Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Статуи Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница во дворе музея естественной истории Оксфордского университета , коллаж

Исчисление полемика ( немецкий : Prioritätsstreit , «приоритет споров») был спор между математиками Исаак Ньютон и Лейбниц над первым , кто изобрел исчисление . Этот вопрос был серьезным интеллектуальным спором, который разгорелся в 1699 году и разгорелся в полную силу в 1711 году. Лейбниц первым опубликовал свою работу, но сторонники Ньютона обвинили Лейбница в плагиате неопубликованных идей Ньютона. Лейбниц умер в немилости в 1716 году после того, как его покровитель, курфюрст Георг Людвиг Ганноверский, стал королем Великобритании Георгом I в 1714 году. Современное мнение сводится к тому, что эти двое мужчин развивали свои идеи независимо.

Ньютон утверждал, что начал работать над формой исчисления (которую он назвал « методом флюксий и плавных движений ») в 1666 году, в возрасте 23 лет, но не опубликовал ее, за исключением небольшой аннотации на обратной стороне одного из своих публикации спустя десятилетия (соответствующая рукопись Ньютона за октябрь 1666 г. теперь опубликована среди его математических работ [1] ). Готфрид Лейбниц начал работать над своим вариантом исчисления в 1674 году, а в 1684 году опубликовал свою первую статью, в которой он использовался, « Nova Methodus pro Maximis et Minimis ». L'Hôpital опубликовал текст по исчислению Лейбница в 1696 году (в котором он признал, что Принципы Ньютона1687 г. был «почти полностью посвящен этому исчислению»). Между тем, Ньютон, хотя и объяснил свою (геометрическую) форму исчисления в Разделе I Книги I Принципов 1687 г. [2] , не объяснил свою возможную флюксионную нотацию для исчисления [3] в печати до 1693 г. (частично) и 1704 г. (полностью).

Научный приоритет в 17 веке [ править ]

В XVII веке, как и в настоящее время, большое значение для ученых имел вопрос научного приоритета . Однако в этот период научные журналы только начали появляться, а общепринятый механизм фиксации приоритета путем публикации информации об открытии еще не сформировался. Среди методов, используемых учеными, были анаграммы , запечатанные конверты, помещенные в безопасное место, переписка с другими учеными или личное сообщение. Письмо основателя Французской академии наук , Мерсенны для французского ученого, или секретарь Лондонского королевского общества , Генри Ольденбургдля английского практически имеет статус опубликованной статьи. Первооткрыватель, помимо обретения славы, избавился от необходимости доказывать, что его результат не был получен с помощью плагиата . Также практическое значение могло иметь приоритет, если бы оно было связано с изобретением новых технических устройств. Широко распространенная стратегия нападения на приоритет заключалась в том, чтобы объявить открытие или изобретение не главным достижением, а всего лишь улучшением, используя известные всем техники и, следовательно, не требующие значительного мастерства их автора. [4]

