Математическое доказательство

П. Окси. 29 , один из старейших сохранившихся фрагментов « Элементов Евклида» , учебник, используемый на протяжении тысячелетий для обучения методам корректуры. Диаграмма прилагается к книге II, предложение 5. ^[1]

Математическое доказательство является выведенным аргументом для математической постановки , показывая , что указанные предположения логически гарантировать заключение. В аргументе могут использоваться другие ранее установленные утверждения, такие как теоремы ; но каждое доказательство, в принципе, может быть построено с использованием только определенных основных или исходных предположений, известных как аксиомы , ^{[2] [3] [4]} вместе с принятыми правилами вывода . Доказательства - это примеры исчерпывающих дедуктивных рассуждений, которые устанавливают логическую достоверность, которые следует отличать от эмпирических аргументов или неисчерпывающих аргументов.индуктивные рассуждения, устанавливающие «разумное ожидание». Представления многих случаев, в которых утверждение верно, недостаточно для доказательства, которое должно продемонстрировать, что утверждение верно во всех возможных случаях. Недоказанное предположение, которое считается истинным, известно как предположение или гипотеза, если оно часто используется в качестве предположения для дальнейшей математической работы. ^[5]

Доказательства используют логику, выраженную в математических символах, наряду с естественным языком, который обычно допускает некоторую двусмысленность. В большей части математической литературы доказательства написаны в терминах строгой неформальной логики . Чисто формальные доказательства , написанные полностью на символическом языке без привлечения естественного языка, рассматриваются в теории доказательств . Различие между формальными и неформальными доказательствами привело к тщательному изучению современной и исторической математической практики , квазиэмпиризма в математике и так называемой народной математики.устные традиции в основном математическом сообществе или в других культурах. Философии математики касается роли языка и логики в доказательствах, и математики как языка .

История и этимология [ править ]

Слово «доказательство» происходит от латинского probare (проверять). Родственными современными словами являются английские «зонд», «испытательный срок» и «вероятность», испанский probar (обонять или пробовать, или иногда осязать или проверять), ^[6] итальянский provare (пробовать) и немецкий пробирен (пробовать). . Юридический термин «честность» означает авторитет или надежность, силу свидетельских показаний для доказательства фактов, когда они даются лицами с репутацией или статусом. ^[7]

Аргументы правдоподобия с использованием эвристических приемов, таких как изображения и аналогии, предшествовали строгому математическому доказательству. ^[8] Вполне вероятно, что идея демонстрации вывода впервые возникла в связи с геометрией , которая возникла в практических задачах измерения земли. ^[9] Разработка математических доказательств - это прежде всего продукт древнегреческой математики и одно из ее величайших достижений. ^[10] Фалес (624–546 до н. Э.) И Гиппократ Хиосский (ок. 470–410 до н. Э.) Дали некоторые из первых известных доказательств геометрических теорем. Евдокс (408–355 до н. Э.) И Теэтет(417–369 г. до н.э.) сформулировал теоремы, но не доказал их. Аристотель (384–322 до н. Э.) Сказал, что определения должны описывать концепцию, определяемую в терминах других уже известных концепций.

Математическое доказательство произвело революцию благодаря Евклиду (300 г. до н.э.), который ввел аксиоматический метод , который используется до сих пор. Он начинается с неопределенных терминов и аксиом , утверждений, касающихся неопределенных терминов, которые считаются самоочевидно истинными (от греческого «axios», что-то достойное). Исходя из этого, метод доказывает теоремы с использованием дедуктивной логики . Книгу Евклида « Элементы» читали все, кто считался образованным на Западе до середины 20 века. ^[11] В дополнение к теоремам геометрии, таким как теорема Пифагора , Элементытакже охватывает теорию чисел, включая доказательство того, что квадратный корень из двух иррационально, и доказательство того, что существует бесконечно много простых чисел.

