В математике , то скалярное произведение или скалярное произведение [примечание 1] является алгебраической операцией , которая принимает два равной длину последовательности чисел (обычно координаты векторов ), и возвращает одно число. В евклидовой геометрии широко используется скалярное произведение декартовых координат двух векторов . Его часто называют « внутренним продуктом» (или реже проекционным продуктом ) евклидова пространства, хотя это не единственный внутренний продукт, который может быть определен в евклидовом пространстве (подробнее см. « Пространство внутреннего продукта» ).
Алгебраически скалярное произведение - это сумма произведений соответствующих записей двух последовательностей чисел. Геометрически это произведение евклидовых величин двух векторов и косинуса угла между ними. Эти определения эквивалентны при использовании декартовых координат. В современной геометрии , евклидовы пространства часто определяются с помощью векторных пространств . В этом случае скалярное произведение используется для определения длин (длина вектора - это квадратный корень из скалярного произведения самого вектора) и углов (косинус угла двух векторов является частным от их скалярного произведения. произведением их длины).
Название «скалярный продукт» происходит от точки « · », которая часто используется для обозначения этой операции; [1] [2] альтернативное название «скалярное произведение» подчеркивает, что результатом является скаляр , а не вектор , как в случае векторного произведения в трехмерном пространстве.
Определение
Скалярное произведение может быть определено алгебраически или геометрически. Геометрическое определение основано на понятиях угла и расстояния (величины векторов). Эквивалентность этих двух определений зависит от наличия декартовой системы координат для евклидова пространства.
В современных представлениях евклидовой геометрии точки пространства определяются в терминах их декартовых координат , а само евклидово пространство обычно отождествляется с реальным координатным пространством R n . В таком представлении понятия длины и углов определяются с помощью скалярного произведения. Длина вектора определяется как квадратный корень из скалярного произведения вектора, а косинус (неориентированного) угла двух векторов длины один определяется как их скалярное произведение. Таким образом, эквивалентность двух определений скалярного произведения является частью эквивалентности классической и современной формулировок евклидовой геометрии.
Алгебраическое определение
Скалярное произведение двух векторов a = [ a 1 , a 2 ,…, a n ] и b = [ b 1 , b 2 ,…, b n ] определяется как: [3]
где Σ обозначает суммирование и п есть размерность в векторном пространстве . Например, в трехмерном пространстве скалярное произведение векторов [1, 3, −5] и [4, −2, −1] равно:
Если векторы идентифицируются с матрицами-строками , скалярное произведение также может быть записано как матричное произведение
где обозначает транспонирование из.
Выражая приведенный выше пример таким образом, матрица 1 × 3 ( вектор-строка ) умножается на матрицу 3 × 1 ( вектор-столбец ), чтобы получить матрицу 1 × 1, которая идентифицируется с ее уникальной записью:
- .
Геометрическое определение
В евклидовом пространстве , А евклидова вектор представляет собой геометрический объект , который обладает как величину , так и направление. Вектор можно представить в виде стрелки. Его величина - это его длина, а его направление - это направление, на которое указывает стрелка. Величина вектора a обозначается через. Скалярное произведение двух евклидовых векторов a и b определяется формулой [4] [5] [2]
где θ - угол между a и b .
В частности, если векторы и Ь являются ортогональными (то есть, их угол π / 2 или 90 °), а затем, откуда следует, что
С другой стороны, если они сонаправлены, то угол между ними равен нулю с а также
Это означает, что скалярное произведение вектора a на себя равно
который дает
формула евклидовой длины вектора.
Скалярная проекция и первые свойства
Проекции скалярная (или скалярная компонента) евклидова вектора а в направлении евклидова вектора Ь дается
где θ - угол между a и b .
С точки зрения геометрического определения скалярного произведения это можно переписать
где - единичный вектор в направлении b .
Таким образом, скалярный продукт геометрически характеризуется формулой [6]
Скалярное произведение, определенное таким образом, является однородным при масштабировании по каждой переменной, что означает, что для любого скаляра α ,
Он также удовлетворяет закону распределения , что означает, что
Эти свойства можно резюмировать, сказав, что скалярное произведение представляет собой билинейную форму . Более того, эта билинейная форма положительно определена , а это означает, что никогда не бывает отрицательным и равен нулю тогда и только тогда, когда - нулевой вектор.
Таким образом, скалярное произведение эквивалентно умножению нормы (длины) b на норму проекции a на b .
Эквивалентность определений
Если e 1 , ..., e n - стандартные базисные векторы в R n , то мы можем написать
Векторы e i являются ортонормированным базисом , что означает, что они имеют единичную длину и расположены под прямым углом друг к другу. Следовательно, поскольку эти векторы имеют единичную длину
и поскольку они образуют прямые углы друг с другом, если i ≠ j ,
Таким образом, в целом можно сказать, что:
Где δ ij - дельта Кронекера .