С именем Лейбница связана серия громких споров о научном приоритете XVII века - эпохи, которую американский историк науки Д. Мели назвал «золотым веком грязных споров о приоритетах» . Первый из них произошел в начале 1673 года, во время его первого визита в Лондон, когда в присутствии известного математика Джона Пелла он представил свой метод приближения рядов разностями . На замечание Пелля , что это открытие уже было сделано Франсуа Regnaud и опубликованной в 1670 году в Лионе по Габриэль Мутон , Лейбниц ответил на следующий день. [5] [6]В письме в Ольденбург он написал, что, просмотрев книгу Мутона, он признает, что Пелл был прав, но в свою защиту он может предоставить свои черновые записи, которые содержат нюансы, не обнаруженные Рено и Мутоном. Таким образом, была доказана честность Лейбница, но в данном случае его вспомнили позже. [7] [8] Во время того же визита в Лондон Лейбниц был в противоположной позиции. 1 февраля 1673 года на заседании Лондонского королевского общества он продемонстрировал свой механический калькулятор.. Куратор экспериментов Общества Роберт Хук внимательно осмотрел устройство и даже снял для этого заднюю крышку. Несколько дней спустя, в отсутствие Лейбница, Хук раскритиковал машину немецкого ученого, заявив, что он может сделать более простую модель. Лейбниц, узнав об этом, вернулся в Париж и категорически отверг утверждение Гука в письме в Ольденбург и сформулировал принципы правильного научного поведения: «Мы знаем, что респектабельные и скромные люди предпочитают, когда они думают о чем-то, что согласуется с тем, что кто-то сделал. другие открытия приписывают первооткрывателю свои собственные улучшения и дополнения, чтобы не вызывать подозрений в интеллектуальной нечестности, и стремление к истинной щедрости должно преследовать их вместо лживой жажды нечестной выгоды ".Чтобы проиллюстрировать правильное поведение, Лейбниц приводит примерНиколя-Клод Фабри де Пайреск и Пьер Гассенди , которые выполнили астрономические наблюдения, аналогичные тем, которые были сделаны ранее Галилео Галилеем и Иоганнесом Гевелиусом соответственно. Узнав, что они не сделали свои открытия первыми, французские ученые передали свои данные первооткрывателям. [9]

Подход Ньютона к проблеме приоритета можно проиллюстрировать на примере открытия закона обратных квадратов применительно к динамике тел, движущихся под действием силы тяжести . Основываясь на анализе законов Кеплера и собственных расчетах, Роберт Гук сделал предположение, что движение в таких условиях должно происходить по орбитам, подобным эллиптическим . Не имея возможности строго доказать это утверждение, он сообщил об этом Ньютону. Не вступая далее в переписку с Гуком, Ньютон решил эту проблему, а также обратную к ней, доказав, что закон обратных квадратов следует из эллиптичности орбит. Это открытие было изложено в его знаменитой работе.Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica без указания имени Гука. По настоянию астронома Эдмунда Галлея , которому рукопись была передана для редактирования и публикации, в текст была включена фраза о том, что соответствие первого закона Кеплера закону обратных квадратов было «независимо одобрено Реном , Гуком и Галлеем. . " [10]

По замечанию Владимира Арнольда , Ньютон, выбирая между отказом публиковать свои открытия и постоянной борьбой за приоритет, выбрал их обоих. [11]


Фон [ править ]

Изобретение дифференциального и интегрального исчисления [ править ]

Основная статья: История исчисления
Дифференциальный треугольник Паскаля

Ко времени Ньютона и Лейбница европейские математики уже внесли значительный вклад в формирование идей математического анализа. Разработкой древнего « метода истощения » для расчета площадей и объемов занимались голландец Симон Стевин (1548–1620), итальянец Лука Валерио (1553–1618), немец Иоганн Кеплер (1571–1630) . Идеи последнего, по-видимому, повлияли - напрямую или через Галилео Галилея - на « метод неделимых », разработанный Бонавентурой Кавальери (1598–1647). [12]

Последние годы жизни Лейбница, 1710–1716 гг., Были озлоблены долгими спорами с Джоном Кейлом , Ньютоном и другими о том, открыл ли Лейбниц исчисление независимо от Ньютона или же он просто изобрел другие обозначения для идей, которые в основе своей были ньютоновскими. . Ни один участник не сомневался, что Ньютон уже разработал свой метод флюксий.когда Лейбниц начал работать над дифференциальным исчислением, но, казалось, не было никаких доказательств, кроме слов Ньютона. Он опубликовал расчет касательной с примечанием: «Это лишь частный случай общего метода, с помощью которого я могу рассчитывать кривые и определять максимумы, минимумы и центры тяжести». Как это было сделано, он объяснил ученику целых 20 лет спустя, когда статьи Лейбница были уже начитаны. Рукописи Ньютона стали известны только после его смерти.