Дальнейшие успехи имели место и в средневековой исламской математике . В то время как более ранние греческие доказательства были в основном геометрическими демонстрациями, развитие арифметики и алгебры исламскими математиками позволило получить более общие доказательства, не зависящие от геометрической интуиции. В 10 веке нашей эры иракский математик Аль-Хашими работал с числами как таковыми, называемыми «линиями», но не обязательно рассматриваемыми как измерения геометрических объектов, для доказательства алгебраических утверждений относительно умножения, деления и т. Д., Включая существование иррациональных чисел. . ^[12] индуктивное доказательство для арифметических последовательностейбыл введен в Аль-Фахри (1000) Аль-Караджи , который использовал его для доказательства биномиальной теоремы и свойств треугольника Паскаля . Альхазен также разработал метод доказательства от противного , как первую попытку доказать постулат евклидовой параллели . ^[13]

Современная теория доказательств рассматривает доказательства как индуктивно определенные структуры данных , не требующие предположения, что аксиомы «истинны» в каком-либо смысле. Это позволяет использовать параллельные математические теории как формальные модели данной интуитивной концепции, основанные на альтернативных наборах аксиом, например, теории аксиоматических множеств и неевклидовой геометрии .

Природа и цель [ править ]

На практике доказательство выражается на естественном языке и представляет собой строгий аргумент, призванный убедить аудиторию в истинности утверждения. Стандарт строгости не является абсолютным и менялся на протяжении всей истории. Доказательство может быть представлено по-разному в зависимости от предполагаемой аудитории. Чтобы получить признание, доказательство должно соответствовать общественным стандартам строгости; аргумент считается расплывчатым или неполным , может быть отклонен.

Понятие доказательства формализовано в области математической логики. ^[14] Формальное доказательство написано на формальном языке , вместо естественного языка. Формальное доказательство - это последовательность формул на формальном языке, начинающаяся с предположения, и каждая последующая формула является логическим следствием предыдущих. Это определение делает концепцию доказательства доступной для изучения. Действительно, область теории доказательств изучает формальные доказательства и их свойства, наиболее известным и удивительным является то, что почти все аксиоматические системы могут генерировать определенные неразрешимые утверждения, которые невозможно доказать в рамках системы.

Определение формального доказательства предназначено для отражения концепции доказательств, как написано в математической практике. Обоснованность этого определения сводится к вере в то, что опубликованное доказательство, в принципе, может быть преобразовано в формальное доказательство. Однако, за пределами области автоматизированных помощников по доказательству , на практике это делается редко. Классический философский вопрос: являются ли математические доказательства аналитическими или синтетическими . Кант , который ввел различие аналитического и синтетического , считал математические доказательства синтетическими, тогда как Куайн в своих « Две догмах эмпиризма » 1951 года утверждал, что такое различие несостоятельно. ^[15]

Доказательствами можно восхищаться за их математическую красоту . Математик Пол Эрдёш был известен тем, что описал доказательства, которые, как он находил, были особенно элегантными, поскольку были взяты из «Книги», гипотетического фолианта, содержащего самые прекрасные методы доказательства каждой теоремы. Книга « Доказательства из КНИГИ» , изданная в 2003 году, посвящена 32 доказательствам, которые ее редакторы находят особенно приятными.

Методы [ править ]

Прямое доказательство [ править ]

В прямом доказательстве заключение устанавливается путем логического объединения аксиом, определений и предыдущих теорем. ^[16] Например, прямое доказательство может использоваться, чтобы доказать, что сумма двух четных целых чисел всегда четна:

Рассмотрим два целых четных числа x и y . Поскольку они четные, их можно записать как x  = 2 a и y  = 2 b , соответственно, для целых чисел a и b . Тогда сумма x  +  y  = 2 a  + 2 b  = 2 ( a + b ). Следовательно, x + y имеет множитель 2 и по определению является четным. Следовательно, сумма любых двух четных целых чисел четная.

Это доказательство использует определение четных целых чисел, целочисленные свойства замыкания относительно сложения и умножения, а также дистрибутивность .

