Танглоиды - это математическая игра для двух игроков, созданная Питом Хайном для моделирования исчисления спиноров .
Описание игры появилось в книге «Мартин Гарднер Нового математическая диверсий от Scientific American» по Мартину Гарднеру с 1996 в разделе по математике плетения . [1] [2] [3]
Два плоских деревянных бруска с тремя маленькими отверстиями в каждом соединены тремя параллельными нитями. Каждый игрок держит один из деревянных блоков. Первый игрок держит один деревянный брусок неподвижно, а другой игрок вращает другой деревянный брусок на два полных оборота. Плоскость вращения перпендикулярна струнам, когда они не спутаны. Теперь струны перекрывают друг друга. Затем первый игрок пытается распутать струны, не вращая ни одну из деревянных досок. Допускаются только переводы (перемещение фигур без вращения). После этого игроки меняются ролями; тот, кто быстрее всех распутывает веревки, - победитель. Попробуйте всего за один оборот. Струны, конечно, снова накладываются друг на друга, но их нельзя распутать, не повернув один из двух деревянных блоков.
Балийском чашки трюк , который появляется в балийской свече танце , является другой иллюстрацией той же математической идеи. Механизм предотвращения скручивания - это устройство, предназначенное для предотвращения таких ориентационных затруднений . Математическую интерпретацию этих идей можно найти в статье о кватернионах и пространственном вращении .
Математическая артикуляция
Эта игра помогает прояснить идею о том, что вращения в пространстве обладают свойствами, которые нельзя интуитивно объяснить, рассматривая только вращение одного жесткого объекта в пространстве. Вращение векторов не охватывает всех свойств абстрактной модели вращений, заданных группой вращения . Свойство проиллюстрировано в этой игре официально называется в математике как « двойное покрытие из SO (3) с помощью SU (2) ». Эту абстрактную концепцию можно примерно набросать следующим образом.
Вращения в трех измерениях можно выразить в виде матриц 3x3 , блока чисел, по одному для x, y, z. Если рассматривать произвольно крошечные вращения, можно прийти к выводу, что вращения образуют пространство , в том смысле , что если каждый поворот мыслится как точка , тогда всегда есть другие близлежащие точки, другие соседние вращения, которые отличаются лишь на небольшую величину. В небольших кварталах эта совокупность ближайших точек напоминает евклидово пространство . Фактически, это напоминает трехмерное евклидово пространство, поскольку есть три различных возможных направления для бесконечно малых вращений: x, y и z. Это правильно описывает структуру группы вращений в малых окрестностях. Однако для последовательностей больших вращений эта модель не работает; например, повернуть направо, а затем лечь - это не то же самое, что сначала лечь, а потом повернуть направо. Хотя группа вращения имеет структуру трехмерного пространства в малом масштабе, это не ее структура в большом масштабе. Системы, которые в малом масштабе ведут себя как евклидово пространство, но имеют более сложную глобальную структуру, называются многообразиями . Известные примеры многообразий включают сферы : глобально они круглые, но локально они кажутся плоскими, следовательно, « плоская Земля ».
Тщательное изучение группы вращения показывает, что она имеет структуру 3-х сфер. с выявленными противоположными точками! Это означает, что для каждого вращения фактически есть две разные, различные полярно противоположные точки на 3-сфере, которые описывают это вращение. Это то, что иллюстрируют танглоиды. Иллюстрация на самом деле довольно умная. Представьте, что вы выполняете вращение на 360 градусов на один градус за набор крошечных шагов. Эти шаги приведут вас на путь, в путешествие по этому абстрактному многообразию, этому абстрактному пространству вращений. По завершении этого путешествия на 360 градусов человек не возвращается домой, а, скорее, в полярно противоположную точку. И один застрял там - на самом деле нельзя вернуться туда, откуда он начал, пока не совершит другое, второе путешествие на 360 градусов.
Структура этого абстрактного пространства, состоящего из 3-х сфер с идентифицированными полярными противоположностями, довольно странная. Технически это проективное пространство . Можно попытаться представить, как вы взяли воздушный шар, выпустили весь воздух, а затем склеили полярно противоположные точки. Если попытаться сделать это в реальной жизни, вскоре обнаружится, что это невозможно сделать в глобальном масштабе. Локально для любого небольшого участка можно выполнить этапы «перевернуть и приклеить»; просто невозможно сделать это глобально. (Имейте в виду, что воздушный шар, 2-сфера; это не 3-сфера вращений.) Чтобы еще больше упростить, можно начать с, круг, и попытка склеить полярные противоположности; у одного все еще есть неудавшийся беспорядок Лучшее, что можно сделать, - это провести прямые линии через начало координат, а затем объявить указанием, что полярные противоположности - это одна и та же точка. Это основная конструкция любого проективного пространства.
