В квантовых вычислениях и, в частности, в модели вычислений с квантовой схемой квантовый логический вентиль (или просто квантовый вентиль ) представляет собой базовую квантовую схему, работающую на небольшом количестве кубитов . Они являются строительными блоками квантовых схем, как классические логические вентили для обычных цифровых схем.
В отличие от многих классических логических вентилей, квантовые логические вентили обратимы . Однако можно выполнять классические вычисления, используя только обратимые вентили. Например, обратимый вентиль Тоффоли может реализовывать все логические функции, часто за счет использования вспомогательных битов . У ворот Тоффоли есть прямой квантовый эквивалент, показывающий, что квантовые схемы могут выполнять все операции, выполняемые классическими схемами.
Квантовые вентили являются унитарными операторами и описываются как унитарные матрицы относительно некоторого базиса . Обычно мы используем расчетную базу , которая , если не сравнивать его с чем - то, просто означает , что для г -уровны квантовой системы (например, кубита , в квантовом регистре или qutrits и qudits [1] : 22-23 ) мы меченые ортогональные базисные векторы, или используйте двоичную запись .
История
В настоящее время для обозначения квантовых вентилей была разработана многие из отцов - основателей квантовой информатики , включая Адриано Barenco, Чарльз Беннет , Ричард Клив , Дэвид П. DiVincenzo , Норман Марголус , Питер Шор , Tycho Sleator, Джон А. Смолин , и Харальд Weinfurter , [2] на основе обозначений, введенных Ричардом Фейнманом . [3]
Представление
Квантовые логические вентили представлены унитарными матрицами . Ворота, которые действуют на кубиты представленыунитарная матрица, а множество всех таких вентилей с групповой операцией умножения матриц [a] является группой симметрий U (2 n ) . В квантовых состояниях , что ворота действуют на это единичные векторы в сложные размеры. В базисных векторах являются возможными результатами , если измеренные и квантовое состояние представляет собой линейная комбинацию из этих результатов. Наиболее распространенные квантовые вентили работают с пространствами из одного или двух кубитов, точно так же, как обычные классические логические вентили работают с одним или двумя битами.
Квантовые состояния обычно представлены «кетами», из математической записи, известной как bra-ket .
Векторное представление отдельного кубита:
Здесь, а также - комплексные амплитуды вероятностей кубита. Эти значения определяют вероятность измерения 0 или 1 при измерении состояния кубита. Подробнее см. Измерения ниже.
Нулевое значение представлено кет , а значение один представлено кет.
Тензорное произведение (или произведение Кронекера ) используется для объединения квантовых состояний. Комбинированное состояние двух кубитов является тензорным произведением двух кубитов. Тензорное произведение обозначается символом.
Векторное представление двух кубитов:
Действие гейта на конкретное квантовое состояние находится путем умножения вектора которая представляет состояние, матрицей представляющий ворота. Результат - новое квантовое состояние:
Известные примеры
Существует бесконечное количество ворот. Некоторые из них были названы разными авторами [1] [4] [5] [6] [7] [8] и ниже следуют некоторые из них.
Ворота идентичности
Идентификационный вентиль - это единичная матрица , обычно записываемая как I , и определяется для одного кубита как
где I не зависит от базиса и не изменяет квантовое состояние. Идентификационный вентиль наиболее полезен при математическом описании результата различных операций вентильного элемента или при обсуждении многокубитовых схем.
Ворота Паули ( X , Y , Z )
Ворота Паули - три матрицы Паули и воздействовать на один кубит. X , Y и Z Паули приравниваются, соответственно, к вращению вокруг осей x , y и z сферы Блоха на радианы.
Элемент Паули- X является квантовым эквивалентом элемента НЕ для классических компьютеров по отношению к стандартному базису., , который отличает z -направление. Иногда его называют бит-флип, поскольку он отображает к а также к . Точно так же Паули- Y отображает к а также к . Pauli Z покидает базовое состояние без изменений и карты к . Из-за этой природы его иногда называют переворотом фазы.
Эти матрицы обычно представляют как
Матрицы Паули инволютивны , что означает, что квадрат матрицы Паули является единичной матрицей .
Матрицы Паули также антикоммутируют, например .
Квадратный корень из логического элемента НЕ ( √ НЕ )
Квадратный корень из НЕ ворот (или квадратный корень из Паули- X ,) действует на один кубит. Он отображает базовое состояние к а также к . В матричной форме это дается выражением
- ,
такой, что
Эта операция представляет собой поворот на π / 2 вокруг оси x на сфере Блоха.
Контролируемые ворота
Управляемые вентили действуют на 2 или более кубита, где один или несколько кубитов действуют как элемент управления для некоторой операции. [2] Например, управляемый вентиль НЕ (или CNOT или CX) действует на 2 кубита и выполняет операцию НЕ на втором кубите только тогда, когда первый кубит, а в остальном оставляет его без изменений. Что касается основы, , , , он представлен матрицей:
Вентиль CNOT (или управляемый Pauli- X ) можно описать как вентиль, который отображает базовые состояния., где это XOR .
В более общем смысле, если U - вентиль, который работает с отдельными кубитами с матричным представлением
тогда управляемый U-вентиль - это вентиль, который работает с двумя кубитами таким образом, что первый кубит служит в качестве элемента управления. Он отображает базовые состояния следующим образом.
Матрица, представляющая управляемый U, имеет вид
Когда U является одним из операторов Паули, X , Y , Z , иногда используются соответствующие термины «управляемый- X », «управляемый- Y » или «управляемый- Z ». [4] : 177-185 Иногда это сокращается до всего лишь C X , C Y и C Z .
