(Перенаправлено из Parallelizable )
Перейти к навигации Перейти к поискуВ математике дифференцируемое многообразие размерности n называется распараллеливаемым [1], если существуют гладкие векторные поля
на многообразии, таким образом, что в каждой точке из тех касательных векторов
обеспечивает основу из касательного пространства в . Эквивалентно, то касательное расслоение является тривиальным расслоением , [2] , так что связан главное расслоение из линейных кадров имеет глобальное сечение по
Конкретный выбор такого базиса векторных полей на называется распараллеливанием (или абсолютным параллелизмом ) .
Примеры [ править ]
- Примером с n = 1 является круг : мы можем принять V 1 как единичное касательное векторное поле, скажем, направленное против часовой стрелки. Тор размерности п также параллелизуемый, как можно видеть, выражая его как декартово произведение окружностей. Например, возьмите n = 2 и постройте тор из квадрата миллиметровой бумаги с противоположными краями, склеенными вместе, чтобы получить представление о двух касательных направлениях в каждой точке. В более общем смысле, каждая группа Ли G распараллеливаема, поскольку базис касательного пространства в единичном элементеможет быть перемещен действием группы сдвигов G на G (каждый сдвиг является диффеоморфизмом, и поэтому эти сдвиги индуцируют линейные изоморфизмы между касательными пространствами точек в G ).
- Классической задачей было определить, какие из сфер S n можно распараллелить. Нульмерный случай S 0 тривиально распараллеливаем. Случай S 1 - это круг, который, как уже объяснялось, можно распараллелить. В волосатой Шаровой теореме показывает , что S - не параллелизуемый. Однако S 3 распараллеливаема, поскольку это группа Ли SU (2) . Единственная другая параллелизируемая сфера - это S 7 ; это было доказано в 1958 году Мишелем Кервером , Раулем Боттом и Джоном Милнором., в самостоятельной работе. Параллелизуемые сферы точно соответствуют элементам единичной нормы в нормированных алгебрах с делением действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октонионов , что позволяет построить параллелизм для каждого из них. Доказать, что другие сферы нельзя распараллеливать, сложнее и требует алгебраической топологии .
- Произведение распараллеливаемых многообразий распараллеливается.
- Каждое ориентируемое трехмерное многообразие параллелизуемо.
Замечания [ править ]
- Любое параллелизуемое многообразие является ориентируема .
- Термин оснащенное многообразие (иногда оснащенное многообразие ) чаще всего применяется к вложенному многообразию с данной тривиализацией нормального расслоения , а также к абстрактному (т.е. невложенному) многообразию с данной стабильной тривиализацией касательного расслоения .
- Связанное с этим понятие - понятие π-многообразия . [3] Гладкое многообразие M называется π-многообразием, если при вложении в евклидово пространство большой размерности его нормальное расслоение тривиально. В частности, каждое параллелизуемое многообразие является π-многообразием.
См. Также [ править ]
- Диаграмма (топология)
- Дифференцируемое многообразие
- Комплект кадров
- Инвариант Кервера
- Пучок ортонормированных кадров
- Основной пакет
- Связь (математика)
- G-структура
Заметки [ править ]
- ^ Бишоп, Ричард Л .; Гольдберг, Сэмюэл И. (1968), Тензорный анализ многообразий , Нью-Йорк: Макмиллан, стр. 160
- ^ Милнор, Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характеристические классы , Анналы математических исследований, 76 , Princeton University Press, стр. 15, ISBN 0-691-08122-0
- ^ Милнор, Джон В. (1958), Дифференцируемые многообразия, которые являются гомотопическими сферами (PDF)
Ссылки [ править ]
- Бишоп, Ричард Л .; Голдберг, Сэмюэл И. (1968), Тензорный анализ на многообразиях (первое издание Dover 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
- Милнор, Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характеристические классы , Princeton University Press
- Милнор, Джон В. (1958), Дифференцируемые многообразия, которые являются гомотопическими сферами (PDF) , примечания на мимеографе