Исчисление бесконечно малых может быть выражено либо в нотации флюксий, либо в нотации дифференциалов , или, как отмечалось выше, оно также было выражено Ньютоном в геометрической форме, как в Принципах 1687 года. Ньютон использовал флюксии еще в 1666 году, но не публиковал отчет о своих обозначениях до 1693 года. Самое раннее использование дифференциалов в записных книжках Лейбница можно проследить до 1675 года. Он использовал это обозначение в письме к Ньютону 1677 года. Дифференциальная запись также появилась в мемуарах Лейбница 1684 года.

Утверждение, что Лейбниц изобрел исчисление независимо от Ньютона, основывается на том, что Лейбниц:

  1. опубликовал описание своего метода за несколько лет до того, как Ньютон напечатал что-либо о флюксиях,
  2. всегда называл это открытие его собственным изобретением (это утверждение оставалось неизменным в течение нескольких лет),
  3. пользовался сильным предположением, что действовал добросовестно, и
  4. продемонстрировал в своих частных статьях свое развитие идей исчисления способом, независимым от пути, избранного Ньютоном.

По мнению противников Лейбница, тот факт, что претензии Лейбница не оспаривались в течение нескольких лет, несущественен. Чтобы опровергнуть этот случай, достаточно показать, что он:

  • видел некоторые работы Ньютона по этому поводу до 1675 года или до 1677 года, и
  • получил основные идеи исчисления из этих работ.

Не было предпринято никаких попыток опровергнуть № 4, который не был известен в то время, но который предоставляет наиболее убедительные доказательства того, что Лейбниц пришел к исчислению независимо от Ньютона. Это свидетельство, однако, все еще вызывает сомнения на основании открытия, сделанного в ходе расследования и после того, что Лейбниц как задним числом, так и изменил основы своих «оригинальных» заметок, не только в этом интеллектуальном конфликте, но и в нескольких других. [13] Он также опубликовал «анонимные» клеветы на Ньютона относительно их разногласий, в которых он первоначально пытался заявить, что не был автором. [13]

Если, тем не менее, предполагается добросовестность, заметки Лейбница, представленные в ходе расследования, сначала касались интегрирования , которое он рассматривал как обобщение суммирования бесконечных рядов, тогда как Ньютон начинал с производных. Однако, если рассматривать развитие исчисления как полностью независимое от работ Ньютона и Лейбница, упускается из виду, что оба они имели некоторое представление о методах друг друга (хотя Ньютон действительно разработал большинство основных принципов до того, как начал Лейбниц) и фактически работали вместе над несколько аспектов, в частности степенные ряды , как показано в письме Генри Ольденбургу от 24 октября 1676 г., где Ньютон отмечает, что Лейбниц разработал ряд методов, один из которых был для него новым. [14] И Лейбниц, и Ньютон могли видеть из этого обмена письмами, что другой был далеко продвинулся к исчислению (Лейбниц, в частности, упоминает об этом), но только Лейбниц тем самым подтолкнул к публикации.

То, что Лейбниц видел некоторые рукописи Ньютона, всегда было вероятным. В 1849 году К.И. Герхард , просматривая рукописи Лейбница, нашел отрывки из книги Ньютона De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas (опубликованной в 1704 году как часть De Quadratura Curvarum, но также ранее распространенной среди математиков, начиная с Ньютона, давшего копию Исааку Барроу в 1669 и Барроу отправляет его Джону Коллинзу [15]) почерком Лейбница, о существовании которого ранее не подозревали, вместе с примечаниями, повторно выражающими содержание этих отрывков в дифференциальной нотации Лейбница. Следовательно, когда эти экстракты были сделаны, становится очень важным. Известно, что копия рукописи Ньютона была отправлена Эренфриду Вальтеру фон Чирнхаусу в мае 1675 года, когда он и Лейбниц сотрудничали; не исключено, что эти выписки были сделаны тогда. Также возможно, что они были сделаны в 1676 году, когда Лейбниц обсуждал анализ бесконечными рядами.с Коллинзом и Ольденбургом. Вполне вероятно, что тогда они показали бы ему рукопись Ньютона на эту тему, копия которой наверняка была у одного или обоих. С другой стороны, можно предположить, что Лейбниц сделал выдержки из печатной копии в 1704 году или после него. Незадолго до своей смерти Лейбниц признался в письме аббату Антонио Шинелле Конти , что в 1676 году Коллинз показал ему некоторые из бумаг Ньютона. , но Лейбниц также подразумевал, что они не представляли большой ценности или не имели ее вообще. Предположительно, он имел в виду письма Ньютона от 13 июня и 24 октября 1676 г. и письмо от 10 декабря 1672 г. о методе касательных , выдержки из которых сопровождали письмо от 13 июня.