Фазовые вентили
Фазовый сдвиг - это семейство однокубитовых вентилей, которые отображают базовые состояния а также . Вероятность измерения или же не изменяется после применения этого затвора, однако он изменяет фазу квантового состояния. Это эквивалентно условному обведению горизонтального круга (линии широты) на сфере Блоха с помощьюрадианы. [b] Фазовый вентиль представлен матрицей:
где - фазовый сдвиг с периодом 2π . Некоторыми распространенными примерами являются Т- образные ворота, где, фазовый вентиль (пишется S , хотя S иногда используется для вентилей SWAP), гдеи ворота Паули- Z, где.
Вентили фазового сдвига связаны друг с другом следующим образом:
- для всех настоящих кроме 0 [c]
Аргумент логического элемента фазового сдвига находится в U (1) , а логический элемент выполняет поворот фазы в U (1) вдоль указанной базовой оси (например, вращает фазу вокруг -ось) . U (1) является подгруппой U (n) и содержит фазу квантовой системы. Продлениевращение вокруг общей фазы обеих осей двухуровневой квантовой системы ( кубита ) может быть выполнено с помощью последовательной схемы :. Когдаэтот вентиль является оператором вращения ворота. [d]
Представляем глобальный фазовый вентиль [e] у нас также есть тождество. [2] : 11 [1] : 77–83
Произвольные однокубитовые вентили с фазовым сдвигом изначально доступны для квантовых процессоров Transmon через синхронизацию управляющих микроволновых импульсов. [9]
Контролируемый фазовый сдвиг
2-кубитный вентиль с фазовым сдвигом:
Что касается вычислительной базы, он сдвигает фазу на только если он действует на государство :
CZ затвора является частным случаем , где.
Ворота оператора вращения
Ворота оператора вращения а также являются аналоговые матрицы поворота в трех декартовых осей от SO (3) , оси на сфере Блоха проекции:
Поскольку матрицы Паули связаны с генератором вращений, эти операторы вращения могут быть записаны в виде матричных экспонент с матрицами Паули в аргументе. Любой унитарная матрица в SU (2) может быть записана как произведение (т. е. последовательной схемы ) трех или менее поворотных вентилей. Обратите внимание, что для двухуровневых систем, таких как кубиты и спиноры , эти вращения имеют период 4π . Поворот на 2π (360 градусов) возвращает тот же вектор состояния с другой фазой. [10]
У нас также есть а также для всех
Матрицы вращения связаны с матрицами Паули следующим образом:
Ворота Адамара
Ворота Адамара ( французский: [adamaʁ] ) действуют на один кубит. Он отображает базовое состояние к а также к , что означает, что измерение будет иметь равные вероятности для получения 1 или 0 (т. е. создает суперпозицию ). Он представляет собой вращение вокруг оси на сфере Блоха . Он представлен матрицей Адамара :
H - инволютивная матрица. Используя операторы вращения , мы получаем тождества: а также Регулируемый Н затвор также может быть определен , как описано в разделе контролируемых ворота .
Вентиль Адамара можно рассматривать как унитарное преобразование, которое отображает операции кубита по оси z на ось x и наоборот. Например,, , а также .
Своп ворота
Своп-гейт меняет местами два кубита. Что касается основы, , , , он представлен матрицей:
Квадратный корень из своп-ворот
В √ SWAP ворот выполняет полпути из двухкубитовой подкачки. Он универсален, так что любой многокубитовый вентиль может быть построен только из √ SWAP и одиночных кубитовых вентилей. √ SWAP ворот не является, однако , максимально запутывание; требуется более одного его применения для создания состояния Bell из состояний продукта. Что касается основы, , , , он представлен матрицей:
Эти ворота естественным образом возникают в системах, использующих обменное взаимодействие . [11] [12]
Ворота Тоффоли (CCNOT)
Ворота Тоффоли, названные в честь Томмазо Тоффоли ; также называется воротами CCNOT или Deutsch gate ; представляет собой 3-битный вентиль, который универсален для классических вычислений, но не для квантовых вычислений. Квантовый вентиль Тоффоли - это тот же вентиль, определенный для 3 кубитов. Если мы ограничимся приемом только входных кубитов, а также , то если первые два бита находятся в состояниион применяет Pauli- X (или НЕ) к третьему биту, иначе ничего не делает. Это пример управляемых ворот. Поскольку это квантовый аналог классического гейта, он полностью определяется таблицей истинности. Гейт Тоффоли универсален в сочетании с одиночным кубитным вентилем Адамара. [13]
Таблица истинности | Матричная форма | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
Квантовый вентиль Тоффоли также связан с классической операцией И, поскольку его также можно описать как вентиль с отображением для состояний в вычислительной базе.
Фредкин (CSWAP) ворота
Шлюз Фредкина (также CSWAP или CS-шлюз), названный в честь Эдварда Фредкина , представляет собой 3-битный шлюз, который выполняет управляемую замену . Он универсален для классических вычислений. Он имеет то полезное свойство, что повсюду сохраняется количество нулей и единиц, что в модели бильярдного шара означает, что на входе выводится одинаковое количество шаров.
