В математике , то комплексно сопряженное из комплексного векторного пространства комплексное векторное пространство , который имеет те же элементы и структуру аддитивной группы, что и , но чье скалярное умножение включает сопряжение скаляров. Другими словами, скалярное умножение удовлетворяет
где является скалярным умножением а также является скалярным умножением . Письмо обозначает вектор в , комплексное число, и обозначает комплексное сопряжение с. [1]
Более конкретно, комплексно-сопряженное векторное пространство - это то же самое базовое реальное векторное пространство (тот же набор точек, то же сложение векторов и вещественное скалярное умножение) с сопряженной линейной комплексной структурой J (другое умножение на i ).
Мотивация
Если а также сложные векторные пространства, функция является антилинейным если
С использованием сопряженного векторного пространства , антилинейное отображение можно рассматривать как обычное линейное отображение типа. Линейность проверяют, отмечая:
Наоборот, любое линейное отображение, определенное на рождает антилинейную карту на .
Это тот же основной принцип, что и при определении противоположного кольца, так что правое- модуль можно рассматривать как левый-модуль или противоположной категории, так что контравариантный функтор можно рассматривать как обычный функтор типа .
Функтор комплексного сопряжения
Линейная карта дает соответствующее линейное отображение который имеет то же действие, что и . Обратите внимание, что сохраняет скалярное умножение, потому что
Таким образом, комплексное сопряжение а также определить функтор из категории комплексных векторных пространств самому себе.
Если а также конечномерны, а отображение описывается комплексной матрицей по отношению к базам из а также из , то карта описывается комплексным сопряжением по отношению к базам из а также из .
Структура конъюгата
Векторные пространства а также имеют одинаковую размерность над комплексными числами и, следовательно, изоморфны как комплексные векторные пространства. Однако естественного изоморфизма из к .
Двойное сопряжение идентичен .
Комплексно сопряженное гильбертово пространство
Учитывая гильбертово пространство (конечной или бесконечномерной), ее комплексно сопряженная является тем же векторным пространством, что и его непрерывное двойственное пространство . Между непрерывными линейными функционалами и векторами существует взаимно однозначное антилинейное соответствие. Другими словами, любой непрерывный линейный функционал наявляется внутренним умножением на некоторый фиксированный вектор, и наоборот. [ необходима цитата ]
Таким образом, комплексно сопряженный к вектору , особенно в случае конечной размерности, можно обозначить как (v-звездочка, вектор-строка, который является сопряженным транспонированным в вектор-столбец). В квантовой механике сопряженный кет-вектор обозначается как - вектор бюстгальтера (см. Обозначения бюстгальтера ).
Смотрите также
Рекомендации
- ^ К. Schmüdgen (11 ноября 2013). Неограниченные операторные алгебры и теория представлений . Birkhäuser. п. 16. ISBN 978-3-0348-7469-4.
дальнейшее чтение
- Будинич П., Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (Комплексно сопряженные векторные пространства обсуждаются в разделе 3.3, стр. 26).