Использовал ли Лейбниц рукопись, из которой он скопировал отрывки, или он ранее изобрел исчисление, - это вопросы, по которым в настоящее время нет прямых доказательств. Однако стоит отметить, что неопубликованные Портсмутские документы показывают, что, когда Ньютон в 1711 году внимательно рассмотрел весь спор, он выбрал эту рукопись как рукопись, которая, вероятно, каким-то образом попала в руки Лейбница. В то время не было прямых доказательств того, что Лейбниц видел рукопись Ньютона до того, как она была напечатана в 1704 году; следовательно, гипотеза Ньютона не была опубликована. Но открытие Герхардтом копии, сделанной Лейбницем, подтверждает ее точность. Те, кто сомневается в добросовестности Лейбница, утверждают, что для человека его способностей рукопись, особенно если она дополнена письмом от 10 декабря 1672 г.,было достаточно, чтобы дать ему ключ к пониманию методов исчисления. Поскольку рассматриваемая работа Ньютона действительно использовала флюксионную нотацию, любому, кто опирается на эту работу, пришлось бы изобрести нотацию, но некоторые это отрицают.

Развитие [ править ]

Ссора была ретроспективным делом. В 1696 году, уже через несколько лет после событий, ставших предметом ссоры, позиция все еще выглядела потенциально мирной: Ньютон и Лейбниц ограниченно признали работу друг друга, а книгу Л'Опиталь 1696 года об исчислении, написанную одним из лейбницевцев. Точка зрения также признала опубликованную работу Ньютона 1680-х годов как «почти все об этом исчислении» (« presque tout de ce calc »), отдавая предпочтение удобству обозначений Лейбница . [3]

Поначалу не было причин подозревать добросовестность Лейбница. В 1699 году Николя Фатио де Дуйе , швейцарский математик, известный своей работой по проблеме зодиакального света, обвинил Лейбница в плагиате Ньютона. [16] Только в 1704 г. был опубликован анонимный обзор трактата Ньютона по квадратуре., обзор, подразумевающий, что Ньютон заимствовал идею флюксного исчисления у Лейбница, что любой ответственный математик сомневался, что Лейбниц изобрел исчисление независимо от Ньютона. Что касается обзора квадратурной работы Ньютона, все признают, что не было никакого оправдания или авторитета для сделанных в ней утверждений, которые справедливо приписывались Лейбницу. Но последующее обсуждение привело к критическому рассмотрению всего вопроса, и возникли сомнения. Унаследовал ли Лейбниц основную идею исчисления от Ньютона? Дело против Лейбница, как показалось друзьям Ньютона, было резюмировано в Commercium Epistolicum 1712 года, в котором упоминались все обвинения. Этот документ был тщательно обработан Ньютоном.