Таблица истинности | Матричная форма | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
Сцепные ворота Изинг
Вентили связи Изинга R xx , R yy и R zz представляют собой 2-кубитные вентили, которые изначально реализованы в некоторых квантовых компьютерах с захваченными ионами . [14] [15] Эти ворота определяются как
- [16]
Воображаемый своп (iSWAP)
Для систем с изинговоподобными взаимодействиями иногда более естественно ввести воображаемый своп [17] или вентиль iSWAP, определяемый как [18] [19]
где его квадратная корневая версия дается выражением
Немецкие ворота
Deutsch (или ) вентиль, названный в честь физика Дэвида Дойча, представляет собой вентиль с тремя кубитами. Он определяется как
К сожалению, работающий шлюз Deutsch остался вне досягаемости из-за отсутствия протокола. Есть предложения реализовать вентиль Дойча с диполь-дипольным взаимодействием в нейтральных атомах. [20]
Универсальные квантовые ворота
Набор универсальных квантовых вентилей - это любой набор вентилей, к которым может быть сведена любая операция, возможная на квантовом компьютере, то есть любая другая унитарная операция может быть выражена как конечная последовательность вентилей из набора. Технически это невозможно с чем-то меньшим, чем несчетный набор вентилей, поскольку количество возможных квантовых вентилей неисчислимо, в то время как количество конечных последовательностей из конечного множества счетно . Чтобы решить эту проблему, нам нужно только, чтобы любая квантовая операция могла быть аппроксимирована последовательностью вентилей из этого конечного набора. Более того, для унитарных систем на постоянном числе кубитов теорема Соловая – Китаева гарантирует, что это может быть сделано эффективно.
Операторы вращения R x ( θ ) , R y ( θ ) , R z ( θ ) , фазовый вентиль P ( φ ) и CNOT образуют широко используемый универсальный набор квантовых вентилей. [12]
Распространенным универсальным набором вентилей является набор вентилей Clifford + T , который состоит из вентилей CNOT, H , S и T. Само по себе множество Клиффорда не универсально и может эффективно моделироваться классическим методом с помощью теоремы Готтесмана-Книлла .
Ворот Toffoli формирует набор универсальных ворот для обратимых логических схем. Двухэлементный набор универсальных квантовых вентилей, содержащий вентиль Тоффоли, может быть построен путем добавления в этот набор вентилей Адамара. [21]
Набор универсальных квантовых вентилей с одним вентилем также может быть сформулирован с использованием трехкубитного гейта Дойча. . [22]
Универсальный логический вентиль для обратимых классических вычислений, вентиль Тоффоли, сводится к вентилю Дойча, , тем самым показывая, что все обратимые классические логические операции могут выполняться на универсальном квантовом компьютере.
Также существует один двухкубитный вентиль, достаточный для универсальности, учитывая, что он может быть применен к любым парам кубитов. по цепи шириной . [23]
Состав схемы
Последовательно подключенные ворота
Предположим, что у нас есть два гейта A и B , которые оба действуют накубиты. Когда Б помещают после того, как A в последовательной цепи, то эффект от двух ворот может быть описан в виде одного затвора C .
Где - матричное умножение . В результате чего ворота С будет иметь те же размеры, что A и B . Порядок, в котором вентили появляются на принципиальной схеме, меняется на обратный при их умножении. [4] : 17–18,22–23,62–64 [5] : 147–169
Например, размещение гейта Паули X после логического элемента Паули Y , оба из которых действуют на один кубит, можно описать как один комбинированный вентиль C :
Символ продукта () часто опускается.
Экспоненты квантовых вентилей
Все действительные показатели унитарных матриц также являются унитарными матрицами, и все квантовые вентили являются унитарными матрицами.
Положительные целые показатели эквивалентны последовательностям последовательно соединенных вентилей (например, ), а действительные показатели - это обобщение последовательной схемы. Например, а также оба являются действительными квантовыми воротами.
для любой унитарной матрицы . Единичная матрица () действует как NOP и может быть представлен в квантовых схемах как голый провод или вообще не показан.
Все вентили являются унитарными матрицами, так что а также , где- сопряженное транспонирование . Это означает, что отрицательные показатели ворот являются унитарными инверсиями своих положительно возведенных в степень аналогов:. Например, некоторые отрицательные показатели ворот фазового сдвига равны а также .
Параллельные ворота
Тензорное произведение (или продукт Кронекера ) из двух квантовых вентилей являются воротами , что равно двум ворот параллельно. [4] : 71–75 [5] : 148
Если мы, как на картинке, объединим ворота Паули- Y параллельно с воротами Паули- X , то это можно записать как:
И вентиль Paul- X, и вентиль Paul- Y действуют на один кубит. Получившиеся ворота действуют на два кубита.
Преобразование Адамара
Ворота ворота Адамара () применяется параллельно на 2 кубитах. Это можно записать так:
Этот «двухкубитный параллельный вентиль Адамара» будет применяться, например, к двухкубитному нулевому вектору (), создать квантовое состояние, которое с равной вероятностью будет наблюдаться при любом из четырех возможных результатов;, , , и. Мы можем записать эту операцию как:
Здесь амплитуда для каждого измеряемого состояния равна 1 ⁄ 2 . Вероятность наблюдать какое-либо состояние - это квадрат абсолютного значения амплитуды измеряемых состояний, что в приведенном выше примере означает, что каждый четвертый наблюдаем любой из четырех отдельных случаев. См измерению для деталей.
выполняет преобразование Адамара на двух кубитах. Аналогично воротавыполняет преобразование Адамара на регистр из кубиты.
Применительно к реестру все кубиты инициализированы , преобразование Адамара помещает квантовый регистр в суперпозицию с равной вероятностью измерения в любом из его возможные состояния:
Это состояние представляет собой однородную суперпозицию, и оно генерируется как первый шаг в некоторых алгоритмах поиска, например, при усилении амплитуды и оценке фазы .
