В экономике , порядковая полезность функция является функцией , представляющая предпочтению агента по порядковой шкале . Теория порядковой полезности утверждает, что имеет смысл только спросить, какой вариант лучше другого, но бессмысленно спрашивать, насколько он лучше или насколько хорош. Вся теория принятия решений потребителем в условиях уверенности может быть выражена и обычно выражается в терминах порядковой полезности.
Например, предположим, что Джордж говорит нам: «Я предпочитаю A, а не B, и B, а не C». Предпочтения Джорджа могут быть представлены функцией u такой, что:
Но критики кардинальной полезности утверждают, что единственным значимым посланием этой функции является порядок; реальные цифры бессмысленны. Следовательно, предпочтения Джорджа также могут быть представлены следующей функцией v :
Функции u и v обычно эквивалентны - они одинаково хорошо отражают предпочтения Джорджа.
Порядковая полезность контрастирует с теорией кардинальной полезности : последняя предполагает, что различия между предпочтениями также важны. В u разница между A и B намного меньше, чем между B и C, в то время как в v верно обратное. Следовательно, у и v являются не кардинально эквивалентны.
Понятие порядковой полезности было впервые введено Парето в 1906 г. [1]
Обозначение
Предположим, что множество всех состояний мира есть и агент имеет отношение предпочтения на . Обычно слабое отношение предпочтения обозначается, чтобы гласит: «агент хочет B по крайней мере так же, как A».
Символ используется как сокращение отношения безразличия: , который гласит: «Агент безразличен между B и A».
Символ используется как сокращение для сильного отношения предпочтения: , который гласит: «Агент строго предпочитает Б, а не А».
Функция как говорят, представляет отношение если:
Связанные понятия
Отображение кривой безразличия
Вместо определения числовой функции отношение предпочтений агента может быть представлено графически с помощью кривых безразличия. Это особенно полезно, когда есть два вида товаров: x и y . Затем каждая кривая безразличия показывает набор точек так что, если а также находятся на одной кривой, то .
Пример кривой безразличия показан ниже:
Каждая кривая безразличия представляет собой набор точек, каждая из которых представляет собой комбинацию количества двух товаров или услуг, каждая из которых одинаково удовлетворяет потребителя. Чем дальше кривая от начала координат, тем выше уровень полезности.
Наклон кривой (отрицательная величина предельной нормы замещения X вместо Y) в любой точке показывает скорость, с которой индивид готов обменять товар X на товар Y, сохраняя тот же уровень полезности. Кривая выпуклая к началу координат, как показано, при условии, что у потребителя уменьшается предельная норма замещения. Можно показать, что потребительский анализ с использованием кривых безразличия (порядковый подход) дает те же результаты, что и анализ, основанный на теории кардинальной полезности, т. Е. Потребители будут потреблять в точке, где предельная норма замещения между любыми двумя товарами равна отношению цены на эти товары (принцип равномаржинальности).
Выявленное предпочтение
Теория выявленных предпочтений обращается к проблеме того, как наблюдать порядковые отношения предпочтений в реальном мире. Проблема теории выявленных предпочтений отчасти заключается в том, чтобы определить, от каких наборов товаров отказались на основании того, что они менее нравятся, когда люди наблюдают, выбирая определенные наборы товаров. [2] [3]
Необходимые условия существования порядковой функции полезности
Некоторые условия на необходимы для гарантии существования представляющей функции:
- Транзитивность : если а также тогда .
- Комплектность: для всех комплектов : либо или же или оба.
- Полнота предполагает и рефлексивность: для каждого : .
Когда эти условия соблюдены и установлен конечно, легко создать функцию который представляет просто присвоив соответствующий номер каждому элементу , как показано в первом абзаце. То же самое верно, когда X счетно бесконечен . Более того, можно индуктивно построить представляющую функцию полезности, значения которой находятся в диапазоне. [4]
Когда бесконечно, этих условий недостаточно. Например, лексикографические предпочтения транзитивны и полны, но они не могут быть представлены какой-либо функцией полезности. [4] Требуемым дополнительным условием является непрерывность .
Непрерывность
Отношение предпочтений называется непрерывным, если всякий раз, когда B предпочтительнее A, небольшие отклонения от B или A не изменяют порядок между ними. Формально отношение предпочтения на множестве X называется непрерывным, если оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:
- Для каждого , набор является топологический закрыт вс топологией продукта (это определение требуетбыть топологическим пространством ).