Такого резюме (с фактами, датами и ссылками) по делу Лейбница его друзья не опубликовали; но Иоганн Бернуллипопытался косвенно ослабить свидетельство, нападая на личность Ньютона в письме от 7 июня 1713 года. Когда Бернулли требовал объяснений, он самым торжественным образом отрицал, что написал это письмо. Принимая опровержение, Ньютон добавил в частном письме Бернулли следующие замечания, заявленные Ньютоном причины его участия в споре. Он сказал: «Я никогда не цеплялся за славу среди чужих народов, но я очень хочу сохранить свой честолюбивый характер, который автор этого послания, как будто авторитетом великого судьи, пытался вырвать у меня. Теперь, когда я состарился, я мало получаю удовольствия от математических занятий и никогда не пытался распространять свои мнения по всему миру, но я старался не ввязываться в споры из-за них ".

Лейбниц в письме Конти от 9 апреля 1716 г. объяснил свое молчание следующим образом:

Чтобы ответить по пунктам на все работы, опубликованные против меня, мне пришлось бы вдаваться в множество мелочей, имевших место тридцать, сорок лет назад, из которых я мало что помню: мне пришлось бы поискать свои старые письма, многие из которых потерял. Более того, в большинстве случаев я не хранил копию, а когда я это делал, копия похоронена в огромной куче бумаг, с которыми я мог разобраться только со временем и терпением. Я получил мало удовольствия от досуга, так как в последнее время был так загружен занятиями совершенно иного характера.

Хотя смерть Лейбница временно положила конец спорам, споры продолжались много лет.

Для стойких сторонников Ньютона это было доказательством того, что слова Лейбница противоречили ряду противоречивых, подозрительных деталей. Его непризнанное владение копией части одной из рукописей Ньютона можно объяснить; но оказывается, что не раз Лейбниц намеренно изменял или дополнял важные документы (например, письмо от 7 июня 1713 года в Charta Volans и письмо от 8 апреля 1716 года в Acta Eruditorum ) перед их публикацией и фальсифицировал дата на рукописи (1675 г. изменено на 1673 г.). Все это ставит под сомнение его показания.

Принимая во внимание интеллектуальную доблесть Лейбница, продемонстрированную другими его достижениями, он обладал более чем необходимой способностью изобрести математические вычисления. То, что он якобы получил, было скорее рядом предложений, чем отчетом о расчетах; возможно, поскольку он не публиковал свои результаты за 1677 г. до 1684 г. и поскольку дифференциальная система обозначений была его изобретением, Лейбниц через 30 лет свел к минимуму любую выгоду, которую он мог бы получить от чтения рукописи Ньютона. Более того, он, возможно, считал вопрос о том, кто создал исчисление, несущественным, если сравнивать его с выразительной силой его обозначений.

В любом случае предвзятость в пользу Ньютона с самого начала испортила все дело. Королевское общество , в котором Исаак Ньютон был президентом в то время, создать комитет для произносят по приоритетному спору, в ответ на письмо он получил от Лейбница. Этот комитет никогда не просил Лейбница дать свою версию событий. Отчет комитета, вынесенный в пользу Ньютона, был написан и опубликован Ньютоном как «Commercium Epistolicum» (упомянутый выше) в начале 1713 года. Но Лейбниц не видел его до осени 1714 года.

Преобладающее мнение в 18 веке было против Лейбница (в Великобритании, а не в немецкоязычном мире). Сегодня все согласны с тем, что Лейбниц и Ньютон независимо изобрели и описали исчисление в Европе в 17 веке.

Безусловно, Исаак Ньютон первым изобрел новое исчисление бесконечно малых и превратил его в широко расширяемый алгоритм, возможности которого он полностью понимал; равная достоверность, дифференциальное и интегральное исчисление, кладезь великих достижений, непрерывно текущих с 1684 года до наших дней, был независимо создан Готфридом Лейбницем.

-  Зал 1980: 1

Один автор назвал спор о «совершенно разных» методах:

Несмотря на… точки сходства, методы [Ньютона и Лейбница] глубоко различаются, поэтому делать приоритетную строку бессмысленным.

