В элементарной алгебре , то квадратичная формула представляет собой формулу , которая обеспечивает решение (S) к квадратному уравнению . Существуют и другие способы решения квадратного уравнения вместо использования квадратной формулы, такие как факторинг (прямое разложение, группировка, метод AC ), завершение квадрата , построение графиков и другие. [1]
Для общего квадратного уравнения вида
с x, представляющим неизвестное, a , b и c, представляющим константы с a 0 , квадратная формула:
где знак плюс-минус «±» указывает, что квадратное уравнение имеет два решения. [2] Написанные отдельно, они становятся:
Каждое из этих двух решений также называется корнем (или нулем) квадратного уравнения. Геометрически эти корни представляют собой значения x, при которых любая парабола , явно заданная как y = ax 2 + bx + c , пересекает ось x . [3]
Квадратичная формула не только является формулой, которая дает нули любой параболы, но также может использоваться для определения оси симметрии параболы [4] и количества действительных нулей, содержащихся в квадратном уравнении. [5]
Эквивалентные составы
Квадратичная формула также может быть записана как
который можно упростить до
Выражение внутри квадратного корня называется дискриминантом .
Эта версия формулы упрощает поиск корней при использовании калькулятора.
Вышеупомянутая версия также удобна, когда задействованы комплексные корни, и в этом случае выражение вне квадратного корня является действительной частью, а выражение квадратного корня - мнимой частью:
Метод Мюллера
Менее известная квадратная формула, которая используется в методе Мюллера и которую можно найти из формул Виета , дает те же корни через уравнение:
Составы на основе альтернативных параметризаций
Стандартная параметризация квадратного уравнения имеет вид
Некоторые источники, особенно старые, используют альтернативные параметризации квадратного уравнения, такие как
- , где , [6]
или же
- , где . [7]
Эти альтернативные параметризации приводят к несколько иным формам решения, которые в остальном эквивалентны стандартной параметризации.
Вывод формулы
В литературе доступно множество различных методов вывода формулы квадратного уравнения. Стандартный - это простое выполнение техники завершения квадрата . [8] [9] [10] [11] Альтернативные методы иногда проще, чем заполнение квадрата, и могут предложить интересное понимание других областей математики.
Используя технику завершения квадрата
Стандартный метод
Разделим квадратное уравнение на , что разрешено, потому что не равно нулю:
Вычесть c/а с обеих сторон уравнения, что дает:
Квадратное уравнение теперь имеет форму, к которой применим метод завершения квадрата . Фактически, добавляя константу к обеим сторонам уравнения, так что левая часть становится полным квадратом, квадратное уравнение становится следующим:
который производит:
Соответственно, после перестановки членов в правой части так, чтобы они имели общий знаменатель, мы получаем:
Таким образом, площадь завершена. Извлечение квадратного корня из обеих частей дает следующее уравнение:
В этом случае изоляция даст квадратную формулу:
Есть много альтернатив этого вывода с небольшими отличиями, в основном касающимися манипуляции .
Способ 2
В большинстве текстов по алгебре, опубликованных за последние несколько десятилетий, учат завершать квадрат, используя последовательность, представленную ранее:
- Разделите каждую сторону на сделать многочлен моническим .
- Переставить.
- Добавлять в обе стороны, чтобы завершить квадрат.
- Переставьте члены в правой части, чтобы получить общий знаменатель.
- Извлеките квадратный корень из обеих частей.
- Изолировать .
Завершение квадрата также может быть выполнено с помощью иногда более короткой и простой последовательности: [12]
- Умножьте каждую сторону на ,
- Переставить.
- Добавлять в обе стороны, чтобы завершить квадрат.
- Извлеките квадратный корень из обеих частей.
- Изолировать .
В этом случае формулу корней квадратного уравнения можно также вывести следующим образом:
Этот вывод квадратной формулы является древним и был известен в Индии, по крайней мере, еще в 1025 году. [13] По сравнению с выводом в стандартном использовании, этот альтернативный вывод избегает дробей и квадратичных дробей до последнего шага и, следовательно, не требует перестановка после шага 3, чтобы получить общий знаменатель в правой части. [12]
Способ 3
Как и в методе 1, разделите каждую сторону на чтобы левый полином стал моническим (т. е. коэффициент пристановится 1 ).
Напишите уравнение в более компактном и удобном для восприятия формате:
где а также .