Измерение этого состояния приводит к случайному числу между а также . [f] Насколько случайным будет число, зависит от точности логических вентилей. Если не измерять, это квантовое состояние с равной амплитудой вероятности для каждого из его возможных состояний.
Преобразование Адамара действует на регистр с участием такие кубиты, что следующим образом:
Применение на запутанных состояниях
Если два или более кубита рассматриваются как одно квантовое состояние, это комбинированное состояние равно тензорному произведению составляющих кубитов. Любое состояние, которое может быть записано как тензорное произведение составляющих подсистем, называется сепарабельными состояниями ( чистыми состояниями ). С другой стороны, запутанное состояние - это любое состояние, которое не может быть тензорно-факторизовано, или, другими словами: запутанное состояние не может быть записано как тензорное произведение составляющих его состояний кубитов. Следует проявлять особую осторожность при применении вентилей к составляющим кубитам, составляющим запутанные состояния.
Если у нас есть набор из N запутанных кубитов, и мы хотим применить квантовый вентиль к M < N кубитов в этом наборе, нам нужно будет расширить вентиль, чтобы принять N кубитов. Это приложение можно выполнить, комбинируя вентиль с единичной матрицей , так что их тензорное произведение становится вентилем, который действует на N кубитов. Единичная матрица () является представлением логического элемента, который отображает каждое состояние в себя (т. е. вообще ничего не делает). На принципиальной схеме единичный вентиль или матрица часто выглядят как голый провод.
Например, ворота Адамара () действует на один кубит, но если мы, например, скармливаем ему первый из двух кубитов, составляющих запутанное состояние Белла , мы не можем легко написать эту операцию. Нам нужно расширить ворота Адамара с идентификационными воротами так что мы можем воздействовать на квантовые состояния, охватывающие два кубита:
Ворота теперь может применяться к любому двухкубитному состоянию, запутанному или другому. Воротаоставит второй кубит нетронутым и применит преобразование Адамара к первому кубиту. Если применить к состоянию Bell в нашем примере, мы можем записать это как:
Вычислительная сложность и тензорное произведение
Время сложность умножения двух-матриц не менее , [24] при использовании классической машины. Потому что размер ворот, которые работают на кубиты это означает, что время для моделирования шага в квантовой схеме (посредством умножения вентилей), которая работает с типичными запутанными состояниями, равно . По этой причине считается трудноосуществимым моделировать большие запутанные квантовые системы с помощью классических компьютеров. Однако подмножества ворот, такие как ворота Клиффорда , можно эффективно моделировать на классических компьютерах.
Вектор состояния квантового регистра с кубиты сложные записи. Сохранение амплитуд вероятности в виде списка значений с плавающей запятой для больших.
Унитарная инверсия ворот
Поскольку все квантовые логические вентили обратимы , любая композиция из нескольких вентилей также обратима. Все произведения и тензорные произведения (т. Е. Последовательные и параллельные комбинации) унитарных матриц также являются унитарными матрицами. Это означает, что можно построить инверсию всех алгоритмов и функций, если они содержат только вентили.
Инициализация, измерение, ввод-вывод и спонтанная декогеренция - это побочные эффекты в квантовых компьютерах. Однако ворота чисто функциональны и биективны .
Если функция продукт ворота , унитарная обратная к функции могут быть построены:
Так как имеем, после многократного нанесения на себя
Аналогично, если функция состоит из двух ворот а также параллельно, то а также .
Кинжал () Обозначает комплексное сопряжение из транспонированной . Его еще называют эрмитово сопряженным .
Гейты, которые являются собственными унитарными обратными, называются эрмитовыми или самосопряженными операторами . Некоторые элементарные вентили, такие как вентили Адамара ( H ) и Паули ( I , X , Y , Z ), являются эрмитовыми операторами, тогда как другие, такие как вентили с фазовым сдвигом ( S , T , P , CPHASE), как правило, нет. Неэрмитовы вентили иногда называют косоэрмитовыми или присоединенными операторами .
С - унитарная матрица, а также .
Например, алгоритм сложения может использоваться для вычитания, если он «выполняется в обратном порядке», как его унитарно-обратный. Обратное квантовое преобразование Фурье является унитарным обратное. Унитарные инверсии также могут использоваться для невычисления . Языки программирования для квантовых компьютеров, таких как Microsoft «s Q # [25] и Бернхард Омера ККЛ [26] : 61 , содержит функцию инверсии как программирование понятий.
Измерение
Измерение (иногда называемое наблюдением ) необратимо и, следовательно, не является квантовым вентилем, поскольку оно присваивает наблюдаемому квантовому состоянию единственное значение. Измерение берет квантовое состояние и проецирует его на один из базисных векторов с вероятностью, равной квадрату глубины вектора ( норма - это квадрат модуля ) вдоль этого базисного вектора. [1] : 15–17 [27] [28] [29] Это известно как правило Борна и появляется [f] как стохастическая необратимая операция, поскольку оно вероятностно устанавливает квантовое состояние равным базисному вектору, который представляет измеренное состояние (состояние «схлопывается» до определенного единственного значения). Почему и как, или даже если [30] [31] квантовое состояние коллапсирует при измерении, называется проблемой измерения .
Вероятность измерения значения с амплитудой вероятности является , гдеэто модуль .
Измерение одного кубита, квантовое состояние которого представлено вектором , приведет к с вероятностью , а в с вероятностью .
Например, измерение кубита с квантовым состоянием даст с равной вероятностью либо или же .