- Для каждой последовательности , если для всех я а также а также , тогда .
- Для каждого такой, что , существует шар вокруг и мяч вокруг так что для каждого в шаре и каждый в шаре , (это определение требует быть метрическим пространством ).
Если отношение предпочтения представлено непрерывной функцией полезности, то оно, очевидно, непрерывно. Согласно теоремам Дебре (1954) , верно и обратное:
- Каждое непрерывное полное отношение предпочтения может быть представлено непрерывной порядковой функцией полезности.
Обратите внимание, что лексикографические предпочтения не являются непрерывными. Например,, но в каждом шаре вокруг (5,1) есть точки с и эти баллы уступают . Это соответствует указанному выше факту, что эти предпочтения не могут быть представлены функцией полезности.
Уникальность
Для каждой функции полезности v существует уникальное отношение предпочтения, представленное v . Однако обратное неверно: отношение предпочтения может быть представлено множеством различных функций полезности. Те же предпочтения можно выразить как любую функцию полезности, которая является монотонно возрастающим преобразованием v . Например, если
где - любая монотонно возрастающая функция, то функции v и v порождают идентичные отображения кривых безразличия.
Эта эквивалентность кратко описывается следующим образом:
- Порядковая функция полезности уникальна с точностью до возрастающего монотонного преобразования .
Напротив, кардинальная функция полезности уникальна только до возрастающего аффинного преобразования . Каждое аффинное преобразование монотонно; следовательно, если две функции кардинально эквивалентны, они также обычно эквивалентны, но не наоборот.
Монотонность
Предположим, что с этого момента множество - это множество всех неотрицательных вещественных двумерных векторов. Итак, элемент пара который представляет собой количество, потребленное из двух продуктов, например, яблок и бананов.
Тогда при определенных обстоятельствах отношение предпочтения представлен функцией полезности .
Предположим, что отношение предпочтений монотонно возрастает , что означает, что «чем больше, тем лучше»:
Тогда обе частные производные функции v , если они существуют, положительны. Коротко:
- Если функция полезности представляет собой монотонно возрастающее отношение предпочтения, то функция полезности монотонно возрастает.
Предельная ставка замещения
Предположим, у человека есть сверток и утверждает, что ему безразлична эта связка и связка . Это означает, что он готов отдать единиц x, чтобы получить единиц у. Если это соотношение сохраняется какмы говорим, что это предельная норма замещения (MRS) между х и у в точке. [5] : 82
Это определение MRS основано только на порядковом отношении предпочтения - оно не зависит от числовой функции полезности. Если отношение предпочтения представлено функцией полезности, а функция дифференцируема, то MRS можно вычислить на основе производных этой функции:
Например, если отношение предпочтения представлено тогда . MRS такой же для функции. Это не совпадение, поскольку эти две функции представляют одно и то же отношение предпочтения - каждая из них является увеличивающимся монотонным преобразованием другой.
В целом MRS может отличаться в разных точках . Например, возможно, что приMRS низкий, потому что у человека много x и только один y , но при или же MRS выше. Некоторые особые случаи описаны ниже.
Линейность
Когда MRS определенного отношения предпочтения не зависит от связки, т. Е. MRS одинакова для всех , кривые безразличия линейные и имеют вид:
а отношение предпочтений можно представить линейной функцией:
(Конечно, то же отношение может быть представлено многими другими нелинейными функциями, такими как или же , но линейная функция самая простая.) [5] : 85
Квазилинейность
Когда MRS зависит от но не на отношение предпочтения может быть представлено квазилинейной функцией полезности вида
где - некоторая монотонно возрастающая функция. Поскольку MRS - это функция, возможная функция можно вычислить как интеграл от : [6] [5] : 87
В этом случае все кривые безразличия параллельны - это горизонтальные переходы друг друга.
Аддитивность с двумя товарами
Более общий тип функции полезности - это аддитивная функция :
Есть несколько способов проверить, можно ли представить данные предпочтения с помощью аддитивной функции полезности.
Свойство двойной отмены
Если предпочтения складываются, то простой арифметический расчет показывает, что
- а также
- подразумевает
так что это свойство «двойной отмены» является необходимым условием аддитивности.