-  Граттан-Гиннесс 1997: 247

С другой стороны, другие авторы подчеркивали эквивалентность и взаимную переводимость методов: здесь N Guicciardini (2003), похоже, подтверждает L'Hôpital (1696) (уже цитируется):

школы Ньютона и Лейбница разделяли общий математический метод. Они приняли два алгоритма, аналитический метод флюксий и дифференциальное и интегральное исчисления, которые можно было преобразовать один в другой.

-  Guicciardini 2003, на странице 250 [17]

Ссылки в художественной литературе [ править ]

Споры о математических вычислениях - главная тема в серии исторических романов Нила Стивенсона « Цикл барокко» (2003–04).

Антагонистический характер спора играет роль в альтернативном историческом сериале Грега Киза « Эпоха безрассудства» в стиле стимпанк .

Кратко упоминается Уолтер Бишоп в сезон 1 эпизод из Fringe под названием « Уравнение ».

На самом деле это не так уж и удивительно. Любопытные умы часто сходятся на одном и том же. Ньютон и Лейбниц независимо друг от друга, не зная друг друга, изобрели исчисление. Соответствующий вопрос: что это?

Противоречие упоминается в записи третьего сезона Epic Rap Battles of History, в которой Исаак Ньютон (изображаемый «Странным Эл» Янковичем ) исполняет рэп-битву против Билла Най ( Хороший Питер ) и Нила де Грасса Тайсона ( Чали 2na ). Тайсон произносит рэп, в котором говорится, что Ньютон был занят «вонзанием кинжалов в Лейбница».

В эпизоде Теории большого взрыва [ какой? ] , Леонарда обвиняют в том, что он не хотел, чтобы Шелдон поставил бюст Исаака Ньютона на вершине рождественской елки , говоря, что это потому, что он человек Лейбница.

См. Также [ править ]

  • Возможность передачи результатов школы Керала в Европу
  • Список научных приоритетных споров

Ссылки [ править ]

  1. ^ DT Whiteside (редактор), The Mathematical Papers of Isaac Newton (Volume 1), (Cambridge University Press, 1967), часть 7 «Октябрьский трактат 1666 года о флюксиях», на странице 400, в перепечатке 2008 года .
  2. ↑ Раздел I Книги I Принципов , объясняющий «метод первых и последних отношений», геометрическую форму исчисления бесконечно малых, признанную как во времена Ньютона, так и в наше время - см. Цитаты выше Лоспиталя (1696), Truesdell (1968) и Whiteside (1970) - доступны онлайн в английском переводе 1729 года, на странице 41 .
  3. ^ a b Оригинальные слова маркиза де л'Опиталя о «Началах»: «lequel est presque tout de ce calc»: см. предисловие к его « Анализ бесконечности мелких деталей» (Париж, 1696 г.). « Начала » называют «книгой, наполненной теорией и применением исчисления бесконечно малых» и в наше время: см. Клиффорд Трусделл, « Очерки истории механики» (Берлин, 1968), стр. 99; аналогичную точку зрения другого современного ученого можно найти также в Whiteside, DT (1970). «Математические принципы, лежащие в основе Principia Mathematica Ньютона». Журнал истории астрономии . 1 (2): 116–138, особенно на с. 120.Bibcode :1970JHA ..... 1..116W . DOI : 10.1177 / 002182867000100203 .
  4. Перейти ↑ Meli DB (1993). Эквивалентность и приоритет: Ньютон против Лейбница: включая неопубликованные рукописи Лейбница о принципах . Кларендон Пресс. п. 4. ISBN 0-19-850143-9.
  5. ^ http://www.math.rutgers.edu/courses/436/Honors02/leibniz.html
  6. ^ Николас Джолли, Лейбниц (2005), стр. 17.
  7. ^ Отчет Ольденбурга об этом инциденте содержится в работах Ньютона, но не известночто он придавал значение.
  8. ↑ Холл 1980 , стр. 55.
  9. Перейти ↑ Meli 1993 , pp. 5-6.
  10. ^ Арнольд 1989 , стр. 16-20.
  11. ^ Арнольд 1989 , с. 33.
  12. ^ Бойер 1949 , стр. 99-112.
  13. ^ a b Бланк, Брайан Э. (май 2009 г.). «Исчислительные войны, обзор Брайана Э. Бланка» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 56 (5): 602–610.
  14. ^ Рукопись, написанная в основном на латинском языке, имеет номер Add. 3977,4; он содержится в библиотеке Кембриджского университета. См. Эту страницу для получения более подробной информации.
  15. ^ Gjertsen, D. (1986). Справочник Ньютона . Лондон: Рутледж и Кеган Пол . п. 149.
  16. ^ GV Coyne, стр. 112; Руперт Холл, Философы на войне, страницы 106–107; Дэвид Брюстер, Жизнь сэра Исаака Ньютона, стр. 185
  17. ^ Никколо Гвиччардини, "Чтение принципов: дебаты о математических методах Ньютона для естественной философии с 1687 по 1736 год", (Cambridge University Press, 2003), на странице 250 .
  • Эта статья включает текст из публикации, которая сейчас находится в открытом доступе : Ball, WW Rouse (1908). Краткое изложение истории математики . Нью-Йорк: Макмиллан.