Также по геометрическому определению для любого вектора e i и вектора a отметим
где a i - составляющая вектора a в направлении e i . Последний шаг в равенстве видно из рисунка.
Теперь применение дистрибутивности геометрической версии скалярного произведения дает
что и есть алгебраическое определение скалярного произведения. Таким образом, геометрическое скалярное произведение равно алгебраическому скалярному произведению.
Характеристики
Скалярное произведение удовлетворяет следующим свойствам, если a , b и c - действительные векторы, а r - скаляр . [3] [4]
- Коммутативный :
- которое следует из определения ( θ - угол между a и b ): [7]
- Дистрибутивное сложение над вектором:
- Билинейный :
- Скалярное умножение :
- Не ассоциативно, потому что скалярное произведение между скаляром ( a ⋅ b ) и вектором ( c ) не определено, что означает, что выражения, участвующие в ассоциативном свойстве, ( a ⋅ b ) ⋅ c или a ⋅ ( b ⋅ c ) оба плохо определены. [8] Обратите внимание, однако, что ранее упомянутое свойство скалярного умножения иногда называют «законом ассоциации для скалярного и скалярного произведения» [9], или можно сказать, что «скалярное произведение ассоциативно относительно скалярного умножения», потому что c ( a ⋅ б ) = ( c a ) ⋅ b = a ⋅ ( c b ). [10]
- Ортогональный :
- Два ненулевых векторов а и Ь являются ортогональными , если и только если ⋅ б = 0 .
- Без отмены :
- В отличие от умножения обычных чисел, где если ab = ac , то b всегда равно c, если a не равно нулю, скалярное произведение не подчиняется закону отмены :
- Если a ⋅ b = a ⋅ c и a ≠ 0 , то мы можем записать: a ⋅ ( b - c ) = 0 по закону распределения ; результат выше говорит, что это просто означает, что a перпендикулярно ( b - c ) , что по-прежнему допускает ( b - c ) ≠ 0 , и, следовательно, допускает b ≠ c .
- Правило продукта :
- Если a и b являются (векторнозначными) дифференцируемыми функциями , то производная ( обозначенная штрихом ′) функции a ⋅ b задается правилом ( a ⋅ b ) ′ = a ′ ⋅ b + a ⋅ b ′ .
Приложение к закону косинусов
Учитывая два вектора a и b, разделенных углом θ (см. Изображение справа), они образуют треугольник с третьей стороной c = a - b . Точечный продукт этого с самим собой:
который является законом косинусов .
Тройной продукт
Есть две тернарные операции, включающие скалярное произведение и перекрестное произведение .
Смешанное произведение трех векторов определяется как
Его значение является определителем матрицы, столбцы которой являются декартовыми координатами трех векторов. Это объем со знаком параллелепипеда, определяемый тремя векторами.
Вектор тройное произведение определяется [3] [4]
Это тождество, также известное как формула Лагранжа , можно запомнить как «BAC минус CAB», имея в виду, какие векторы соединены точками. Эта формула имеет приложения для упрощения векторных вычислений в физике .
Физика
В физике , векторная величина является скаляром в физическом смысле (то есть, физическая величина не зависит от системы координат), выраженный в виде продукта в виде числового значения и физическая единицей , а не просто номер. Скалярное произведение также является скаляром в этом смысле, заданном формулой, независимо от системы координат. Например: [11] [12]
- Механическая работа - это скалярное произведение векторов силы и смещения ,
- Мощность - это скалярное произведение силы и скорости .
Обобщения
Комплексные векторы
Для векторов со сложными элементами использование данного определения скалярного произведения приведет к совершенно другим свойствам. Например, скалярное произведение вектора с самим собой было бы произвольным комплексным числом и могло бы быть нулевым, если бы вектор не был нулевым вектором (такие векторы называются изотропными ); это, в свою очередь, будет иметь последствия для таких понятий, как длина и угол. Такие свойства, как положительно определенная норма, могут быть сохранены за счет отказа от симметричных и билинейных свойств скалярного произведения с помощью альтернативного определения [13] [3]
где является комплексно сопряженным из. Это также может быть выражено в терминах сопряженного транспонирования (обозначается надстрочным индексом H):
где векторы предполагались представленными как векторы-строки. Тогда скалярное произведение любого вектора на себя является неотрицательным действительным числом и отличным от нуля, за исключением нулевого вектора. Однако это скалярное произведение, таким образом, является полуторалинейным, а не билинейным: оно сопряжено линейно и не линейно по a , а скалярное произведение не является симметричным, поскольку
Угол между двумя комплексными векторами тогда определяется как
Тем не менее, этот тип скалярного произведения полезен и ведет к понятиям эрмитовой формы и общих пространств внутреннего произведения . Самостоятельное скалярное произведение сложного вектораявляется обобщением абсолютного квадрата комплексного скаляра.