Квантовое состояние который охватывает n кубитов, можно записать как вектор в сложные размеры:. Это потому, что тензорное произведение n кубитов является вектором вГабаритные размеры. Таким образом, регистр из n кубитов может быть измерен какразличные состояния, аналогичные тому, как регистр из n классических битов может содержатьразличные состояния. В отличие от битов классических компьютеров, квантовые состояния могут иметь ненулевые амплитуды вероятности в нескольких измеряемых значениях одновременно. Это называется суперпозицией .
Сумма всех вероятностей для всех исходов всегда должна быть равна 1 . Другими словами, теорема Пифагора, обобщенная на все квантовые состояния с n кубитами должны удовлетворять, где амплитуда вероятности для измеримого состояния . Геометрическая интерпретация этого состоит в том, что возможное пространство значений квантового состоянияс n кубитами - это поверхность единичной сферы ви что примененные к нему унитарные преобразования (то есть квантовые логические вентили) представляют собой вращения на сфере. Тогда измерение - это вероятностная проекция точек на поверхности этой сложной сферы на базисные векторы, которые охватывают пространство (и маркируют результаты).
Во многих случаях пространство представляется как гильбертово пространство. а не какой-то конкретный -мерное сложное пространство. Количество измерений (определяемых базисными векторами и, следовательно, также возможными результатами измерения) часто подразумевается операндами, например, как требуемое пространство состояний для решения проблемы . В алгоритме Гровера , Lov назвал этот общий базисный вектор набор «база данных» .
Выбор базисных векторов для измерения квантового состояния повлияет на результат измерения. [1] : 30–35 [4] : 22,84–85,185–188 [32] Подробности см. В энтропии фон Неймана . В этой статье мы всегда используем вычислительную основу , что означает, что мы пометилибазисные векторы n- кубитового регистра , или используйте двоичное представление .
В области квантовых вычислений обычно предполагается, что базисные векторы составляют ортонормированный базис .
Пример использования альтернативной базы измерения - в шифре BB84 .
Влияние измерения на запутанные состояния
Если два квантовых состояния (то есть кубиты или регистры ) запутаны (это означает, что их объединенное состояние не может быть выражено как тензорное произведение ), измерение одного регистра влияет или показывает состояние другого регистра, частично или полностью разрушая его состояние. Этот эффект можно использовать для вычислений и используется во многих алгоритмах.
Комбинация Адамара-CNOT действует на нулевое состояние следующим образом:
Это результирующее состояние является состоянием Белла. . Его нельзя описать как тензорное произведение двух кубитов. Нет решения для
потому что, например, w должно быть как ненулевым, так и нулевым в случае xw и yw .
Квантовое состояние охватывает два кубита. Это называется запутыванием . Измерение одного из двух кубитов, составляющих это состояние Белла, приведет к тому, что другой кубит по логике должен иметь такое же значение, оба должны быть одинаковыми: либо он будет найден в состоянии, или в состоянии. Если мы измеряем, что один из кубитов, например,, то другой кубит также должен быть, потому что их объединенное состояние стало . Измерение одного из кубитов приводит к коллапсу всего квантового состояния, охватывающего два кубита.
Состояние GHZ - это аналогичное запутанное квантовое состояние, охватывающее три или более кубитов.
Этот тип присвоения значений происходит мгновенно на любом расстоянии, и по состоянию на 2018 год это было экспериментально подтверждено QUESS для расстояний до 1200 километров. [33] [34] [35] То, что явление, кажется, происходит мгновенно, в отличие от времени, которое потребовалось бы, чтобы преодолеть расстояние, разделяющее кубиты, со скоростью света, называется парадоксом ЭПР , и это открытый вопрос в физике. как решить эту проблему. Первоначально она была решена путем отказа от предположения о местном реализме , но появились и другие интерпретации . Для получения дополнительной информации см. Тестовые эксперименты Белла . Теорема об отсутствии связи доказывает, что это явление не может использоваться для передачи классической информации со скоростью, превышающей скорость света .
Измерение регистров с попарно запутанными кубитами
Возьмите регистр A с n кубитами, все инициализированы как, и пропустить его через параллельные ворота Адамара . Регистр A войдет в состояние которые имеют равную вероятность при измерении находиться в любом из возможные состояния; к . Возьмите второй регистр B, также с n кубитами, инициализированными каки попарно CNOT его кубиты с кубитами в регистре A, так что для каждого p кубиты а также формирует государство .
Если мы теперь измеряем кубиты в регистре A, то будет обнаружено, что регистр B содержит то же значение, что и A. Если мы, однако, вместо этого применим квантовый логический вентиль F к A и затем измерим, тогда, гдеявляется унитарной обратным из F .
Из-за того, как действуют унитарные инверсии ворот ,. Например, скажите, тогда .
Равенство будет выполняться независимо от того, в каком порядке выполняется измерение (в регистрах A или B), при условии, что F завершился. Измерение может быть даже случайным и одновременно чередующимся кубитом за кубитом, поскольку назначение измерений одного кубита ограничит возможное пространство значений от других запутанных кубитов.
Несмотря на то, что равенства сохраняются, вероятности измерения возможных результатов могут измениться в результате применения F , как это может быть намерение в алгоритме квантового поиска.
Этот эффект разделения ценностей посредством запутывания используется в алгоритме Шора , оценке фазы и квантовом подсчете . Использование преобразования Фурье для увеличения амплитуд вероятности состояний решения для некоторой проблемы - это общий метод, известный как « ловля Фурье ».
