдента». Зимняя симуляционная конференция 2015 г. (WSC) . Хантингтон-Бич, Калифорния, США: IEEE. С. 380–391. DOI : 10,1109 / WSC.2015.7408180 .
  2. ^ Genz, Алан (2009). Вычисление многомерных нормальных и t-вероятностей . Springer. ISBN 978-3-642-01689-9.

Литература [ править ]

  • Коц, Самуэль; Надараджа, Саралис (2004). Многомерные t- распределения и их приложения . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521826549.
  • Керубини, Умберто; Лучано, Элиза; Веккьято, Вальтер (2004). Связочные методы в финансах . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0470863442.

Внешние ссылки [ править ]

  • Методы копулы против канонических многомерных распределений: многомерное T-распределение Стьюдента с общими степенями свободы
  • Многовариантное t- распределение Стьюдента