Доказательство математической индукцией [ править ]

Несмотря на свое название, математическая индукция - это метод дедукции , а не форма индуктивного рассуждения . При доказательстве с помощью математической индукции доказывается единственный «базовый случай» и доказывается «правило индукции», которое устанавливает, что из любого произвольного случая следует следующий случай. Поскольку в принципе правило индукции может применяться многократно (начиная с доказанного базового случая), отсюда следует, что все (обычно бесконечно много) случаев доказуемы. ^[17] Это позволяет избежать необходимости доказывать каждый случай индивидуально. Вариант математической индукции - это доказательство бесконечным спуском , которое можно использовать, например, для доказательства иррациональности квадратного корня из двух . ^[5]

Обычное применение доказательства с помощью математической индукции состоит в том, чтобы доказать, что свойство, которое, как известно, выполняется для одного числа, выполняется для всех натуральных чисел: ^[18] Пусть N = {1,2,3,4, ... } - множество натуральных чисел. чисел, а P ( n ) - математическое выражение, включающее натуральное число n, принадлежащее N такое, что

• (i) P (1) истинно, т. е. P ( n ) истинно для n = 1 .
• (ii) P ( n +1) истинно, если P ( n ) истинно, т. е. P ( n ) истинно означает, что P ( n +1) истинно.
• Тогда P ( n ) истинно для всех натуральных чисел n .

Например, мы можем доказать по индукции, что все натуральные числа вида 2 n  - 1 нечетны. Пусть P ( n ) представляет « 2 n  - 1 нечетно»:

(i) Для n = 1 , 2 n  - 1 = 2 (1) - 1 = 1 , а 1 нечетно, так как при делении на 2 остается 1 . Таким образом, P (1) верно.

(ii) Для любого n , если 2 n  - 1 нечетно ( P ( n ) ), то (2 n  - 1) + 2 также должно быть нечетным, потому что добавление 2 к нечетному числу дает нечетное число. Но (2 n  - 1) + 2 = 2 n  + 1 = 2 ( n +1) - 1 , поэтому 2 ( n +1) - 1 нечетно ( P ( n +1) ). Итак, P ( n ) влечет P ( n +1) .

Таким образом, 2 n  - 1 нечетно для всех натуральных чисел n .

Более короткая фраза «доказательство по индукции» часто используется вместо «доказательство с помощью математической индукции». ^[19]

Доказательство противопоставлением [ править ]

Доказательство противопоставлением выводит утверждение «если p, то q » путем установления логически эквивалентного контрапозитивного утверждения: «если не q, то не p ».

Например, противопоставление может использоваться, чтобы установить, что для целого числа если четное, то четное:${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x}$

Допустим, даже нет. Тогда странно. Произведение двух нечетных чисел нечетное, следовательно , нечетное. Таким образом, это даже не так. Таким образом, если оно четное, предположение должно быть ложным, поэтому оно должно быть четным.${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{2}=x\cdot x}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$

Доказательство от противного [ править ]

В доказательстве от противного, также известном как латинская фраза reductio ad absurdum (сокращение до абсурда), показано, что если какое-то утверждение предполагается истинным, возникает логическое противоречие, следовательно, утверждение должно быть ложным. Известный пример включает доказательство того, что число является иррациональным :${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Предположим, что это рациональное число. Тогда это можно было бы записать в наименьших терминах, как где a и b - ненулевые целые числа без общего множителя . Таким образом, . Возведение обеих сторон в квадрат дает 2 b ² = a ² . Так как 2 делит выражение слева, 2 должно также делить выражение равенства справа. То есть, а ² является четным, что означает, что а также должно быть четным, как показано в предложении выше (в доказательстве противопоставлением). Таким образом, мы можем написать a = 2 c , где c также является целым числом. Подстановка в исходное уравнение дает 2${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}$${\displaystyle b{\sqrt {2}}=a}$б ² = (2 в ) ² = 4 в ² . Разделив обе части на 2, получим b ² = 2 c ² . Но тогда, по тем же аргументам, что и раньше, 2 делит b ² , поэтому b должно быть четным. Однако, если a и b оба четные, у них есть 2 в качестве общего множителя. Это противоречит нашему предыдущему утверждению о том, что a и b не имеют общего множителя, поэтому мы вынуждены заключить, что это иррациональное число.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Перефразируя: если бы можно было записать дробь, эта дробь никогда не могла бы быть записана в наименьших числах, поскольку 2 всегда можно было бы разложить на множитель и знаменатель.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Доказательство по построению [ править ]

Доказательство построением или доказательство примером - это построение конкретного примера со свойством, чтобы показать, что что-то, обладающее этим свойством, существует. Джозеф Лиувилль , например, доказал существование трансцендентных чисел , построив явный пример . Его также можно использовать для построения контрпримера, чтобы опровергнуть утверждение о том, что все элементы обладают определенным свойством.

