В теории чисел , сумма первых п кубов есть квадрат из п - го треугольного числа . Это,
То же уравнение можно записать более компактно, используя математические обозначения для суммирования :
Это тождество иногда называют теоремой Никомаха в честь Никомаха из Герасы (ок. 60 - ок. 120 г. н. Э.).
История
Никомах в конце главы 20 своего введения в арифметику указал, что если написать список нечетных чисел, первое будет кубом 1, сумма следующих двух будет кубом 2, суммой следующие три - это куб из 3 и так далее. Он не идет дальше этого, но из этого следует, что сумма первых n кубиков равна сумме первых кубиков. нечетные числа, то есть нечетные числа от 1 до . Среднее значение этих чисел очевидно, и здесь из них, поэтому их сумма
Многие ранние математики изучили и предоставили доказательства теоремы Никомаха. Струкер (1995) утверждает, что «каждый, кто изучает теорию чисел, несомненно, восхищался этим чудесным фактом». Пенгелли (2002) находит ссылки на идентичность не только в трудах Никомаха на территории современной Иордании в первом веке нашей эры, но также в работах Арьябхаты в Индии в пятом веке и в трудах Аль-Караджи около 1000 г. Персия . Брессуд (2004) упоминает несколько дополнительных ранних математических работ по этой формуле Аль-Кабиси (Аравия 10 века), Герсонида (около 1300 г., Франция) и Нилакантхи Сомайаджи (около 1500 г., Индия); он воспроизводит визуальное доказательство Нилакантхи.
Числовые значения; геометрическая и вероятностная интерпретация
Последовательность квадратов треугольных чисел [1]
Эти числа можно рассматривать как фигурные числа , четырехмерное гиперпирамидальное обобщение треугольных чисел и квадратных пирамидальных чисел .
Как отмечает Стейн (1971) , эти числа также подсчитывают количество прямоугольников с горизонтальными и вертикальными сторонами, сформированных в сетке n × n . Например, точки сетки 4 × 4 (или квадрата, состоящего из трех меньших квадратов на стороне) могут образовывать 36 различных прямоугольников. Количество квадратов в квадратной сетке аналогично подсчитывается квадратными пирамидальными числами.
Тождество также допускает естественную вероятностную интерпретацию следующим образом. Пусть X , Y , Z , W - четыре целых числа, независимо и равномерно выбранных случайным образом от 1 до n . Тогда вероятность того, что W является самым большим из четырех чисел равна вероятности того, что Y является по меньшей мере больше, X и W , по крайней мере , как большой , как Z . Это,. Для любого конкретного значения W комбинации X , Y и Z, которые делают W наибольшим, образуют куб 1 ≤ X , Y , Z ≤ n, поэтому (добавляя размер этого куба ко всем вариантам W ) количество комбинаций из X , Y , Z , W , для которых W является самым большим является суммой кубов, левая часть тождества Nichomachus. Множества пар ( X , Y ) с X ≤ Y и пар ( Z , W ) с Z ≤ W образуют равнобедренные прямоугольные треугольники, а множество, подсчитываемое в правой части уравнения вероятностей, является декартовым произведением этих два треугольника, поэтому его размер равен квадрату треугольного числа в правой части тождества Нихомаха. Сами вероятности представляют собой соответственно левую и правую части тождества Нихомаха, нормализованные для получения вероятностей путем деления обеих сторон на n 4 .
Доказательства
Чарльз Уитстон ( 1854 ) дает особенно простой вывод, расширяя каждый куб в сумме до набора последовательных нечетных чисел. Он начинает с того, что дает личность
Роу (1893) получает другое доказательство, суммируя числа в квадратной таблице умножения двумя разными способами. Сумма-я строка умноженное на треугольное число, из чего следует, что сумма всех строк равна квадрату треугольного числа. В качестве альтернативы, можно разложить таблицу на последовательность вложенных гномонов , каждый из которых состоит из продуктов, в которых большее из двух членов является некоторым фиксированным значением. Сумма внутри каждого gmonon - это куб, поэтому сумма всей таблицы - это сумма кубов.
