Отрицание

---

В логике отрицание , также называемое логическим дополнением , представляет собой операцию , которая переводит одно предложение в другое предложение «не », «написано» или « не» . Интуитивно интерпретируется как истинное, когда ложное, и ложное, когда истинное. ^{[1] [2]} Таким образом, отрицание является унарной логической связкой . Его можно применять как операцию над понятиями , предложениями , значениями истинности или семантическими значениями в более общем смысле. В классической логике${\ Displaystyle Р}$${\ Displaystyle Р}$${\ Displaystyle \ отр Р}$${\ displaystyle {\ mathord {\ sim}} P}$${\ displaystyle {\ overline {P}}}$${\ Displaystyle Р}$${\ Displaystyle Р}$ , отрицание обычно отождествляется с функцией истины , переводящей истину в ложь (и наоборот). В интуиционистской логике , согласно интерпретации Брауэра-Гейтинга-Колмогорова , отрицанием предложения является предложение, доказательства которого являются опровержениями .${\ Displaystyle Р}$${\ Displaystyle Р}$

Классическое отрицание — это операция над одним логическим значением , обычно значением суждения , которая производит значение true , когда его операнд ложен, и значение false , когда его операнд истинен. Таким образом, если утверждение Р истинно, то (произносится как «не Р») будет ложным; и наоборот, если ложно, то P будет истинным.${\ Displaystyle \ отр Р}$${\ Displaystyle \ отр Р}$

Таблица истинности выглядит следующим образом:${\ Displaystyle \ отр Р}$

Отрицание может быть определено в терминах других логических операций. Например, можно определить как (где - логическое следствие , а - абсолютная ложь ). И наоборот, можно определить as для любого предложения Q (где логическая конъюнкция ). Идея здесь состоит в том, что любое противоречие ложно, и хотя эти идеи работают как в классической, так и в интуиционистской логике, они не работают в паранепротиворечивой логике , где противоречия не обязательно ложны. В классической логике мы также получаем еще одно тождество, которое можно определить как , где${\ Displaystyle \ отр Р}$${\ Displaystyle Р \ стрелка вправо \ бот}$${\ Displaystyle \ стрелка вправо}$${\ Displaystyle \ бот}$${\ Displaystyle \ бот}$${\ Displaystyle Q \ земля \ отрицательный Q}$${\ Displaystyle \ земля}$${\ Displaystyle Р \ стрелка вправо Q}$${\ Displaystyle \ отрицательный Р \ лор Q}$${\ Displaystyle \ лор}$логическое расхождение .

Алгебраически классическое отрицание соответствует дополнению в булевой алгебре , а интуиционистское отрицание — псевдодополнению в алгебре Гейтинга . Эти алгебры обеспечивают семантику для классической и интуиционистской логики соответственно.

Отрицание предложения p обозначается по-разному, в различных контекстах обсуждения и областях применения. В следующей таблице описаны некоторые из этих вариантов:

---