Дебре (1960) показал, что этого свойства также достаточно: т. Е. Если отношение предпочтения удовлетворяет свойству двойного сокращения, то оно может быть представлено аддитивной функцией полезности. [7]
Соответствующее свойство компромиссов
Если предпочтения представлены аддитивной функцией, то простой арифметический расчет показывает, что
так что это свойство «соответствующих компромиссов» является необходимым условием аддитивности. Этого условия тоже достаточно. [8] [5] : 91
Аддитивность с тремя и более товарами
Когда есть три или более товаров, условие аддитивности функции полезности на удивление проще, чем для двух товаров. Это результат теоремы 3 Дебре (1960) . Условием, необходимым для аддитивности, является преимущественная независимость . [5] : 104
Подмножество товаров A называется предпочтительно независимым от подмножества товаров B, если отношение предпочтения в подмножестве A при постоянных значениях подмножества B не зависит от этих постоянных значений. Например, предположим, что есть три товара: x y и z . Подмножество { x , y } предпочтительно не зависит от подмножества { z }, если для всех:
- .
В этом случае мы можем просто сказать, что:
- для постоянного z .
Преимущественная независимость имеет смысл в случае независимых товаров . Например, предпочтения между связками яблок и бананов, вероятно, не зависят от количества обуви и носков, которые есть у агента, и наоборот.
Согласно теореме Дебре, если все подмножества товаров предпочтительно независимы от своих дополнений, то отношение предпочтения может быть представлено аддитивной функцией стоимости. Здесь мы даем интуитивное объяснение этого результата, показывая, как можно построить такую аддитивную функцию ценности. [5] Доказательство предполагает три предмета: x , y , z . Мы покажем, как определить три точки для каждой из трех функций значения.: 0 балл, 1 балл и 2 балла. Другие точки могут быть рассчитаны аналогичным образом, а затем можно использовать непрерывность, чтобы сделать вывод о том, что функции четко определены во всем их диапазоне.
0 баллов : выбрать произвольно и назначить их как ноль функции значения, то есть:
1 балл : выберите произвольно такой, что . Установите его как единицу стоимости, например:
Выбирать а также такие, что выполняются следующие отношения безразличия:
- .
Это безразличие служит для масштабирования единиц y и z, чтобы они соответствовали единицам x . Значение в этих трех точках должно быть 1, поэтому мы присваиваем
2 балл : Теперь мы используем предположение о преимущественной независимости. Связь между а также не зависит от z , и аналогично соотношение между а также не зависит от x и связь между а также не зависит от y . Следовательно
Это полезно, потому что это означает, что функция v может иметь одинаковое значение - 2 - в этих трех точках. Выбирать такой, что
и назначить
3 балла : чтобы показать, что наши задания согласованы, мы должны показать, что все баллы, получившие общую оценку 3, являются баллами безразличия. Здесь снова используется предположение о преимущественной независимости, поскольку соотношение между а также не зависит от z (и аналогично для других пар); следовательно
и аналогично для остальных пар. Следовательно, 3-я точка определяется последовательно.
Мы можем продолжить это по индукции и определить товарные функции во всех целых точках, а затем использовать непрерывность, чтобы определить ее во всех реальных точках.
Неявное предположение в пункте 1 приведенного выше доказательства состоит в том, что все три товара являются существенными или важными для предпочтений . [7] : 7 Это означает, что существует такой набор, что при увеличении количества определенного товара новый набор будет строго лучше.
Доказательство для более чем 3 товаров аналогично. Фактически, нам не нужно проверять, что все подмножества точек предпочтительно независимы; достаточно проверить линейное количество пар товаров. Например, если есть разные товары, , то достаточно проверить, что для всех , два товара предпочтительно независимы от других товары. [5] : 115
Единственность аддитивного представления
Аддитивное отношение предпочтения может быть представлено множеством различных аддитивных функций полезности. Однако все эти функции похожи: они не только увеличивают монотонное преобразование друг друга ( как и все функции полезности, представляющие одно и то же отношение ); они увеличивают линейные преобразования друг друга. [7] : 9 Короче говоря,
- Аддитивная порядковая функция полезности уникальна с точностью до возрастающего линейного преобразования .