Доказательство исчерпанием [ править ]

При доказательстве методом исчерпания вывод делается путем разделения его на конечное число случаев и доказательства каждого из них в отдельности. Количество случаев иногда может стать очень большим. Например, первое доказательство теоремы о четырех цветах было исчерпывающим доказательством с 1936 случаями. Это доказательство было спорным, потому что большинство случаев проверялось компьютерной программой, а не вручную. Самое короткое известное доказательство теоремы о четырех цветах по состоянию на 2011 год ^[update]все еще насчитывает более 600 случаев. ^[20]

Вероятностное доказательство [ править ]

Вероятностное доказательство - это доказательство, в котором доказывается существование примера с использованием методов теории вероятностей . Вероятностное доказательство, как и доказательство по построению, - один из многих способов показать теоремы существования .

В вероятностном методе ищется объект, обладающий заданным свойством, начиная с большого набора кандидатов. Каждому кандидату назначается определенная вероятность, а затем доказывается, что существует ненулевая вероятность того, что выбранный кандидат будет обладать желаемым свойством. Здесь не указывается, какие кандидаты обладают этим свойством, но вероятность не может быть положительной без хотя бы одного.

Вероятностное доказательство не следует путать с аргументом о том, что теорема «вероятно» истинна, с «аргументом правдоподобия». Работа над гипотезой Коллатца показывает, насколько правдоподобие далеко от подлинного доказательства. Хотя большинство математиков не думают, что вероятностное свидетельство свойств данного объекта считается подлинным математическим доказательством, некоторые математики и философы утверждали, что по крайней мере некоторые типы вероятностных свидетельств (например, вероятностный алгоритм Рабина для проверки простоты) таковы. хороши как подлинные математические доказательства. ^{[21] [22]}

Комбинаторное доказательство [ править ]

Комбинаторное доказательство устанавливает эквивалентность различных выражений, показывая, что они считают один и тот же объект по-разному. Часто взаимное соответствие между двумя наборами используется, чтобы показать, что выражения для их двух размеров равны. В качестве альтернативы аргумент двойного подсчета предоставляет два разных выражения для размера одного набора, снова показывая, что эти два выражения равны.

Неконструктивное доказательство [ править ]

Неконструктивное доказательство устанавливает, что математический объект с определенным свойством существует, без объяснения того, как такой объект должен быть найден. Часто это принимает форму доказательства от противоречия, в котором доказывается невозможность существования объекта. Напротив, конструктивное доказательство устанавливает, что конкретный объект существует, предоставляя метод его обнаружения. Известный пример неконструктивного доказательства показывает, что существуют два иррациональных числа a и b такие, что является рациональным числом :${\displaystyle a^{b}}$

Либо это рациональное число, и мы сделали (взять ), либо иррационально, поэтому мы можем написать и . Тогда это дает , что, таким образом, является рациональным в форме${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$${\displaystyle a=b={\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$${\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$${\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2}$${\displaystyle a^{b}.}$

Статистические доказательства в чистой математике [ править ]

Выражение «статистическое доказательство» может использоваться технически или в разговорной речи в областях чистой математики , таких как криптография , хаотические ряды и вероятностная или аналитическая теория чисел . ^{[23] [24] [25]} Реже используется для обозначения математического доказательства в области математики, известной как математическая статистика . См. Также раздел « Статистическое доказательство с использованием данных » ниже.