Синтез логических функций
Функции и подпрограммы, которые используют только вентили, сами по себе могут быть описаны как матрицы, как и меньшие вентили. Матрица, представляющая квантовую функцию, действующую на кубиты имеют размер . Например, функция, которая действует на «кубит» (регистр из 8 кубитов), может быть описана как матрица с элементы.
Унитарные преобразования, которые не входят в набор вентилей, изначально доступных на квантовом компьютере (примитивные вентили), могут быть синтезированы или аппроксимированы путем объединения доступных примитивных вентилей в схему . Один из способов сделать это - разложить матрицу, кодирующую унитарное преобразование, на произведение тензорных произведений (т. Е. Последовательных и параллельных схем) доступных примитивных вентилей. Группа U (2 кв ) является группой симметрии для ворота , которые действуют накубиты. [2] Факторизация - это проблема поиска пути в U (2 q ) из порождающего набора примитивных вентилей. Теорема Соловая – Китаева показывает, что при достаточном наборе примитивных вентилей существует эффективное приближение для любого гейта. В общем случае с большим количеством кубитов такой прямой подход к синтезу схем неосуществим . [36] [37]
Поскольку ворота унитарны , все функции должны быть обратимыми и всегда должны быть взаимно однозначными отображениями входа в выход. Всегда должна существовать функция такой, что . Необратимые функции можно сделать обратимыми, добавив вспомогательные кубиты на вход или выход, или и то, и другое. После завершения функции вспомогательные кубиты можно либо не вычислить, либо оставить нетронутыми. Измерение или иное коллапсирование квантового состояния вспомогательного кубита (например, путем повторной инициализации его значения или его спонтанной декогеренции ), которые не были вычислены, может привести к ошибкам [38] [39], поскольку их состояние может быть запутанным. с кубитами, которые все еще используются в вычислениях.
Логически необратимые операции, например сложение по модулю из двух -кубит регистры a и b, , можно сделать логически обратимым, добавив информацию к выходу, так что вход можно вычислить по выходу (т. е. существует функция). В нашем примере это можно сделать, передав один из входных регистров выходу:. Затем вывод можно использовать для вычисления ввода (т. Е. С учетом вывода а также , мы можем легко найти вход; дается и ) и функция сделана биективной.
Все логические алгебраические выражения могут быть закодированы как унитарные преобразования (квантовые логические вентили), например, с использованием комбинаций вентилей Паули-X , CNOT и Тоффоли . Эти вентили функционально завершены в области логической логики.
В библиотеках Q # , QCL , Qiskit и других языков квантового программирования доступно множество унитарных преобразований . Это также появляется в литературе. [40] [41]
Например, , где - количество кубитов, составляющих регистр , реализована в QCL следующим образом: [42] [26]
cond qufunct inc ( qureg x ) { // увеличить регистр int i ; для i = # x -1 до 0 шаг -1 { CNot ( x [ i ], x [ 0 :: i ]); // применить управляемое-не из } // MSB в LSB }
В QCL декремент выполняется "отменой" приращения. Оператор отмены !
используется для запуска унитарной инверсии функции. !inc(x)
является инверсией inc(x)
и вместо этого выполняет операцию.
В модели вычислений, использованной в этой статье ( массив квантовых вентилей ), классический компьютер генерирует состав вентилей для квантового компьютера, а квантовый компьютер действует как сопроцессор, который получает инструкции от классического компьютера о том, к каким примитивным вентилям применить какие кубиты. [26] : 36–43 [43] Измерение квантовых регистров приводит к двоичным значениям, которые классический компьютер может использовать в своих вычислениях. Квантовые алгоритмы часто содержат как классическую, так и квантовую часть. Неизмеряемый ввод-вывод (отправка кубитов на удаленные компьютеры без коллапса их квантовых состояний) может использоваться для создания сетей квантовых компьютеров . Затем можно использовать обмен запутывания для реализации распределенных алгоритмов с квантовыми компьютерами, которые не связаны напрямую. Примерами распределенных алгоритмов, которые требуют использования лишь нескольких квантовых логических вентилей, являются сверхплотное кодирование , квантовое византийское соглашение и протокол обмена шифрованными ключами BB84 .
Смотрите также
- Адиабатические квантовые вычисления
- Клеточный автомат и квантовый клеточный автомат
- Классические вычисления и квантовые вычисления
- Классический логический вентиль , логическая связка и квантовая логика
- Облачные квантовые вычисления
- Теория вычислительной сложности и BQP
- Контрфактическая определенность и контрфактические вычисления
- Критерии Ди Винченцо и квантовый объем
- Принцип Ландауэра и обратимые вычисления , декогеренция
- Математическая формулировка квантовой механики
- Теория информации , квантовая информация и энтропия фон Неймана
- Эффект Паули и синхронность
- Матрицы Паули
- Квантовые алгоритмы
- Квантовая схема
- Квантовая коррекция ошибок
- Квантовые конечные автоматы
- Квантовая память
- Квантовая сеть и квантовый канал
- Квантовое состояние
- U (2 q ) и SU (2 q ), где это количество кубитов, на которые действуют вентили
- Унитарные преобразования в квантовой механике
- Зенон эффект
Заметки
- ^ Матричное умножение квантовых вентилей определяется как последовательные схемы .
- ^ Это также можно представить как разрезание сферы Блоха в плоскости X / Y (экватор), а затем вращение только одного из двух полушарий сферы Блоха (например, вращает -полушарие), оставив другое полушарие без изменений.
- ^ где представляет собой сопряженное транспонирование (или эрмитово сопряженный )
- ^ когда , где является сопряженным транспонированием (или эрмитово сопряженным ).
