Нонамин (или 9-omino ) является Полимином порядка 9, то есть многоугольник в плоскости выполнен из 9 одинаковых по размеру квадратов , соединенных от края до края. [1] Название этого типа фигур формируется с префиксом non (a) - . Когда вращения и отражения не считаются отдельными формами, существует 1285 различных свободных нономино. Если рассматривать отражения отчетливо, получается 2500 односторонних нономино. Когда вращения также считаются отдельными, существует 9 910 фиксированных нономино. [2]
Симметрия [ править ]
1285 бесплатных нономино можно классифицировать в соответствии с их группами симметрии : [2]
- 1196 нономино не имеют симметрии . Их группа симметрии состоит только из тождественного отображения .
- У 38 нономинно ось симметрии отражения совпадает с линиями сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: тождества и отражения на линии, параллельной сторонам квадратов.
- 26 нономино имеют ось симметрии отражения под углом 45 ° к линиям сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: тождества и диагонального отражения.
- 19 нономино обладают точечной симметрией, также известной как вращательная симметрия порядка 2. Их группа симметрии состоит из двух элементов: идентичности и поворота на 180 °.
- 4 нономино имеют две оси симметрии отражения, обе совпадающие с линиями сетки. Их группа симметрии состоит из четырех элементов: идентичности, двух отражений и поворота на 180 °. Это диэдральная группа порядка 2, также известная как четырехгруппа Клейна .
- 2 нономинно имеют четыре оси симметрии отражения, выровненные с линиями сетки и диагоналями, и вращательную симметрию 4-го порядка. Их группа симметрии, двугранная группа 4-го порядка, состоит из восьми элементов.
В отличие от октимино не существует нономино с вращательной симметрией четвертого порядка или с двумя осями симметрии отражения, совмещенными с диагоналями.
Если отражения нономино считаются отдельными, как это происходит с односторонними нономино, то первая и четвертая категории выше удваиваются, что приводит к дополнительным 1,215 нономино, что в общей сложности составляет 2,500. Если ротации также считаются различными, то нономино из первой категории засчитывается восьмикратно, из следующих трех категорий засчитывается четырехкратно, из пятой категории засчитывается дважды, а из последней категории засчитывается только один раз. В результате получается 1,196 × 8 + (38 + 26 + 19) × 4 + 4 × 2 + 2 = 9910 фиксированных нономино.
Упаковка и укладка [ править ]
В 37 нономино есть дыры. [3] [4] Поэтому полный набор не может быть упакован в прямоугольник и не все имеют nonominoes разбиений . Из 1285 бесплатных нономино 960 удовлетворяют критерию Конвея, а еще 88 могут образовывать фрагменты, удовлетворяющие этому критерию. Однако 1050 (а не 1048) бесплатных нономино допускают мозаики [5] - два исключения, показанные справа. Это самый низкий порядок полимино, для которого существуют такие исключения. [6]
Один нономин имеет отверстие в виде двух квадратов (второе крайнее правое в верхнем ряду) и является наименьшим полимино с таким отверстием.
Ссылки [ править ]
- ^ Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02444-8. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ a b Редельмайер, Д. Хью (1981). «Подсчет полимино: еще одна атака». Дискретная математика . 36 : 191–203. DOI : 10.1016 / 0012-365X (81) 90237-5 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Полёмино» . MathWorld .
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A001419 (Количество n-клеточных полиамино с дырками)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
- ^ Rawsthorne, Daniel A. (1988). «Сложность мозаики малых n -мино ( n <10)». Дискретная математика . 70 : 71–75. DOI : 10.1016 / 0012-365X (88) 90081-7 .
- Перейти ↑ Rhoads, Glenn C. (2005). «Плоские мозаики полимино, полигексами и полиалмазами» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 174 (2): 329–353. DOI : 10.1016 / j.cam.2004.05.002 .