В математике , то ба пространство из алгебры множеств - банахово пространство, состоящее из всех ограниченных и конечно аддитивных знаковых мер на. Норма определяется как вариация , то есть, [1]
Если Σ - сигма-алгебра , то пространство определяется как подмножество состоящий из счетно-аддитивных мер . [2] Обозначение ba является мнемоническим для обозначения ограниченной аддитивности, а ca - сокращенно от счетно-аддитивного .
Если X - топологическое пространство , а Σ - сигма-алгебра борелевских множеств в X , то является подпространством состоящий из всех регулярных борелевских мер на X . [3]
Характеристики
Все три пространства полны (они являются банаховыми пространствами ) относительно одной и той же нормы, определяемой полной вариацией, и, следовательно, является замкнутым подмножеством , а также это закрытый набор для Е алгебра борелевских множеств на X . Пространство простых функций наявляется плотным в.
Ба пространство набора мощности из натуральных чисел , ба (2 N ), часто обозначается просто каки изоморфная к сопряженному пространству в л ∞ пространства .
Двойственный к B (Σ)
Пусть B (Σ) - пространство ограниченных Σ-измеримых функций, снабженное равномерной нормой . Тогда ba (Σ) = B (Σ) * - непрерывное двойственное пространство к B (Σ). Это связано с Хильдебрандтом [4] и Фихтенгольцем и Канторовичем. [5] Это своего рода теорема Рисса о представлении, которая позволяет представить меру как линейный функционал от измеримых функций. В частности, этот изоморфизм позволяет определить в интеграл по отношению к конечно - аддитивной мере (заметит , что обычный интеграл Лебега требует счетной аддитивности). Это связанно с Данфорд & Schwartz, [6] и часто используется для определения интеграла по векторным мерам , [7] и в особенности векторнозначных радоновских мер .
Топологическую двойственность ba (Σ) = B (Σ) * легко увидеть. Существует очевидная алгебраическая двойственность между векторным пространством всех конечно-аддитивных мер σ на Σ и векторным пространством простых функций (). Легко проверить, что линейная форма, индуцированная σ, непрерывна по sup-норме, если σ ограничена, и результат следует из того, что линейная форма на плотном подпространстве простых функций продолжается до элемента B (Σ) *, если она непрерывна по sup-норме.
Двойственный к L ∞ ( μ )
Если Σ - сигма-алгебра и μ - сигма-аддитивная положительная мера на Σ, то пространство Lp L ∞ ( μ ), наделенное существенной нормой супремума, по определению является фактор-пространством B (Σ) по замкнутому подпространству ограниченного μ- нулевые функции:
Таким образом, двойственное банахово пространство L ∞ ( μ ) * изоморфно
т. е. пространство конечно-аддитивных знаковых мер на Σ , абсолютно непрерывных относительно μ ( для краткости μ -ac).
Когда пространство меры, кроме того, сигма-конечное, то L ∞ ( μ ), в свою очередь, двойственно L 1 ( μ ), которое по теореме Радона – Никодима отождествляется с множеством всех счетно-аддитивных μ -ac мер. Другими словами, включение в бидуал
изоморфно включению пространства счетно-аддитивных ограниченных мер μ -ac внутрь пространства всех конечно-аддитивных ограниченных мер μ -ac.
Рекомендации
- Dunford, N .; Шварц, JT (1958). Линейные операторы, часть I . Wiley-Interscience.
- ^ Dunford & Schwartz 1958 , IV.2.15.
- ^ Dunford & Schwartz 1958 , IV.2.16.
- ^ Dunford & Schwartz 1958 , IV.2.17.
- ^ Хильдебрандт, TH (1934). «Об ограниченных функциональных операциях» . Труды Американского математического общества . 36 (4): 868–875. DOI : 10.2307 / 1989829 . JSTOR 1989829 .
- ^ Fichtenholz, G .; Канторович, Л. В. (1934). "Sur les opérations linéaires dans l'espace des fonctionsbornées" . Studia Mathematica . 5 : 69–98. DOI : 10,4064 / см-5-1-69-98 .
- ^ Данфорд и Шварц 1958 .
- ^ Diestel, J .; Уль, Дж. Дж. (1977). Векторные меры . Математические обзоры. 15 . Американское математическое общество. Глава I.
дальнейшее чтение
- Дистель, Джозеф (1984). Последовательности и серии в банаховых пространствах . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90859-5. OCLC 9556781 .
- Yosida, K .; Хьюитт, Э. (1952). «Конечно-аддитивные меры» . Труды Американского математического общества . 72 (1): 46–66. DOI : 10.2307 / 1990654 . JSTOR 1990654 .