Запутанность ориентации

Отдельная точка в космосе может вращаться непрерывно, не запутываясь. Обратите внимание, что после поворота на 360 градусов спираль переворачивается между ориентацией по часовой стрелке и против часовой стрелки. Он возвращается в исходную конфигурацию после полного поворота на 720 градусов.

В математике и физике понятие ориентационной запутанности иногда ^[1] используется для развития интуиции, относящейся к геометрии спиноров, или, альтернативно, как конкретное осознание несостоятельности специальных ортогональных групп быть односвязными .

Элементарное описание [ править ]

Одних пространственных векторов недостаточно для полного описания свойств вращения в пространстве.

Набор из 96 волокон прикреплен к окружающей среде одним концом и вращающейся сферой - другим. Сфера может непрерывно вращаться, не запутывая волокна.

Чашка кофе с лентами на ручке и противоположной стороне.

Рассмотрим следующий пример. ^[2] Чашка для кофе подвешивается в комнате с помощью пары эластичных резинок, прикрепленных к стенам комнаты. Чашка поворачивается ручкой на полный поворот на 360 °, так что ручка полностью перемещается вокруг центральной вертикальной оси чашки и возвращается в исходное положение.

Обратите внимание, что после этого поворота чашка была возвращена в исходную ориентацию, но ее ориентация по отношению к стенкам изменилась . Другими словами, если мы опустим кофейную чашку на пол комнаты, две полосы будут наматываться друг на друга в один полный поворот двойной спирали . Это пример запутанности ориентации : новая ориентация чашки кофе, встроенной в комнату, на самом деле не совпадает со старой ориентацией, о чем свидетельствует скручивание резиновых лент. Другими словами, ориентация чашки с кофе запуталась с ориентацией окружающих стенок.

Вектор чашки кофе. После полного поворота вектор не меняется.

Ясно, что одной только геометрии пространственных векторов недостаточно, чтобы выразить ориентационную запутанность (скручивание резинок). Подумайте о том, чтобы нарисовать вектор через чашку. Полный поворот перемещает вектор так, чтобы новая ориентация вектора была такой же, как и старая. Сам по себе вектор не знает, что чашка кофе запуталась в стенах комнаты.

На самом деле кофейная чашка неразрывно запуталась. Невозможно раскрутить ленты, не повернув чашку. Однако подумайте, что вместо этого происходит, когда чашка поворачивается не на один оборот на 360 °, а на два поворота на 360 ° с общим поворотом на 720 °. Затем, если чашку опускают на пол, две резинки наматываются друг на друга в два полных витка двойной спирали. Если теперь поднять чашу через центр одного витка этой спирали и переместить на другую ее сторону, скручивание исчезнет. Полосы больше не наматываются друг на друга, хотя никакого дополнительного вращения не требуется. (Этот эксперимент легче провести с лентой или ремнем. См. Ниже.)

Раскручивая ленту без вращения.

Таким образом, в то время как ориентация чашки изменилась относительно стенок после поворота только на 360 °, она больше не перекручивалась после поворота на 720 °. Однако, рассматривая только вектор, прикрепленный к чашке, невозможно различить эти два случая. Только когда мы прикрепляем спинор к чашке, мы можем различать скрученный и раскрученный корпус.

Спинор.

В этой ситуации спинор представляет собой своего рода поляризованный вектор. На соседней диаграмме спинор может быть представлен как вектор, голова которого представляет собой флаг, лежащий на одной стороне ленты Мёбиуса и направленный внутрь. Первоначально предположим, что флаг находится наверху полосы, как показано. При вращении кофейная чашка перемещает спинор и его флажок вдоль полосы. Если чашку повернуть на 360 °, спинор возвращается в исходное положение, но теперь флажок находится под полосой и направлен наружу. Требуется еще один поворот на 360 °, чтобы вернуть флаг в исходную ориентацию.

Подробный мост между вышеизложенным и формальной математикой можно найти в статье о танглоидах .

Официальные детали [ править ]

В трех измерениях проиллюстрированная выше проблема соответствует тому факту, что группа Ли SO (3) не является односвязной . Математически, можно решить эту проблему путем выставления специальной унитарной группы , SU (2) , который также является спин группа в трех евклидовых размеров, как двойная крышка из SO (3). Если X = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) является вектором в R ³ , то мы отождествляем X с матрицей 2 × 2 с комплексными элементами

${\ displaystyle X = \ left ({\ begin {matrix} x_ {1} & x_ {2} -ix_ {3} \\ x_ {2} + ix_ {3} & - x_ {1} \ end {matrix}}) \верно)}$

Обратите внимание, что −det ( X ) дает квадрат евклидовой длины X, рассматриваемой как вектор, и что X является бесследной или, лучше сказать, эрмитовой матрицей с нулевым следом .

Унитарная группа действует на X посредством

${\ Displaystyle X \ mapsto MXM ^ {\ dagger}}$

где M ∈ SU (2). Заметим, что, поскольку M унитарен,

${\ displaystyle \ det \ left (MXM ^ {\ dagger} \ right) = \ det (X)}$, и

${\ displaystyle MXM ^ {\ dagger}}$ эрмитово с нулевым следом.

Следовательно SU (2) действует через вращения на векторы X . Наоборот, поскольку любое изменение базиса, которое переводит эрмитовы матрицы с нулевым следом в эрмитовы матрицы с нулевым следом, должно быть унитарным, отсюда следует, что каждое вращение также поднимается до SU (2). Однако каждое вращение получается из пары элементов M и - M группы SU (2). Следовательно, SU (2) является двойным покрытием SO (3). Кроме того, SU (2) Легко видеть, что сам по себе просто связана с тем , понимая его как группу единичных кватернионов , пространство , гомеоморфная к 3-мерной сфере .

Единичный кватернион имеет косинус половины угла поворота в качестве его скалярной части и синус половины угла поворота, умноженного на единичный вектор вдоль некоторой оси вращения (здесь предполагается фиксированной), в качестве его части псевдовектора (или аксиального вектора). Если исходная ориентация твердого тела (с незапутанными связями с его неподвижным окружением) отождествляется с единичным кватернионом, имеющим нулевую псевдовекторную часть и +1 для скалярной части, то после одного полного поворота (2π рад) псевдовекторная часть возвращается к ноль, а скалярная часть стала −1 (запутана). После двух полных оборотов (4π рад) псевдовекторная часть снова возвращается к нулю, а скалярная часть возвращается к +1 (незапутанная), завершая цикл.

См. Также [ править ]

• Трюк с тарелкой
• Танглоиды

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Фейнман, Лейтон, Пески. Лекции Фейнмана по физике . 3 тома, 1964, 1966. Карточка каталога Библиотеки Конгресса № 63-20717

  • ISBN  0-201-02115-3 (набор из трех томов 1970 года в мягкой обложке)
  • ISBN  0-201-50064-7 (памятный трехтомник в твердом переплете 1989 г.)
  • ISBN  0-8053-9045-6 (окончательное издание 2006 г. (2-е издание); твердый переплет)

Внешние ссылки [ править ]

• Анимация трюка с поясом Дирака с двумя ремнями, прикрепленными к (квадратному) объекту, показывающая запутанность ориентации после одного поворота и отсутствие запутывания после двух поворотов. Таким образом, анимация также показывает, что объекты с поясом ведут себя как частицы со спином 1/2.
• Воздух на струнах Дирака, демонстрирующий ориентационное запутывание с несколькими ремнями, прикрепленными к сферической частице, Луи Кауфман и его коллеги.