- ^ Также:
- ^ a b Если это на самом деле стохастический эффект, зависит от того, какая интерпретация квантовой механики верна (и может ли быть верной какая-либо интерпретация). Например, теория Де Бройля – Бома и многомировая интерпретация утверждают детерминизм . (В многомировой интерпретации квантовый компьютер - это машина, которая запускает программы ( квантовые схемы ), которые выбирают реальность, в которой велика вероятность того, что у нее есть состояния решения проблемы . То есть машина чаще всего существует, чем не существует в реальности, где он дает правильный ответ. Однако эта интерпретация не меняет механику, с помощью которой работает машина.)
Рекомендации
- ^ а б в г д Колин П. Уильямс (2011). Исследования в области квантовых вычислений . Springer . ISBN 978-1-84628-887-6.
- ^ а б в г Баренко, Адриано; Беннет, Чарльз Х .; Клив, Ричард; Ди Винченцо, Дэвид П .; Марголус, Норманн; Шор, Петр; Sleator, Тихо; Смолин, Джон А .; Вайнфуртер, Харальд (1995-11-01). «Элементарные ворота для квантовых вычислений». Physical Review . Американское физическое общество (APS). 52 (5): 3457–3467. arXiv : квант-ph / 9503016 . DOI : 10.1103 / physreva.52.3457 . ISSN 1050-2947 .
- ^ Фейнман, Ричард П. (1986). «Квантово-механические компьютеры». Основы физики . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 16 (6): 507–531. DOI : 10.1007 / bf01886518 . ISSN 0015-9018 .
- ^ а б в г д Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC 43641333 .
- ^ а б в Янофски, Носон С .; Маннуччи, Мирко (2013). Квантовые вычисления для компьютерных ученых . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-87996-5.
- ^ «Электронная библиотека» . IBM (Qiskit).
- ^ «База знаний Quantum inspire» . QuTech.
- ^ «Документация по Azure Quantum (предварительная версия)» . Microsoft (Q #).
- ^ Дибьенду Чаттерджи, Ариджит Рой (2015). «Схема квантового полусумматора на основе трансмона» . Успехи теоретической и экспериментальной физики . 2015 (9): 7–8. Bibcode : 2015PTEP.2015i3A02C . DOI : 10,1093 / ptep / ptv122 .
- ^ Гриффитс, ди-джей (2008). Введение в элементарные частицы (2-е изд.) . Джон Вили и сыновья . С. 127–128. ISBN 978-3-527-40601-2.
- ^ Немировский, Джонатан; Саги, Йоав (2021), «Быстрый универсальный двухкубитовый вентиль для нейтральных фермионных атомов в оптическом пинцете» , Physical Review Research , 3 (1): 013113, arXiv : 2008.09819 , Bibcode : 2021PhRvR ... 3a3113N , doi : 10.1103 / PhysRevResearch.3.013113
- ^ а б Williams, Colin P. (2011), Williams, Colin P. (ред.), "Quantum Gates" , Исследования в квантовых вычислений , текстов в области компьютерных наук, Лондон: Springer, С. 51-122,. DOI : 10.1007 / 978- 1-84628-887-6_2 , ISBN 978-1-84628-887-6, получено 2021-05-14
- ^ Ааронов, Дорит (09.01.2003). «Простое доказательство того, что Тоффоли и Адамар квантово универсальны». arXiv : квант-ph / 0301040 .
- ^ "Конференция Монро" (PDF) . online.kitp.ucsb.edu .
- ^ «Демонстрация небольшого программируемого квантового компьютера с атомными кубитами» (PDF) . Проверено 10 февраля 2019 .
- ^ Джонс, Джонатан А. (2003). «Надежные ворота Изинга для практических квантовых вычислений». Physical Review . 67 (1): 012317. Arxiv : колич-фот / 0209049 . Bibcode : 2003PhRvA..67a2317J . DOI : 10.1103 / PhysRevA.67.012317 . S2CID 119421647 .
- ^ Расмуссен, SE; Зиннер, Н.Т. (17 июля 2020 г.). «Простая реализация высокоточных управляемых вентилей и возведения в степень квантовых схем неэрмитовых вентилей» . Physical Review Research . 2 (3): 033097. arXiv : 2002.11728 . Bibcode : 2020PhRvR ... 2c3097R . DOI : 10.1103 / PhysRevResearch.2.033097 . ISSN 2643-1564 .
- ^ Schuch, Norbert; Сиверт, Йенс (10 марта 2003 г.). «Естественный двухкубитовый вентиль для квантовых вычислений с использованием XY взаимодействия» . Physical Review . 67 (3): 032301. Arxiv : колич-фот / 0209035 . Bibcode : 2003PhRvA..67c2301S . DOI : 10.1103 / PhysRevA.67.032301 . ISSN 1050-2947 .
- ^ Даллер-Демерс, Пьер-Люк; Вильгельм, Франк К. (05.12.2016). «Квантовые ворота и архитектура для квантового моделирования модели Ферми-Хаббарда» . Physical Review . 94 (6): 062304. arXiv : 1606.00208 . Bibcode : 2016PhRvA..94f2304D . DOI : 10.1103 / PhysRevA.94.062304 . ISSN 2469-9926 .
- ^ Ши, Сяо-Фэн (22.05.2018). «Дойч, Тоффоли и др. Гейтс через Ридбергскую блокаду нейтральных атомов» . Применена физическая проверка . 9 (5): 051001. arXiv : 1710.01859 . Bibcode : 2018PhRvP ... 9e1001S . DOI : 10.1103 / PhysRevApplied.9.051001 . ISSN 2331-7019 .
