В теории портфеля , в теореме взаимного фонда разделения , теоремах взаимного фонда , или разделении теоремы является теорема о том , что при определенных условиях, оптимальный портфель любого инвестора может быть построен путем проведения каждого из определенных взаимных фондовв соответствующих соотношениях, когда количество паевых инвестиционных фондов меньше количества отдельных активов в портфеле. Здесь взаимный фонд относится к любому указанному эталонному портфелю доступных активов. Теорема о взаимном фонде дает два преимущества. Во-первых, при соблюдении соответствующих условий инвестору может быть проще (или снизить транзакционные издержки) для инвестора приобрести меньшее количество паевых инвестиционных фондов, чем покупать большее количество активов по отдельности. Во-вторых, с теоретической и эмпирической точки зрения, если можно предположить, что соответствующие условия действительно выполнены, то можно вывести и протестировать последствия для функционирования рынков активов.
Разделение портфеля в анализе среднего отклонения
Портфели можно анализировать в рамках модели среднего отклонения , при этом каждый инвестор владеет портфелем с наименьшей возможной дисперсией доходности, соответствующей выбранному этим инвестору уровню ожидаемой доходности (так называемый портфель с минимальной дисперсией ), если доходность активов в совокупности эллиптическая. распределены , включая особый случай, когда они совместно нормально распределены . [1] [2] При анализе средней дисперсии можно показать [3], что каждый портфель с минимальной дисперсией при определенной ожидаемой доходности (то есть каждый эффективный портфель) может быть сформирован как комбинация любых двух эффективных портфелей. Если оптимальный портфель инвестора имеет ожидаемую доходность, которая находится между ожидаемой доходностью двух эффективных эталонных портфелей, то этот портфель инвестора можно охарактеризовать как состоящий из положительных количеств двух эталонных портфелей.
Нет безрискового актива
Чтобы увидеть разделение двух фондов в контексте, в котором нет доступных безрисковых активов, используя матричную алгебру , позвольте - дисперсия доходности портфеля, пусть - уровень ожидаемой доходности портфеля, при котором дисперсия доходности портфеля должна быть минимизирована в зависимости от того, пусть - вектор ожидаемой доходности имеющихся активов, пусть - вектор сумм, которые будут размещены в доступных активах, пусть быть количеством богатства, которое должно быть распределено в портфеле, и пусть быть вектором единиц. Тогда проблема минимизации дисперсии доходности портфеля при заданном уровне ожидаемой доходности портфеля может быть сформулирована как
- Минимизировать
- при условии
- а также
где верхний индекс обозначает транспонирование матрицы. Дисперсию доходности портфеля в целевой функции можно записать как где является положительно определенной ковариационной матрицей доходности отдельных активов. Лагранжиан для этой задачи оптимизации (чей второго порядка условия могут быть показаны быть удовлетворены) является
с множителями Лагранжа а также . Это можно решить для оптимального вектораколичества активов, приравняв к нулю производные по, , а также , предварительно решая условие первого порядка для с точки зрения а также , подставляя в другие условия первого порядка, решая для а также с точки зрения параметров модели, и подставив обратно в предварительное решение для . Результат
где
Для простоты это можно записать более компактно как
где а также - векторы параметров, основанные на параметрах базовой модели. Теперь рассмотрим два эталонных эффективных портфеля, построенных с эталонной ожидаемой доходностью. а также и, таким образом, дается
а также
Оптимальный портфель при произвольной затем можно записать как средневзвешенное значение а также следующим образом:
Это уравнение доказывает теорему о разделении двух фондов для анализа средней дисперсии. Для геометрической интерпретации см. Пулю Марковица .