Построение аддитивных и квадратичных функций полезности из порядковых данных
Математические основы наиболее распространенных типов функций полезности - квадратичных и аддитивных - заложенные Жераром Дебре [9] [10], позволили Андранику Тангиану разработать методы их построения на основе чисто порядковых данных. В частности, аддитивные и квадратичные функции полезности в переменные могут быть построены на основе интервью с лицами, принимающими решения, где вопросы нацелены на полное отслеживание Кривые 2D-безразличия в координатные плоскости без ссылки на кардинальные оценки полезности. [11] [12]
Сравнение порядковых и кардинальных функций полезности
В следующей таблице сравниваются два типа функций полезности, распространенных в экономике:
Уровень измерения | Представляет предпочтения на | Уникальный до | Существование доказано | В основном используется в | |
---|---|---|---|---|---|
Обычная полезность | Порядковая шкала | Уверенные результаты | Увеличивающая монотонная трансформация | Дебре (1954) | Теория потребления в условиях уверенности |
Кардинальная полезность | Шкала интервалов | Случайные исходы (лотереи) | Возрастающее монотонное линейное преобразование | Фон Нейман-Моргенштерн (1947) | Теория игр , выбор в условиях неопределенности |
Смотрите также
- Преферанс (экономика)
- Утилита с несколькими атрибутами
- Теория потребления
- Предельная полезность
- Теория решетки
- Выпуклые предпочтения
Рекомендации
- ↑ Парето, Вильфредо (1906). "Manuale diconomia politica, con una Introduction alla scienza sociale". Societa Editrice Libraria .
- ^ Чиаки Хара (6 июня 1998 г.). «Выявленная теория предпочтений» . 7-е совещание Тойро-кай (1997/1998) .
- ^ Ботонд Кошеги; Мэтью Рабин (май 2007 г.). «Ошибки в анализе благосостояния на основе выбора» (PDF) . Американский экономический обзор: документы и материалы . 97 (2): 477–481. CiteSeerX 10.1.1.368.381 . DOI : 10,1257 / aer.97.2.477 . Архивировано из оригинального (PDF) 15 октября 2008 года.
- ^ a b Ариэль Рубинштейн, Конспект лекций по микроэкономической теории, лекция 2 - Полезность
- ^ Б с д е е г Кини, Ральф Л .; Райффа, Ховард (1993). Решения с несколькими целями . ISBN 978-0-521-44185-8.
- ^ Питер Марк Прузан и Джей Ти Росс Джексон (1963). «О развитии подсобных помещений для многоцелевых систем» . Ledelse og Erhvervsøkonomi / Handelsvidenskabeligt Tidsskrift / Erhvervsøkonomisk Tidsskrift .
- ^ а б в Бергстром, Тед. «Конспект лекций по отделяемым предпочтениям» (PDF) . UCSB Econ . Проверено 18 августа 2015 года .
- ^ Люс, Р. Дункан; Тьюки, Джон В. (1964). «Одновременное совместное измерение: новый тип фундаментального измерения». Журнал математической психологии . 1 : 1-27. CiteSeerX 10.1.1.334.5018 . DOI : 10.1016 / 0022-2496 (64) 90015-X .
- ^ Дебре, Жерар (1952). «Определенные и полуопределенные квадратичные формы». Econometrica . 20 (2): 295–300. DOI : 10.2307 / 1907852 .
- ^ Дебре, Жерар (1960). «Топологические методы в теории кардинальной полезности». В Стрелке, Кеннет (ред.). Математические методы в социальных науках, 1959 . Стэнфорд: Издательство Стэнфордского университета. С. 16–26. DOI : 10.1017 / CCOL052123736X.010 .
- ^ Тангиан, Андраник (2002). «Построение квазивогнутой квадратичной целевой функции из интервью с лицом, принимающим решения». Европейский журнал операционных исследований . 141 (3): 608–640. DOI : 10.1016 / S0377-2217 (01) 00185-0 .
- ^ Тангиан, Андраник (2004). «Модель для обычного построения аддитивных целевых функций». Европейский журнал операционных исследований . 159 (2): 476–512. DOI : 10.1016 / S0377-2217 (03) 00413-2 .
Внешние ссылки
- Лексикографическое отношение предпочтения не может быть представлено функцией полезности . В экономике.SE
- Распознавание линейных порядков, вложимых в R2, упорядоченных лексикографически . По математике.SE.
- Мюррей Н. Ротбард , «На пути к реконструкции экономики коммунальных услуг и благосостояния»