Завершите квадрат, добавив к первым двум членам и вычитая его из третьего члена:
Переставьте левую сторону в два квадрата :
и фактор:
откуда следует, что либо
или же
Каждое из этих двух уравнений линейно и может быть решено относительно , получение:
или же
Повторно выражая а также обратно в а также соответственно, тогда может быть получена квадратичная формула. [ необходима цитата ]
Путем подстановки
Другой прием - решение заменой . [14] В этой технике мы заменяем в квадратичную, чтобы получить:
Расширяя результат, а затем собирая полномочия производит:
Мы еще не наложили второе условие на а также , так что теперь мы выбираем так что средний член исчезает. Это, или же . Вычитая постоянный член из обеих частей уравнения (чтобы переместить его в правую часть), а затем делить на дает:
Замена на дает:
Следовательно,
Повторно выражая с точки зрения используя формулу , тогда может быть получена обычная квадратичная формула:
Используя алгебраические тождества
Следующий метод использовался многими историческими математиками: [15]
Пусть корни стандартного квадратного уравнения равны r 1 и r 2 . Вывод начинается с напоминания об идентичности:
Взяв квадратный корень с обеих сторон, получим:
Поскольку коэффициент a 0 , мы можем разделить стандартное уравнение на a, чтобы получить квадратный многочлен с теми же корнями. А именно,
Из этого мы можем видеть, что сумма корней стандартного квадратного уравнения определяется как - б/а, а произведение этих корней равно c/а. Следовательно, тождество можно переписать как:
Сейчас,
Поскольку r 2 = - r 1 - б/а, если мы возьмем
тогда получаем
и если мы вместо этого возьмем
затем мы вычисляем, что
Комбинируя эти результаты с использованием стандартного сокращения ±, мы получаем, что решения квадратного уравнения задаются следующим образом:
Резольвенты Лагранжа
Альтернативный способ получения квадратичной формулы осуществляется с помощью метода Лагранжа резольвент , [16] , которая является частью ранней теории Галуа . [17] Этот метод может быть обобщен, чтобы получить корни кубических многочленов и многочленов четвертой степени , и приводит к теории Галуа, которая позволяет понять решение алгебраических уравнений любой степени в терминах группы симметрии их корней, теории Галуа группа .
Этот подход больше фокусируется на корнях, чем на преобразовании исходного уравнения. Для монического квадратичного многочлена
Предположим, что это фактор как
Увеличение урожайности
где p = - ( α + β ) и q = αβ .
Так как порядок умножения не имеет значения, можно переключить α и β , и значения р и д не изменится: можно сказать , что р и д являются симметричные полиномы в & alpha ; и & beta . Фактически, это элементарные симметричные многочлены - любой симметричный многочлен от α и β может быть выражен через α + β и αβ . Подход теории Галуа к анализу и решению многочленов: заданы коэффициенты многочлена, которые являются симметричными функциями в корнях, можно ли «нарушить симметрию» и восстановить корни? Таким образом, решение полинома степени n связано со способами перестановки (« перестановки ») n терминов, которая называется симметричной группой из n букв и обозначается S n . Для квадратичного многочлена единственный способ переставить два члена - это поменять их местами (« транспонировать »), и, таким образом, решение квадратного многочлена просто.
Чтобы найти корни α и β , рассмотрим их сумму и разность:
Они называются резольвентами Лагранжа многочлена; обратите внимание, что один из них зависит от порядка корней, что является ключевым моментом. Можно восстановить корни из резольвент, обращая приведенные выше уравнения:
Таким образом, решение для резольвент дает исходные корни.
Теперь r 1 = α + β является симметричной функцией от α и β , поэтому ее можно выразить через p и q , и на самом деле r 1 = - p, как отмечалось выше. Но r 2 = α - β не является симметричным, поскольку переключение α и β дает - r 2 = β - α (формально это называется групповым действием симметрической группы корней). Поскольку r 2 не является симметричным, его нельзя выразить через коэффициенты p и q , поскольку они симметричны по корням и, следовательно, любое полиномиальное выражение, включающее их. Изменение порядка корней изменяет r 2 только в -1 раз, и, таким образом, квадрат r 2 2 = ( α - β ) 2 симметричен по корням и, таким образом, выражается через p и q . Используя уравнение
дает
и поэтому
Если взять положительный корень, нарушая симметрию, получится:
и поэтому
Таким образом, корни
что является квадратичной формулой. Подставляя p = б/а, q = c/адает обычную форму для случая, когда квадратичный не является моническим. Противовоспалительные средства можно распознать какr 1/2 знак равно - п/2 знак равно - б/2 а- вершина, а r 2 2 = p 2 - 4 q - дискриминант (монического многочлена).
