В математике , А нелинейной задачи на собственные значения , иногда нелинейной задачи на собственные значения , является обобщением (обычной) задаче на собственные значения для уравнений , которые зависят нелинейно от собственного значения. В частности, это относится к уравнениям вида
где это вектор , иявляется матрицей -значной функции от числа. Номерназывается (нелинейным) собственным значением , векторкак (нелинейный) собственный вектор , икак собственная пара . Матрица сингулярна в собственном значении .
Определение
В дисциплине числовой линейной алгебры обычно используется следующее определение. [1] [2] [3] [4]
Позволять , и разреши - функция, отображающая скаляры в матрицы. Скалярназывается собственным значением , а ненулевой векторназывается правым собственным вектором, если. Кроме того, ненулевой векторназывается левым собственным вектором, если, где верхний индекс обозначает эрмитово транспонирование . Определение собственного значения эквивалентно, где обозначает определитель . [1]
Функция как правило , требуется , чтобы быть голоморфна в(в какой-то области ).
В общем, может быть линейной картой , но чаще всего это конечномерная, обычно квадратная матрица.
Определение: проблема называется регулярной, если существует такой, что . В противном случае говорят, что он особенный . [1] [4]
Определение: собственное значениеимеет алгебраическую кратность если - наименьшее целое число такое, что -я производная от относительно , в отличен от нуля. В формулах, которые но для . [1] [4]
Определение: Геометрическая кратность собственного значенияэто размерность нулевого пространства. [1] [4]
Особые случаи
Нелинейная проблема собственных значений является обобщением следующих ниже примеров являются частными случаями нелинейной проблемы собственных значений.
- (Обычная) проблема собственных значений :
- Обобщенная проблема собственных значений :
- Квадратичная задача на собственные значения :
- Задача полиномиальных собственных значений:
- Проблема рациональных собственных значений: где являются рациональными функциями .
- Проблема собственных значений задержки : где даны скаляры, известные как задержки.
Иорданские цепи
Определение: Пустьбыть собственной парой. Набор векторовназывается жордановой цепочкой, если
Теорема: [1] Набор векторов является цепочкой Жордана тогда и только тогда, когда функция имеет корень ва корень имеет кратность не менее для , где вектор-функция определяется как
Нелинейность собственного вектора
Нелинейность собственных векторов - это родственная, но другая форма нелинейности, которая иногда изучается. В этом случае функцияотображает векторы в матрицы или иногда эрмитовы матрицы в эрмитовы матрицы. [5] [6]
Рекомендации
- ^ a b c d e f g Гюттель, Стефан; Тиссер, Франсуаза (2017). «Нелинейная проблема собственных значений» (PDF) . Acta Numerica . 26 : 1–94. DOI : 10.1017 / S0962492917000034 . ISSN 0962-4929 . S2CID 46749298 .
- ^ Рухе, Аксель (1973). "Алгоритмы решения нелинейной проблемы собственных значений" . Журнал СИАМ по численному анализу . 10 (4): 674–689. DOI : 10.1137 / 0710059 . ISSN 0036-1429 . JSTOR 2156278 .
- ^ Мехрманн, Фолькер ; Восс, Генрих (2004). «Нелинейные задачи на собственные значения: вызов для современных методов собственных значений» . GAMM-Mitteilungen . 27 (2): 121–152. DOI : 10.1002 / gamm.201490007 . ISSN 1522-2608 .
- ^ а б в г д Восс, Генрих (2014). «Нелинейные задачи на собственные значения» (PDF) . В Hogben, Лесли (ред.). Справочник по линейной алгебре (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Чепмен и Холл / CRC. ISBN 9781466507289.
- ^ Ярлебринг, Элиас; Квааль, Симен; Михилс, Вим (01.01.2014). "Метод обратной итерации для задач на собственные значения с нелинейностями собственного вектора" . Журнал СИАМ по научным вычислениям . 36 (4): A1978 – A2001. arXiv : 1212.0417 . DOI : 10.1137 / 130910014 . ISSN 1064-8275 . S2CID 16959079 .
- ^ Упадхьяя, Парикшит; Ярлебринг, Элиас; Рубенссон, Эмануэль Х. (2021). «Матрица плотности подход к сходимости самосогласованной итерации поля» . Численная алгебра, управление и оптимизация . 11 (1): 99. DOI : 10,3934 / naco.2020018 . ISSN 2155-3297 .
дальнейшее чтение
- Франсуаза Тиссер и Карл Меерберген, "Квадратичная проблема собственных значений", Обзор SIAM 43 (2), 235–286 (2001) ( ссылка ).
- Джин Х. Голуб и Хенк А. ван дер Ворст, "Вычисление собственных значений в 20 веке", Журнал вычислительной и прикладной математики 123 , 35–65 (2000).
- Филипп Гийом, "Нелинейные задачи на собственные значения", Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям 20 (3), 575–595 (1999) ( ссылка ).
- Седрик Эффенбергер, " Робастные методы решения нелинейных задач на собственные значения ", докторская диссертация EPFL (2013 г.) ( ссылка )
- Роэль Ван Бьюмен, " Рациональные методы Крылова для нелинейных задач на собственные значения ", докторская диссертация KU Leuven (2015) ( ссылка )