Источники [ править ]

  • У. В. Роуз Болл (1908) Краткое изложение истории математики ], 4-е изд.
  • Ричард С. Браун (2012) Запутанные истоки Лейбницкого исчисления: тематическое исследование математической революции , World Scientific ISBN 9789814390804 
  • Айвор Граттан-Гиннесс (1997) История математических наук Нортона . WW Нортон .
  • Холл, АР (1980) Философы на войне: Ссора между Ньютоном и Готфридом Лейбницем . Издательство Кембриджского университета .
  • Стивен Хокинг (1988) Краткая история времени от Большого взрыва до черных дыр. Bantam Books .
  • Кандасвами, Ананд. Конфликт Ньютона и Лейбница в контексте .
  • Холл, АР (1980). Философы на войне: ссора между Ньютоном и Лейбницем . Издательство Кембриджского университета. п. 356. ISBN. 0 521 22732 1.
  • Мели, ДБ (1993). Эквивалентность и приоритет: Ньютон против Лейбница: включая неопубликованные рукописи Лейбница о принципах . Кларендон Пресс. п. 318. ISBN 0-19-850143-9.
  • Арнольд, В. И. (1989). Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук - Первые шаги математического анализа и теории катастроф . М .: Наука . п. 98. ISBN 5-02-013935-1.
  • Арнольд, Владимир (1990). Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук: пионеры математического анализа и теории катастроф от эволюционирующих до квазикристаллов . Перевод: Примроуз, Эрик Дж. Ф. Биркхойзер Верлаг . ISBN 3-7643-2383-3.
  • Бойер, CB (1949). История математического анализа и его концептуальное развитие . Dover Publications, inc.

Внешние ссылки [ править ]

  • Готфрид Вильгельм Лейбниц, Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: Mathematische Schriften, vol. 5: Infinitesimalmathematik 1674–1676 , Берлин: Akademie Verlag, 2008, стр. 288–295 («Analyseos tetragonisticae pars secunda», 29 октября 1675 г.) и 321–331 («Methodi tangentium inversae instance», 11 ноября 1675 г.).
  • Готфрид Вильгельм Лейбниц, "Nova Methodus pro Maximis et Minimis ...", 1684 (латинский оригинал) (английский перевод)
  • Исаак Ньютон, «Книга отходов Ньютона (Часть 3) (Нормализованная версия)»: запись от 16 мая 1666 года (Проект Ньютона)
  • Исаак Ньютон, «De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas (Квадратура кривых и анализ с помощью уравнений бесконечного числа членов)» , в: Два трактата сэра Исаака Ньютона , Джеймс Беттенхэм, 1745.