В физике и математике , А случайное поле является случайной функцией над произвольной области (обычно многомерное пространство , такое , как). То есть это функция который принимает случайное значение в каждой точке (или какой-нибудь другой домен). Его также иногда считают синонимом случайного процесса с некоторыми ограничениями на его набор индексов. [1] То есть, согласно современным определениям, случайное поле является обобщением случайного процесса, в котором базовый параметр больше не должен быть действительным или целочисленным «временем», а вместо этого может принимать значения, которые являются многомерными векторами или точками на некотором многообразии . [2]
Формальное определение
Учитывая вероятностное пространство , Х -значные случайное поле представляет собой набор из X -значного случайных величин , индексированных элементами в топологическом пространстве Т . То есть случайное поле F представляет собой набор
где каждый является случайной величиной со значениями X.
Примеры
В своей дискретной версии случайное поле представляет собой список случайных чисел, индексы которых отождествляются с дискретным набором точек в пространстве (например, n- мерном евклидовом пространстве ). В более общем смысле, значения могут быть определены в непрерывной области, а случайное поле может рассматриваться как случайная величина со "оценкой функции", как описано выше. В квантовой теории поля это понятие даже обобщается на случайный функционал , который принимает случайное значение в пространстве функций (см. Интеграл Фейнмана ). Существует несколько видов случайных полей, среди которых марковское случайное поле (MRF), случайное поле Гиббса , условное случайное поле (CRF) и гауссовское случайное поле . MRF демонстрирует марковское свойство
для каждого выбора значений . И каждый это множество соседей . Другими словами, вероятность того, что случайная величина примет значение, зависит от ее непосредственных соседних случайных величин. Вероятность случайной величины в MRF определяется выражением
где сумма (может быть интегралом) берется по возможным значениям k. Иногда бывает трудно точно вычислить эту величину. В 1974 году Джулиан Бесаг предложил метод аппроксимации, основанный на связи между MRF и RF Гиббса. [ необходима цитата ]
Приложения
При использовании в естественных науках значения в случайном поле часто пространственно коррелированы. Например, соседние значения (т. Е. Значения со смежными индексами) не отличаются так сильно, как значения, которые находятся дальше друг от друга. Это пример ковариационной структуры, многие различные типы которой могут быть смоделированы в случайном поле. Одним из примеров является модель Изинга, где иногда взаимодействия ближайших соседей включаются только в качестве упрощения, чтобы лучше понять модель.
Обычно случайные поля используются при создании компьютерной графики, особенно тех, которые имитируют естественные поверхности, такие как вода и земля .
В неврологии , особенно в исследованиях функциональной визуализации мозга, связанных с задачами, с использованием ПЭТ или фМРТ , статистический анализ случайных полей является одной из распространенных альтернатив коррекции множественных сравнений для поиска областей с действительно значительной активацией. [3]
Они также используются в приложениях машинного обучения (см. Графические модели ).
Тензорные случайные поля
Случайные поля очень полезны при изучении естественных процессов методом Монте-Карло, в котором случайные поля соответствуют естественным образом меняющимся свойствам в пространстве. Это приводит к тензорным случайным полям, в которых ключевую роль играет Статистический Объемный Элемент (SVE); когда SVE становится достаточно большим, его свойства становятся детерминированными и восстанавливается элемент репрезентативного объема (RVE) детерминированной физики континуума. Второй тип случайных полей, которые появляются в теориях континуума, - это поля зависимых величин (температура, смещение, скорость, деформация, вращение, телесные и поверхностные силы, напряжение и т. Д.). [4]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ «Случайные поля» (PDF) .
- ^ Ванмарке, Эрик (2010). Случайные поля: анализ и синтез . Мировая научная издательская компания. ISBN 978-9812563538.
- ^ Уорсли, KJ; Эванс, AC; Marrett, S .; Нилин, П. (ноябрь 1992 г.). «Трехмерный статистический анализ исследований активации CBF в человеческом мозге» . Журнал мозгового кровотока и метаболизма . 12 (6): 900–918. DOI : 10.1038 / jcbfm.1992.127 . ISSN 0271-678X . PMID 1400644 .
- ^ Маляренко Анатолий; Остоя-Старжевский, Мартин (2019). Тензорные случайные поля для физики сплошных сред . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781108429856.
дальнейшее чтение
- Адлер, Р. Дж. И Тейлор, Джонатан (2007). Случайные поля и геометрия . Springer. ISBN 978-0-387-48112-8.
- Бесаг, JE (1974). «Пространственное взаимодействие и статистический анализ решетчатых систем». Журнал Королевского статистического общества . Серия Б. 36 (2): 192–236. DOI : 10.1111 / j.2517-6161.1974.tb00999.x .
- Гриффит, Дэвид (1976). «Случайные поля». В Кемени, Джон Г .; Снелл, Лори ; Кнапп, Энтони В. (ред.). Счетные цепи Маркова (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-90177-9.
- Хошневисан (2002). Многопараметрические процессы: введение в случайные поля . Springer. ISBN 0-387-95459-7.