Компьютерные доказательства [ править ]

До двадцатого века считалось, что любое доказательство, в принципе, может быть проверено компетентным математиком, чтобы подтвердить его достоверность. ^[8] Однако теперь компьютеры используются как для доказательства теорем, так и для выполнения вычислений, которые слишком длинные, чтобы их мог проверить любой человек или группа людей; первое доказательство теоремы о четырех цветахявляется примером компьютерного доказательства. Некоторые математики обеспокоены тем, что возможность ошибки в компьютерной программе или ошибки времени выполнения в ее вычислениях ставит под сомнение достоверность таких компьютерных доказательств. На практике шансы на ошибку, делающую компьютерное доказательство недействительным, можно снизить, если включить в вычисления избыточность и самопроверку, а также разработать несколько независимых подходов и программ. Ошибки никогда нельзя полностью исключить и в случае проверки доказательства людьми, особенно если доказательство содержит естественный язык и требует глубокого математического понимания, чтобы раскрыть возможные скрытые предположения и связанные с этим ошибки.

Неразрешимые утверждения [ править ]

Утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью набора аксиом, называется неразрешимым (исходя из этих аксиом). Одним из примеров является постулат параллельности , который нельзя ни доказать, ни опровергнуть на основании остальных аксиом евклидовой геометрии .

Математики показали, что существует множество утверждений, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть в теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC), стандартной системе теории множеств в математике (при условии, что ZFC непротиворечива); см. список операторов, неразрешимых в ZFC .

Теорема Гёделя (первая) о неполноте показывает, что многие системы аксиом, представляющие математический интерес, будут иметь неразрешимые утверждения.

Эвристическая математика и экспериментальная математика [ править ]

Хотя первые математики, такие как Евдокс Книдский , не использовали доказательства, от Евклида до основополагающих математических разработок конца 19-го и 20-го веков доказательства были неотъемлемой частью математики. ^[26] С увеличением вычислительной мощности в 1960-х годах началась значительная работа по исследованию математических объектов вне рамок доказательства теорем ^[27] в экспериментальной математике . Пионеры этих методов предназначены работы в конечном счете быть вложены в классических рамках доказательства теоремы, например , раннее развитие фрактальной геометрии , ^[28] , которая была в конечном счете настолько тесно.

Понятия, связанные с данным [ править ]

Наглядное доказательство [ править ]

Хотя это и не формальное доказательство, наглядная демонстрация математической теоремы иногда называется « доказательством без слов ». Левый рисунок ниже является примером исторического визуального доказательства теоремы Пифагора в случае треугольника (3,4,5).

• Наглядное доказательство треугольника (3, 4, 5), как в Чжуби Суаньцзин 500–200 до н.э.

• Анимированное визуальное доказательство теоремы Пифагора путем перестановки.

• Второе анимированное доказательство теоремы Пифагора.

Некоторые иллюзорные визуальные доказательства, такие как головоломка с отсутствующим квадратом , могут быть построены таким способом, который, кажется, доказывает предполагаемый математический факт, но делают это только при наличии крошечных ошибок (например, предположительно прямых линий, которые на самом деле слегка изгибаются), которые незаметен до тех пор, пока не будет внимательно изучено все изображение с точно измеренными или рассчитанными длинами и углами.

Элементарное доказательство [ править ]

Элементарное доказательство - это доказательство, в котором используются только основные методы. В частности, этот термин используется в теории чисел для обозначения доказательств, в которых не используется комплексный анализ . Некоторое время считалось, что некоторые теоремы, такие как теорема о простых числах , можно доказать только с помощью «высшей» математики. Однако со временем многие из этих результатов были подтверждены с использованием только элементарных методов.

Доказательство из двух столбцов [ править ]

Конкретный способ организации доказательства с использованием двух параллельных столбцов часто используется в классах элементарной геометрии в Соединенных Штатах. ^[29] Доказательство записывается в виде серии строк в два столбца. В каждой строке левый столбец содержит предложение, а правый столбец содержит краткое объяснение того, как соответствующее предложение в левом столбце является либо аксиомой, либо гипотезой, либо может быть логически выведено из предыдущих предложений. . Левая колонка обычно озаглавлена ​​«Заявления», а правая колонка обычно озаглавлена ​​«Причины». ^[30]

Разговорное использование «математического доказательства» [ править ]

Выражение «математическое доказательство» используется непрофессионалами для обозначения использования математических методов или споров с математическими объектами , такими как числа, для демонстрации чего-то из повседневной жизни или когда данные, используемые в аргументе, являются числовыми. Иногда это слово также используется для обозначения «статистического доказательства» (см. Ниже), особенно когда используется аргумент на основании данных .