Так называемое «двойное покрытие» относится к идее, что это склеивание полярных противоположностей может быть разрушено. Это можно объяснить относительно просто, хотя это требует введения некоторых математических обозначений. Первый шаг - выпалить « алгебру Ли ». Это векторное пространство, наделенное тем свойством, что два вектора можно перемножать. Это происходит из-за того, что крошечный поворот вокруг оси x, за которым следует крошечный поворот вокруг оси y, не то же самое, что изменение порядка этих двух на противоположное; они разные, и разница заключается в крошечном повороте по оси z . Формально эту неэквивалентность можно записать как, имея в виду, что x , y и z - это не числа, а бесконечно малые вращения. Они не ездят на работу .
Тогда можно спросить: «А что еще ведет себя так?» Что ж, очевидно, что это делают матрицы трехмерного вращения; ведь все дело в том, что они правильно, идеально математически описывают вращения в трехмерном пространстве. Однако, как оказалось, есть также матрицы 2x2, 4x4, 5x5, ..., которые также обладают этим свойством. Возникает резонный вопрос: «Хорошо, а какова форма их коллекторов?». Для случая 2x2 алгебра Ли называется su (2), а многообразие - SU (2) , и довольно любопытно, что многообразие SU (2) является 3-сферой (но без проективной идентификации полярных противоположностей) .
Теперь это позволяет сыграть небольшую шутку. Возьмите вектор в обычном трехмерном пространстве (нашем физическом пространстве) и примените матрицу вращения к нему. Получается повернутый вектор. Это результат обычного вращения, основанного на здравом смысле.. Но есть еще и матрицы Паули ; это комплексные матрицы 2x2, обладающие свойством алгебры Ли, что и поэтому они моделируют поведение бесконечно малых вращений. Рассмотрим тогда продукт. «Двойное покрытие» - это свойство, что существует не одна, а две матрицы 2x2 такой, что
Здесь, обозначает инверсию ; это, Матрица является элементом SU (2), поэтому для любой матрицы в SO (3) есть два соответствующих : оба а также сделает свое дело. Эти двое являются полярными противоположностями, и проекция сводится к тривиальному наблюдению, что Игра тангелоида предназначена для иллюстрации того, что вращение на 360 градусов ведет к пути от к . Это довольно точно: можно рассматривать последовательность небольших вращений и соответствующее движение ; результат меняет знак. По углам поворота в матрица будет иметь в нем, но соответствие будет в этом. Дальнейшее разъяснение требует фактического написания этих формул.
Набросок можно дополнить некоторыми общими замечаниями. Во-первых, алгебры Ли являются общими, и для каждой существует одна или несколько соответствующих групп Ли . В физике трехмерные вращения нормальных трехмерных объектов, очевидно, описываются группой вращения , которая представляет собой группу Ли из матриц 3x3.. Однако спиноры , частицы со спином 1/2 , вращаются согласно матрицамв SU (2). Матрицы 4x4 описывают вращение частиц со спином 3/2, а матрицы 5x5 описывают вращение частиц со спином 2 и так далее. Представления групп Ли и алгебр Ли описываются теорией представлений . Представление со спином 1/2 принадлежит фундаментальному представлению , а представление со спином 1 является присоединенным . Используемое здесь понятие двойного покрытия является общим явлением, описываемым покрывающими картами . Покрывающие карты, в свою очередь, являются частным случаем пучков волокон . Классификация покрывающих карт осуществляется с помощью теории гомотопий ; в этом случае формальное выражение двойного накрытия сказать , что фундаментальная группа являетсягде группа покрытия просто кодирует два эквивалентных поворота а также выше. В этом смысле группа вращения обеспечивает дверь, ключ к царству обширных разделов высшей математики.
Смотрите также
- Запутанность ориентации
- Трюк с тарелкой
Рекомендации
- ^ Piet Hein , www.piethein.com, загруженное 13.12.2011
- ↑ Отрывок из книги М. Гарднера из журнала Scientific American : Новые математические отклонения Мартина Гарднера от Scientific American , Саймон и Шустер, 1996, ISBN 978-0-671-20989-6
- ↑ M. Gardner: Sphere Packing, Lewis Carroll и Reversi: New Mathematical Diversions Мартина Гарднера. Архивировано 06 апреля2012 г. в Wayback Machine , Cambridge University Press, сентябрь 2009 г., ISBN 978-0-521-75607-5
Внешние ссылки
- Танглоиды , YouTube