- ^ Ааронов, Дорит (09.01.2003). «Простое доказательство того, что Тоффоли и Адамар квантово универсальны». arXiv : квант-ph / 0301040 .
- ^ Дойч, Дэвид (8 сентября 1989 г.), "Квантовые вычислительные сети", Proc. R. Soc. Лондон. , 425 (+1989): 73-90, Bibcode : 1989RSPSA.425 ... 73D , DOI : 10.1098 / rspa.1989.0099 , S2CID 123073680
- ^ Бауш, Йоханнес; Пиддок, Стивен (2017), «Сложность трансляционно-инвариантных низкоразмерных спиновых решеток в 3D», Журнал математической физики , 58 (11): 111901, arXiv : 1702.08830 , Bibcode : 2017JMP .... 58k1901B , doi : 10.1063 / 1.5011338 , S2CID 8502985
- ^ Раз, Ран (2002). «О сложности матричного произведения». Труды тридцать четвертый ежегодный ACM симпозиум по теории вычислений : 144. DOI : 10,1145 / 509907.509932 . ISBN 1581134959. S2CID 9582328 .
- ^ Определение присоединенных операторов в Microsoft Q #
- ^ а б в Омер, Бернхард (2000-01-20). Квантовое программирование в QCL (PDF) (Диссертация) . Проверено 24 мая 2021 .
- ^ Гриффитс, ди-джей (2008). Введение в элементарные частицы (2-е изд.) . Джон Вили и сыновья . С. 115–121, 126. ISBN 978-3-527-40601-2.
- ^ Дэвид Альберт (1994). Квантовая механика и опыт . Издательство Гарвардского университета . п. 35. ISBN 0-674-74113-7.
- ^ Шон М. Кэрролл (2019). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности . Издательство Кембриджского университета . С. 376–394. ISBN 978-1-108-48839-6.
- ^ Дэвид Уоллес (2012). Эмерджентная мультивселенная: квантовая теория в соответствии с интерпретацией Эверетта . Издательство Оксфордского университета . ISBN 9780199546961.
- ^ Шон М. Кэрролл (2019). Что-то глубоко скрытое: квантовые миры и появление пространства-времени . Penguin Random House . ISBN 9781524743017.
- ^ Q # Онлайн-руководство: Измерение
- ^ Хуан Инь, Юань Цао, Ю-Хуай Ли и др. (2017). «Спутниковое распределение запутанности на 1200 километров» . Квантовая оптика . 356 : 1140–1144. arXiv : 1707.01339 .CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
- ^ Биллингс, Ли. "China Shatters" Жуткое действие на расстоянии "Рекорд, подготовка к квантовому Интернету" . Scientific American .
- ^ Попкин, Габриэль (15 июня 2017 г.). «Квантовый спутник Китая совершает« жуткое действие »на рекордном расстоянии» . Наука - AAAS .
- ^ Доусон, Кристофер М .; Нильсен, Майкл (01.01.2006). «Алгоритм Соловая-Китаева» . Квантовая информация и вычисления . 6 (1). Раздел 5.1, уравнение 23. arXiv : Quant-ph / 0505030 . DOI : 10.26421 / QIC6.1-6 .
- ^ Маттео, Оливия Ди (2016). «Распараллеливание синтеза квантовых схем» . Квантовая наука и технологии . 1 (1): 015003. arXiv : 1606.07413 . Bibcode : 2016QS&T .... 1a5003D . DOI : 10.1088 / 2058-9565 / 1/1/015003 . S2CID 62819073 .
- ^ Ааронсон, Скотт (2002). "Квантовая нижняя граница для рекурсивной выборки Фурье". Квантовая информация и вычисления . 3 (2): 165–174. arXiv : квант-ph / 0209060 . Bibcode : 2002quant.ph..9060A . DOI : 10.26421 / QIC3.2-7 .
- ^ Q # онлайн-руководство: квантовое управление памятью
- ^ Ре, Асака; Кадзумицу, Сакаи; Рёко, Яхаги (2020). «Квантовая схема для быстрого преобразования Фурье» . Квантовая обработка информации . 19 (277): 277. arXiv : 1911.03055 . Bibcode : 2020QuIP ... 19..277A . DOI : 10.1007 / s11128-020-02776-5 . S2CID 207847474 .
- ^ Монтасер, Раша (2019). «Новый дизайн обратимого полного сумматора / вычитателя с использованием R-ворот». Международный журнал теоретической физики . 58 (1): 167–183. arXiv : 1708.00306 . Bibcode : 2019IJTP ... 58..167M . DOI : 10.1007 / s10773-018-3921-1 . S2CID 24590164 .
- ^ Исходный код QCL 0.6.4, файл "lib / examples.qcl"
- ^ SJ Pauka, K. Das, R. Kalra, A. Moini, Y. Yang, M. Trainer, A. Bousquet, C. Cantaloube, N. Dick, GC Gardner, MJ (2021). «Криогенный КМОП-чип для генерации управляющих сигналов для нескольких кубитов» . Природа Электроника . 4 (4): 64–70. arXiv : 1912.01299 . DOI : 10.1038 / s41928-020-00528-у .CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
Источники
- Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0521632358. OCLC 43641333 .
- Колин П. Уильямс (2011). Исследования в области квантовых вычислений . Springer . ISBN 978-1-84628-887-6.
- Янофски, Носон С .; Маннуччи, Мирко (2013). Квантовые вычисления для компьютерных ученых . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-87996-5.