Статистическое доказательство с использованием данных [ править ]

«Статистическое доказательство» от данных относится к применению статистики , анализа данных , или анализ байесовского сделать вывод предложений относительно вероятности в данных . В то время как с помощью математического доказательства для установления теоремы в статистике, как правило , не математическое доказательство в том , что предположения , из которых получаются утверждения вероятностных требуют эмпирических данных от внешней математики для проверки. В физике , помимо статистических методов, «статистическое доказательство» может относиться к специализированным математическим методам физики, применяемым для анализа данных в физике элементарных частиц. эксперимент или наблюдательное исследование в физической космологии . «Статистическое доказательство» может также относиться к необработанным данным или убедительной диаграмме, включающей данные, такой как диаграммы разброса , когда данные или диаграмма достаточно убедительны без дальнейшего анализа.

Доказательства индуктивной логики и байесовский анализ [ править ]

Доказательства, использующие индуктивную логику , хотя и считаются математическими по своей природе, стремятся установить утверждения с определенной степенью уверенности, которая действует аналогично вероятности и может быть меньше полной уверенности . Индуктивную логику не следует путать с математической индукцией .

Байесовский анализ использует теорему Байеса для обновления оценки человеком вероятности гипотез при получении новых свидетельств или информации .

Доказательства как мысленные объекты [ править ]

Психологизм рассматривает математические доказательства как психологические или ментальные объекты. Философы- математики , такие как Лейбниц , Фреге и Карнап , по-разному критиковали эту точку зрения и пытались разработать семантику того, что они считали языком мысли , посредством чего стандарты математического доказательства могли бы применяться к эмпирической науке . ^{[ необходима цитата ]}

Влияние математических методов доказательства за пределами математики [ править ]

Философы-математики, такие как Спиноза , пытались сформулировать философские аргументы аксиоматическим образом, посредством чего стандарты математического доказательства могли быть применены к аргументации в общей философии. Другие математики-философы пытались использовать стандарты математического доказательства и причин, без эмпиризма, чтобы прийти к отчетности за пределами математики, но имея уверенность предложений , выведенных в математическом доказательстве, например, Декарт " Cogito аргумента.

Завершение доказательства [ править ]

Иногда для обозначения конца доказательства пишут аббревиатуру «QED» . Эта аббревиатура расшифровывается как «Quod и требовалось доказать» , который является латинское для « что должно было быть продемонстрировано» . Более распространенной альтернативой является использование квадрата или прямоугольника, такого как □ или ∎, ​​известного как « надгробие » или «халмос» в честь его эпонима Пола Халмоса . ^[5] Часто «который должен был быть показан» произносится устно при написании «QED», «□» или «∎» во время устной презентации.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Полиа, Г. (1954), Математика и правдоподобные рассуждения , Princeton University Press, hdl : 2027 / mdp.39015008206248.
• Фаллис, Дон (2002), «Чего хотят математики? Вероятностные доказательства и эпистемологические цели математиков» , Logique et Analyze , 45 : 373–88.
• Франклин, Дж . ; Дауд, А. (2011), Доказательство в математике: Введение , Kew Books, ISBN 978-0-646-54509-7.
• Золото, Бонни ; Саймонс, Роджерс А. (2008). Доказательство и другие дилеммы: математика и философия . MAA.
• Солоу, Д. (2004), Как читать и делать доказательства: Введение в математические мыслительные процессы , Wiley , ISBN 978-0-471-68058-1.
• Веллеман, Д. (2006), Как это доказать: структурированный подход , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-67599-4.

Внешние ссылки [ править ]

В Викицитаторе есть цитаты, связанные с: Математическим доказательством

Найдите доказательства в Викисловаре, бесплатном словаре.

• СМИ, связанные с математическим доказательством на Викискладе?
• Доказательства по математике: простые, очаровательные и ошибочные
• Урок о доказательствах, в ходе из Викиверситета