Квазихопфа алгебра

Алгебра квази-Хопфа является обобщением алгебры Хопфа , которая была определена российским математиком Дринфельд в 1989 году.

Алгебра квази-Хопфа является квази-биалгебра , для которых существуют и биективен антигомоморфизмом S ( антиподом ) из таких , что${\ Displaystyle {\ mathcal {B_ {A}}} = ({\ mathcal {A}}, \ Delta, \ varepsilon, \ Phi)}$${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {я} S (b_ {я}) \ альфа c_ {я} = \ varepsilon (а) \ альфа}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {я} b_ {я} \ бета S (c_ {я}) = \ varepsilon (а) \ бета}$

для всех и где ${\ displaystyle a \ in {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle \ Delta (a) = \ sum _ {i} b_ {i} \ otimes c_ {i}}$

и

${\displaystyle \sum _{i}X_{i}\beta S(Y_{i})\alpha Z_{i}=\mathbb {I} ,}$

${\displaystyle \sum _{j}S(P_{j})\alpha Q_{j}\beta S(R_{j})=\mathbb {I} .}$

где разложения для величин и даются формулами ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi ^{-1}}$

${\displaystyle \Phi =\sum _{i}X_{i}\otimes Y_{i}\otimes Z_{i}}$

и

${\displaystyle \Phi ^{-1}=\sum _{j}P_{j}\otimes Q_{j}\otimes R_{j}.}$

Что касается квазибиалгебры , то свойство квазихопфа сохраняется при скручивании .

Использование [ править ]

Квази-алгебры Хопфа образуют основу изучения Дринфельда завихрений и представлений в терминах F-матриц , связанных с конечномерных неприводимых представлений о квантовой аффинной алгебры . F-матрицы могут использоваться для факторизации соответствующей R-матрицы . Это приводит к приложениям в статистической механике в качестве квантовых аффинных алгебр, а их представления приводят к решениям уравнения Янга – Бакстера , условия разрешимости для различных статистических моделей, позволяющего вывести характеристики модели из соответствующей квантовой аффинной алгебры. Исследование F-матриц было применено к таким моделям, какXXZ-модель Гейзенберга в рамках алгебраического анзаца Бете . Он обеспечивает основу для решения двумерных интегрируемых моделей с использованием квантового метода обратной задачи .

См. Также [ править ]

• Квазитреугольная алгебра Хопфа
• Квазитреугольная квазихопфа алгебра
• Ленточная алгебра Хопфа

Ссылки [ править ]

• Владимир Дринфельд , "Квазихопфовые алгебры", Leningrad Math J. 1 (1989), 1419-1457
• JM Maillet и J. Sanchez de Santos, Drinfeld Twists and Algebraic Bethe Ansatz , Amer. Математика. Soc. Пер. (2) Т. 201 , 2000 г.