В более поздней математической литературе Эдмондс (1957) приводит доказательство с использованием суммирования по частям . Стейн (1971) использует интерпретацию этих чисел как прямоугольник, чтобы сформировать геометрическое доказательство тождества (см. Также Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 ); он отмечает, что это можно также легко (но малоинформативно) доказать с помощью индукции, и заявляет, что Теплиц (1963) дает «интересное старое арабское доказательство». Каним (2004) предоставляет чисто визуальное доказательство, Бенджамин и Оррисон (2002) предоставляют два дополнительных доказательства, а Нельсен (1993) дает семь геометрических доказательств.
Обобщения
Аналогичный результат теоремы Никомаха верен для всех степенных сумм , а именно, что нечетные степенные суммы (суммы нечетных степеней) являются многочленами от треугольных чисел. Они называются полиномами Фаульхабера , из которых сумма кубов является самым простым и элегантным примером. Однако ни в каком другом случае сумма одной степени не равна квадрату другой. [2]
Строкер (1995) изучает более общие условия, при которых сумма последовательной последовательности кубов образует квадрат. Гарретт и Хаммел (2004) и Варнаар (2004) изучают полиномиальные аналоги формулы квадратно-треугольного числа, в которой серии многочленов складываются с квадратом другого многочлена.
Заметки
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (редактор), «Последовательность A000537» , Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
- ^ Эдмондс (1957) .
Рекомендации
- Бенджамин, Артур Т .; Оррисон, ME (2002), "Два быстрых комбинаторных доказательства ∑ k 3 знак равно ( п + 1 2 ) 2 {\ displaystyle \ textstyle \ sum k ^ {3} = {n + 1 \ select 2} ^ {2}} " (PDF) , Колледж Математика Журнал , 33 (5): 406-408, DOI : 10,2307 / 1559017 , JSTOR 1559017.
- Бенджамин, Артур Т .; Куинн, Дженнифер Дж .; Вюрца, Calyssa (2006), "Суммирование кубов путем подсчета прямоугольников" (PDF) , Колледж Математика Journal , 37 (5): 387-389, DOI : 10,2307 / 27646391 , JSTOR 27646391.
- Брессуд, Дэвид (2004), Исчисление до Ньютона и Лейбница, Часть III (PDF) , AP Central.
- Эдмондс, Шейла М. (1957), "Суммы степеней натуральных чисел", Математическая газета , 41 : 187-188, DOI : 10,2307 / 3609189 , JSTOR 3609189 , МР 0096615
- Гаррет, Кристина С .; Hummel, Кристно (2004), "Комбинаторное доказательство суммы д -куб" , Электронный журнал комбинаторика , 11 (1), научно - исследовательская работа 9, DOI : 10,37236 / 1762 , MR 2034423.
- Галли, Нед (4 марта 2010 г.), Шур, Лорен (ред.), Теорема Никомаха , Matlab Central.
- Kanim, Кэтрин (2004), "Доказательства без слов: Сумма кубов-расширение суммы Архимеда квадратов", Математика Magazine , 77 (4): 298-299, DOI : 10,2307 / 3219288 , JSTOR 3219288.
- Нельсен, Роджер Б. (1993), Доказательства без слов , Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-700-7.
- Пенгелли, Дэвид (2002), «Мост между непрерывным и дискретным через оригинальные источники», Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference (PDF) , Национальный центр математического образования, Univ. Гётеборг, Швеция.
- Роу, Т. Сундара (1893 г.), Геометрические упражнения при складывании бумаги , Мадрас: Аддисон, стр. 47–48..
- Штейн, Роберт Г. (1971), "Комбинаторное доказательство того, что », Математика Журнал , 44 (3): 161-162, DOI : 10,2307 / 2688231 , JSTOR 2688231.
- Stroeker, RJ (1995), «О сумме последовательных кубов, составляющих полный квадрат» , Compositio Mathematica , 97 (1-2): 295-307, MR 1355130.
- Теплиц, Отто (1963), Исчисление, генетический подход , University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-80667-9.
- Warnaar, С. Оле (2004), "О д -аналог суммы кубов" , Электронный журнал Комбинаторика , 11 (1), примечание 13, DOI : 10,37236 / тысяча восемьсот пятьдесят-четыре , МР 2114194.
- Уитстона, C. (1854), "О формировании полномочий от арифметической прогрессии" (PDF) , Труды Королевского общества в Лондоне , 7 : 145-151, DOI : 10.1098 / rspl.1854.0036.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. , «Теорема Никомаха» , MathWorld
- Наглядное доказательство теоремы Никомаха