В математике , в сопряженном транспонировании (или эрмитовых транспонированный ) требуемый м матрицы с размерностью п матрицыс комплексными элементами - это матрица размером n на m, полученная извзяв транспонирование, а затем взяв комплексное сопряжение каждой записи (комплексное сопряжение существование , для действительных чисел а также ). Его часто обозначают как или же . [1] [2] [3]
Для реальных матриц сопряженное транспонирование - это просто транспонирование, .
Определение
Сопряженное транспонирование матрица формально определяется
( Уравнение 1 )
где нижний индекс обозначает -я запись, для а также , а черта сверху обозначает скалярное комплексное сопряжение.
где обозначает транспонирование и обозначает матрицу с комплексно сопряженными элементами.
Другие названия сопряженного транспонирования матрицы - эрмитово сопряженная , неоднородная матрица , присоединенная матрица или трансъюгированная . Сопряженное транспонирование матрицы может обозначаться любым из этих символов:
Сопряженная транспонированная «сопряженная» матрица не следует путать с адъюгатом ,, который также иногда называют сопряженным .
Сопряженное транспонирование матрицы с реальными записями сводится к транспонированной из, поскольку сопряжение действительного числа - это само число.
Мотивация
Сопряженное транспонирование может быть мотивировано тем, что комплексные числа могут быть удобно представлены вещественными матрицами 2 × 2, подчиняясь сложению и умножению матриц:
То есть, обозначающие каждое комплексное число г на реальном 2 × 2 матрицы линейного преобразования на диаграмме Аргана ( если смотреть в качестве реального векторного пространства), на которую действует комплексное z -умножение на.
Таким образом, матрица комплексных чисел размером m на n может быть хорошо представлена матрицей действительных чисел размером 2 m на 2 n . Поэтому сопряженное транспонирование возникает очень естественно , как результат просто транспонирование такой матрицы , когда снова рассматривать как п матрицу с размерностью м матрицы из комплексных чисел.
Свойства сопряженного транспонирования
для любых двух матриц а также таких же размеров.
для любого комплексного числа и любая матрица размером m на n.
для любой матрицы размером m на nи любая n -by- p матрица. Обратите внимание, что порядок факторов обратный. [2]
для любой матрицы размером m на n, т.е. эрмитова транспозиция - это инволюция .
Если квадратная матрица, то где обозначает определитель из .
Если квадратная матрица, то где обозначает след из.
для любой матрицы размером m на n, любой вектор в и любой вектор . Здесь,обозначает стандартный сложный внутренний продукт на, и аналогично для .
Обобщения
Последнее свойство, приведенное выше, показывает, что если кто-то просматривает как линейное преобразование из гильбертова пространства к тогда матрица соответствует сопряженному оператору из. Таким образом, понятие сопряженных операторов между гильбертовыми пространствами можно рассматривать как обобщение сопряженного транспонирования матриц относительно ортонормированного базиса.