Один безрисковый актив
Если доступен безрисковый актив , снова применяется теорема разделения двух фондов; но в этом случае один из «фондов» может быть выбран как очень простой фонд, содержащий только безрисковый актив, а другой фонд может быть выбран как тот, который содержит нулевые авуары безрискового актива. (С безрисковым активом, называемым «деньгами», эта форма теоремы упоминается как теорема денежного разделения .) Таким образом, эффективные по средней дисперсии портфели могут быть сформированы просто как комбинация владений безрискового актива и авуары конкретного эффективного фонда, который содержит только рискованные активы. Однако приведенный выше вывод не применяется, поскольку для безрискового актива указанная выше ковариационная матрица всех доходов активов,, будет иметь одну строку и один столбец нулей и, следовательно, не будет обратимым. Вместо этого проблема может быть установлена как
- Минимизировать
- при условии
где известная доходность безрискового актива, теперь вектор количества рискованных активов, и- вектор ожидаемой доходности рискованных активов. Левая часть последнего уравнения - это ожидаемая доходность портфеля, поскольку- это количество, содержащееся в безрисковом активе, что включает ограничение на добавление активов, которое в более ранней задаче требовало включения отдельного лагранжевого ограничения. Целевая функция может быть записана как, где сейчас является ковариационной матрицей только рискованных активов. Можно показать, что эта оптимизационная задача дает оптимальный вектор владений рискованными активами.
Конечно, это равняется нулевому вектору, если , доходность безрискового портфеля, и в этом случае все богатство хранится в безрисковом активе. Можно показать, что портфель с нулевыми запасами безрискового актива находится на и дается
Также можно показать (аналогично демонстрации в приведенном выше случае с двумя взаимными фондами), что вектор рискованных активов каждого портфеля (т. Е. для каждого значения ) может быть сформирована как взвешенная комбинация последнего вектора и нулевого вектора. Для геометрической интерпретации см. Границу эффективности без безрисковых активов .
Разделение портфеля без анализа среднего отклонения
Если у инвесторов есть гиперболическое абсолютное неприятие риска (HARA) (включая степенную функцию полезности , логарифмическую функцию и экспоненциальную функцию полезности ), теоремы разделения могут быть получены без использования анализа средней дисперсии. Например, Дэвид Касс и Джозеф Стиглиц [4] показали в 1970 году, что разделение денег на два фонда применимо, если все инвесторы имеют полезность HARA с одинаковым показателем степени. [5] : гл.4
Совсем недавно в динамической модели оптимизации портфеля Чанакоглу и Озекичи [6] уровень первоначального богатства инвестора (отличительная черта инвесторов) не влияет на оптимальный состав рискованной части портфеля. Аналогичный результат дает Шмеддерс. [7]
Рекомендации
- ^ Чемберлен, G (1983). «Характеристика распределений, которые подразумевают функции полезности средней дисперсии». Журнал экономической теории . 29 : 185–201. DOI : 10.1016 / 0022-0531 (83) 90129-1 .
- ^ Owen, J .; Рабинович, Р. (1983). «О классе эллиптических распределений и их приложениях к теории выбора портфеля». Журнал финансов . 38 (3): 745–752. DOI : 10.1111 / j.1540-6261.1983.tb02499.x .
- ^ Мертон, Роберт ; Сентябрь (1972 г.). «Аналитический вывод эффективных границ портфеля» (PDF) . Журнал финансового и количественного анализа . 7 (4): 1851–1872. DOI : 10.2307 / 2329621 . ЛВП : 1721,1 / 46832 . JSTOR 2329621 .
- ^ Кэсс, Дэвид; Стиглиц, Джозеф (1970). «Структура предпочтений инвесторов и доходности активов, а также возможность разделения портфеля». Журнал экономической теории . 2 (2): 122–160. DOI : 10.1016 / 0022-0531 (70) 90002-5 .
- ↑ Хуанг, Чи-фу и Роберт Х. Литценбергер, Основы финансовой экономики , Северная Голландия, 1988.
- ^ Чанакоглу, Этхем; Озекичи, Сулейман (2010). «Выбор портфеля на стохастических рынках с функциями полезности HARA». Европейский журнал операционных исследований . 201 (2): 520–536. DOI : 10.1016 / j.ejor.2009.03.017 .
- ^ Schmedders, Карл Х. (15 июня 2006) "Разделение Два фонда в динамическом общем равновесии," SSRN Working Paper Series. https://ssrn.com/abstract=908587