Аналогичный, но более сложный метод работает для кубических уравнений , в которых есть три резольвенты и квадратное уравнение («разрешающий многочлен»), связывающее r 2 и r 3 , которое можно решить с помощью квадратного уравнения, и аналогично для уравнения четвертой степени ( степени 4), разрешающий многочлен которой является кубикой, которая, в свою очередь, может быть решена. [16] Тот же метод для уравнения пятой степени дает полином степени 24, что не упрощает задачу, и, фактически, решения уравнений пятой степени в целом не могут быть выражены с использованием только корней.
Историческое развитие
Самые ранние методы решения квадратных уравнений были геометрическими. Вавилонские клинописи содержат задачи, сводимые к решению квадратных уравнений. [18] Египетский берлинский папирус , относящийся ко времени Среднего царства (2050 г. до н.э. - 1650 г. до н.э.), содержит решение двухчленного квадратного уравнения. [19]
Греческий математик Евклид (около 300 г. до н.э.) использовал геометрические методы для решения квадратных уравнений в Книге 2 своих Элементов , влиятельном математическом трактате. [20] Правила квадратных уравнений появляются в китайской книге «Девять глав математического искусства» около 200 г. до н.э. [21] [22] В своей работе « Арифметика» греческий математик Диофант (около 250 г. н.э.) решил квадратные уравнения методом более узнаваемым алгебраическим, чем геометрическая алгебра Евклида. [20] Его решение дает только один корень, даже если оба корня положительны. [23]
Индийский математик Брахмагупта (597–668 гг. Н.э.) подробно описал квадратичную формулу в своем трактате Brāhmasphuṭasiddhānta, опубликованном в 628 г. [24], но написанном словами, а не символами. [25] Его решение квадратного уравнения ax 2 + bx = c было следующим: «К абсолютному числу, умноженному в четыре раза на [коэффициент] квадрата, добавьте квадрат [коэффициента] среднего члена; квадратный корень из того же, за вычетом [коэффициента] среднего члена, деленный на удвоенное значение [коэффициента] квадрата ». [26] Это эквивалентно:
Персидский математик IX века Мухаммад ибн Муса аль-Харизми решал квадратные уравнения алгебраически. [27] Квадратичная формула, охватывающая все случаи, была впервые получена Симоном Стевином в 1594 году. [28] В 1637 году Рене Декарт опубликовал «Геометри», содержащую частные случаи квадратичной формулы в той форме, которая нам известна сегодня. [29]
Значительное использование
Геометрическое значение
В терминах координатной геометрии парабола - это кривая, ( x , y ) -координаты которой описываются полиномом второй степени, то есть любым уравнением вида:
где р представляет собой многочлен степени 2 и с 0 , 1 , и 2 ≠ 0 постоянные коэффициенты , чьи индексы соответствуют степени их соответствующих термина. Геометрическая интерпретация квадратичной формулы состоит в том, что она определяет точки на оси x, в которых парабола пересекает ось. Кроме того, если бы квадратная формула рассматривалась как два члена,
ось симметрии появляется как линии х = - б/2 а. Другой термин,√ b 2 - 4 ак./2 а, дает расстояние, на котором нули находятся от оси симметрии, где знак плюс представляет расстояние вправо, а знак минус представляет расстояние влево.
Если бы этот член расстояния уменьшился до нуля, значение оси симметрии было бы значением x единственного нуля, то есть существует только одно возможное решение квадратного уравнения. Алгебраически это означает, что √ b 2 - 4 ac = 0 или просто b 2 - 4 ac = 0 (где левая часть называется дискриминантом ). Это один из трех случаев, когда дискриминант указывает, сколько нулей будет у параболы. Если дискриминант положительный, расстояние будет отличным от нуля, и будет два решения. Однако есть также случай, когда дискриминант меньше нуля, и это означает, что расстояние будет мнимым - или некоторым кратным комплексной единицы i , где i = √ −1 - и нули параболы будут комплексными числами . Комплексные корни будут комплексно сопряженными , где действительная часть комплексных корней будет значением оси симметрии. Реальных значений x там, где парабола пересекает ось x, не будет .
Размерный анализ
Если константы a , b и / или c не являются безразмерными , то единицы x должны быть равны единицамб/а, из-за требования, чтобы ax 2 и bx согласовывали свои единицы измерения. Кроме того, по той же логике, единицы c должны быть равны единицамб 2/а, что можно проверить без решения относительно x . Это может быть мощным инструментом для проверки правильности установки квадратичного выражения физических величин до решения этой проблемы.