Внутренний продукт
Скалярное произведение обобщает скалярное произведение на абстрактные векторных пространства над полем из скаляров , будучи либо полем действительных чисел или поле комплексных чисел . Обычно его обозначают угловыми скобками как. [1]
Внутреннее произведение двух векторов над полем комплексных чисел, как правило, является комплексным числом и является полуторалинейным, а не билинейным. Внутреннее пространство продукта - это нормированное векторное пространство , а внутреннее произведение вектора на себя является действительным и положительно определенным.
Функции
Скалярное произведение определяется для векторов, которые имеют конечное число элементов . Таким образом, эти векторы можно рассматривать как дискретные функции : вектор u длины n - это функция с областью определения { k ∈ ℕ ∣ 1 ≤ k ≤ n } , а u i - обозначение образа i функцией / вектор u .
Это понятие можно обобщить на непрерывные функции : так же, как внутреннее произведение векторов использует сумму по соответствующим компонентам, внутреннее произведение функций определяется как интеграл по некоторому интервалу a ≤ x ≤ b (также обозначается [ a , b ] ) : [3]
Дальнейшее обобщение на комплексные функции ψ ( x ) и χ ( x ) по аналогии с комплексным скалярным произведением выше дает [3]
Весовая функция
Внутренние продукты могут иметь весовую функцию (т. Е. Функцию, которая взвешивает каждый член внутреннего продукта со значением). Явно внутренний продукт функций а также относительно весовой функции является
Диадики и матрицы
Матрицы имеют внутреннее произведение Фробениуса , которое аналогично векторному внутреннему произведению. Он определяется как сумма произведений соответствующих компонентов двух матриц A и B, имеющих одинаковый размер:
- (Для реальных матриц)
У диадики есть скалярное произведение и «двойное» скалярное произведение, определенные на них, их определения см. В разделе « Диадика» § Продукт диадики и диадики .
Тензоры
Внутреннее произведение между тензором порядка n и тензором порядка m - это тензор порядка n + m - 2 , подробности см. В разделе « Сжатие тензор» .
Вычисление
Алгоритмы
Простой алгоритм вычисления скалярного произведения векторов с плавающей запятой может иметь катастрофическую отмену . Чтобы избежать этого, используются такие подходы, как алгоритм суммирования Кахана .
Библиотеки
Функция скалярного произведения включена в BLAS уровня 1.
Смотрите также
- Неравенство Коши – Шварца.
- Перекрестное произведение
- Точечное произведение графа
- Евклидова норма , квадратный корень из собственного скалярного произведения
- Умножение матриц
- Метрический тензор
- Умножение векторов
- Внешний продукт
Заметки
- ^ Термин скалярное произведение часто также используется в более общем смысле для обозначения симметричной билинейной формы , например, для псевдоевклидова пространства . [ необходима цитата ]
Рекомендации
- ^ a b «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 6 сентября 2020 .
- ^ а б «Точечный продукт» . www.mathsisfun.com . Проверено 6 сентября 2020 .
- ^ а б в г д е С. Липшуц; М. Липсон (2009). Линейная алгебра (Наброски Шаума) (4-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-154352-1.
- ^ а б в MR Spiegel; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ (Наброски Шаума) (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.
- ^ А.И. Борисенко; И.Е. Тапаров (1968). Векторный и тензорный анализ с приложениями . Перевод Ричарда Сильвермана. Дувр. п. 14.
- ^ Арфкен, Великобритания; Вебер, HJ (2000). Математические методы для физиков (5-е изд.). Бостон, Массачусетс: Academic Press . С. 14–15. ISBN 978-0-12-059825-0..
- ^ Никамп, Дуэйн. «Точечный продукт» . Math Insight . Проверено 6 сентября 2020 года .
- ^ Weisstein, Эрик В. "Точечный продукт". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html
- ^ Т. Банчофф; Дж. Вермер (1983). Линейная алгебра через геометрию . Springer Science & Business Media. п. 12. ISBN 978-1-4684-0161-5.
- ^ А. Бедфорд; Уоллес Л. Фаулер (2008). Инженерная механика: Статика (5-е изд.). Прентис Холл. п. 60. ISBN 978-0-13-612915-8.
- ^ К.Ф. Райли; М. П. Хобсон; SJ Бенце (2010). Математические методы для физики и техники (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3.
- ^ М. Мэнсфилд; К. О'Салливан (2011). Понимание физики (4-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-47-0746370.
- ^ Бербериан, Стерлинг К. (2014) [1992], Linear Algebra , Dover, p. 287, ISBN 978-0-486-78055-9
Внешние ссылки
- «Внутренний продукт» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Объяснение скалярного произведения в том числе со сложными векторами
- «Точечный продукт» Брюса Торренса, Демонстрационный проект Вольфрама , 2007.