q -экспоненциальное распределение

q -экспоненциальное распределение

Функция плотности вероятности
Параметры	${\ displaystyle q <2}$ форма ( реальная ) ставка ( реальная ) ${\ displaystyle \ lambda> 0}$
Поддерживать	${\ displaystyle x \ in [0, \ infty) {\ text {for}} q \ geq 1}$ ${\ displaystyle x \ in \ left [0, {\ frac {1} {\ lambda (1-q)}} \ right) {\ text {for}} q <1}$
PDF	${\displaystyle (2-q)\lambda e_{q}^{-\lambda x}}$
CDF	${\displaystyle 1-e_{q'}^{-\lambda x/q'}{\text{ where }}q'={\frac {1}{2-q}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda (3-2q)}}{\text{ for }}q<{\frac {3}{2}}}$ В противном случае не определено
Медиана	${\displaystyle {\frac {-q'\ln _{q'}(1/2)}{\lambda }}{\text{ where }}q'={\frac {1}{2-q}}}$
Режим	0
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {q-2}{(2q-3)^{2}(3q-4)\lambda ^{2}}}{\text{ for }}q<{\frac {4}{3}}}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {2}{5-4q}}{\sqrt {\frac {3q-4}{q-2}}}{\text{ for }}q<{\frac {5}{4}}}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle 6{\frac {-4q^{3}+17q^{2}-20q+6}{(q-2)(4q-5)(5q-6)}}{\text{ for }}q<{\frac {6}{5}}}$

Д -exponential распределение является распределением вероятностей , возникающим из максимизации энтропии Tsallis при соответствующих ограничениях, в том числе сдерживающих домен быть положительными. Это один из примеров распределения Tsallis . Д -exponential является обобщением экспоненциального распределения таким же образом , что Tsallis энтропия представляет собой обобщение стандартной Больцмана-Гиббса энтропии или Шэннона энтропии . ^[1] Экспоненциальное распределение восстанавливается как${\displaystyle q\rightarrow 1.}$

Первоначально предложено статистиками Джорджем Боксом и Дэвидом Коксом в 1964 году ^[2] и известно как обратное преобразование Бокса – Кокса для частного случая степенного преобразования в статистике.${\displaystyle q=1-\lambda ,}$

Характеристика [ править ]

Функция плотности вероятности [ править ]

Д -exponential распределение имеет функцию плотности вероятности

${\displaystyle (2-q)\lambda e_{q}(-\lambda x)}$

куда

${\displaystyle e_{q}(x)=[1+(1-q)x]^{1/(1-q)}}$

является q -экспоненциальной, если q ≠ 1 . Когда q = 1 , e _q (x) просто exp ( x ).

Вывод [ править ]

Аналогично тому, как может быть получено экспоненциальное распределение (с использованием стандартной энтропии Больцмана – Гиббса или энтропии Шеннона и ограничения области определения переменной положительной), q -экспоненциальное распределение может быть получено из максимизации энтропии Цаллиса при соблюдении соответствующих ограничений.

Связь с другими дистрибутивами [ править ]

Д -exponential является частным случаем обобщенного распределения Парето где

${\displaystyle \mu =0,\quad \xi ={\frac {q-1}{2-q}},\quad \sigma ={\frac {1}{\lambda (2-q)}}.}$

Д -exponential является обобщением распределения Ломакса (Парето II типа), так как он расширяет это распределение для случаев конечного носителя. Параметры Lomax:

${\displaystyle \alpha ={\frac {2-q}{q-1}},\quad \lambda _{\mathrm {Lomax} }={\frac {1}{\lambda (q-1)}}.}$

Поскольку распределение Ломакса представляет собой сдвинутую версию распределения Парето , q -экспонента представляет собой сдвинутое репараметризованное обобщение Парето. Когда q > 1 , q -экспонента эквивалентна сдвигу Парето для поддержки, начинающейся с нуля. В частности, если

${\displaystyle X\sim \operatorname {{\mathit {q}}-Exp} (q,\lambda ){\text{ and }}Y\sim \left[\operatorname {Pareto} \left(x_{m}={\frac {1}{\lambda (q-1)}},\alpha ={\frac {2-q}{q-1}}\right)-x_{m}\right],}$

тогда ${\displaystyle X\sim Y.}$

Генерация случайных отклонений [ править ]

Случайные отклонения можно нарисовать с помощью выборки с обратным преобразованием . Для переменной U , равномерно распределенной на интервале (0,1), тогда

${\displaystyle X={\frac {-q'\ln _{q'}(U)}{\lambda }}\sim \operatorname {{\mathit {q}}-Exp} (q,\lambda )}$

где - q -логарифм и${\displaystyle \ln _{q'}}$${\displaystyle q'={\frac {1}{2-q}}.}$

Приложения [ править ]

Будучи степенным преобразованием , это обычный метод в статистике для стабилизации дисперсии, придания данных более нормального распределения и повышения достоверности таких показателей связи, как корреляция Пирсона между переменными. Было установлено, что это точная модель задержки поездов. ^[3] Он также встречается в атомной физике и квантовой оптике, например, в процессах создания молекулярного конденсата через переход через резонанс Фешбаха. ^[4]

См. Также [ править ]

• Константино Цаллис
• Статистика Цаллиса
• Энтропия Цаллиса
• Распределение Цаллиса
• q- копула
• q - гауссовский

Примечания [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Джунипер, Дж. (2007) "Распределение Цаллиса и обобщенная энтропия: перспективы будущих исследований принятия решений в условиях неопределенности" , Центр полной занятости и справедливости, Университет Ньюкасла, Австралия

Внешние ссылки [ править ]

• Статистика Цаллиса, статистическая механика неэкстенсивных систем и дальнодействующих взаимодействий