Смотрите также
- Основная теорема алгебры
- Формулы Виета
Рекомендации
- ^ «Квадратичная факторизация: полное руководство» . Математическое хранилище . 2016-03-13 . Проверено 10 ноября 2019 .
- ^ Стерлинг, Мэри Джейн (2010), Алгебра I для чайников , Wiley Publishing, стр. 219, ISBN 978-0-470-55964-2
- ^ «Понимание квадратной формулы» . Ханская академия . Проверено 10 ноября 2019 .
- ^ «Ось симметрии параболы. Как найти ось из уравнения или графика. Чтобы найти ось симметрии ...» www.mathwarehouse.com . Проверено 10 ноября 2019 .
- ^ «Дискриминантный обзор» . Ханская академия . Проверено 10 ноября 2019 .
- ^ Кахан, Виллиан (20 ноября 2004 г.), О стоимости вычислений с плавающей запятой без сверхточной арифметики (PDF) , получено 25 декабря 2012 г.
- ^ "Quadratic Formula" , Proof Wiki , дата обращения 08.10.2016.
- ^ Рич, Барнетт; Шмидт, Филип (2004), Очерк теории и проблем элементарной алгебры Шаума , компании McGraw – Hill, ISBN 0-07-141083-X, Глава 13 §4.4, с. 291
- ^ Ли, Сюйхуэй. Исследование математических знаний учителей алгебры средней школы для обучения решению алгебраических уравнений , с. 56 (ProQuest, 2007): «Квадратичная формула является наиболее общим методом решения квадратных уравнений и выводится из другого общего метода: завершения квадрата».
- ^ Роксволд, Гэри. Колледж по алгебре, тригонометрии и предварительному исчислению , стр. 178 (Аддисон Уэсли, 2002).
- ^ Беккенбах, Эдвин и др. Современная университетская алгебра и тригонометрия , стр. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).
- ^ а б Хоэн, Ларри (1975). «Более элегантный метод вывода квадратичной формулы». Учитель математики . 68 (5): 442–443. DOI : 10.5951 / MT.68.5.0442 .
- ^ Смит, Дэвид Э. (1958). История математики, Vol. II . Dover Publications. п. 446. ISBN. 0486204308.
- ^ Джозеф Дж. Ротман. (2010). Продвинутая современная алгебра (Том 114). American Mathematical Soc. Раздел 1.1
- ^ Дебнат, Локенат (2009). «Наследие Леонарда Эйлера - дань трехсотлетия». Международный журнал математического образования в науке и технологиях . 40 (3): 353–388. DOI : 10.1080 / 00207390802642237 . S2CID 123048345 .
- ^ a b Кларк, А. (1984). Элементы абстрактной алгебры . Курьерская корпорация. п. 146.
- ^ Прасолов Виктор; Соловьев, Юрий (1997), Эллиптические функции и эллиптические интегралы , AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-0587-9, §6.2, с. 134
- ^ Ирвинг, Рон (2013). Помимо квадратичной формулы . MAA. п. 34. ISBN 978-0-88385-783-0.
- ^ Кембриджская древняя история Часть 2 Ранняя история Ближнего Востока . Издательство Кембриджского университета. 1971. с. 530. ISBN 978-0-521-07791-0.
- ^ а б Ирвинг, Рон (2013). Помимо квадратичной формулы . MAA. п. 39. ISBN 978-0-88385-783-0.
- ^ Эйткен, Уэйн. "Китайская классика: девять глав" (PDF) . Математический факультет Калифорнийского государственного университета . Проверено 28 апреля 2013 года .
- ^ Смит, Дэвид Юджин (1958). История математики . Courier Dover Publications. п. 380 . ISBN 978-0-486-20430-7.
- ^ Смит, Дэвид Юджин (1958). История математики . Courier Dover Publications. п. 134 . ISBN 0-486-20429-4.
- ^ Брэдли, Майкл. Рождение математики: древние времена до 1300 г. , стр. 86 (Издательство Infobase Publishing 2006).
- ^ Маккензи, Дана. Вселенная в нулевых словах: история математики, рассказанная через уравнения , с. 61 (Princeton University Press, 2012).
- ^ Стиллвелл, Джон (2004). Математика и ее история (2-е изд.) . Springer. п. 87. ISBN 0-387-95336-1.
- ^ Ирвинг, Рон (2013). Помимо квадратичной формулы . MAA. п. 42. ISBN 978-0-88385-783-0.
- ^ Струик, диджей; Стевин, Саймон (1958), Основные работы Саймона Стевина, Математика (PDF) , II – B , CV Swets & Zeitlinger, стр. 470
- ^ Рене Декарт. Геометрия .