Теорема Дирихле о единицах

В математике , теорема единицы Дирихля является основным результатом в теории алгебраических чисел вследствие Дирихля . ^[1] Он определяет ранг в группе единиц в кольце $О K$ от алгебраических чисел одного числового поля $K$ . Регулятор представляет собой положительное действительное число , которое определяет , как «плотный» единицы являются.

Утверждение состоит в том, что группа единиц конечно порождена и имеет ранг (максимальное число мультипликативно независимых элементов), равный

г = г 1 + г 2 - 1

где $R 1$ представляет собой число вещественных вложений и $г 2$ числа сопряженных пар комплексных вложений в $K$ . Эта характеристика $r 1$ и $r 2$ основана на идее, что будет столько же способов вложить $K$ в поле комплексных чисел, сколько степень $n = [K : ℚ]$ ; они будут либо в действительные числа , либо в пары вложений, связанных комплексным сопряжением , так что

п = г 1 + 2 г 2

.

Заметим, что если $K$ является Галуа над $ℚ,$ то либо $r 1$ = 0, либо $r 2$ = 0.

Другие способы определения $r 1$ и $r 2$ :

используйте теорему о примитивных элементах, чтобы записать $K = ℚ (α)$ , и тогда $r 1$ - количество вещественных, сопряженных с $α$ , $2 r 2$ - число комплексных; другими словами, если $f$ - минимальный многочлен $α$ над $ℚ$ , то $r 1$ - количество действительных корней, а $2r 2$ - количество $невещественных$ комплексных корней $f$ (которые входят в комплексно сопряженные пары);
записать тензорное произведение полей $К \otimes ℚ ℝ$ как произведение полей, то время $г 1$ копии $ℝ$ и $г 2$ копии $ℂ$ .

Например, если $K$ - квадратичное поле , ранг равен 1, если это действительное квадратичное поле, и 0, если мнимое квадратичное поле. Теория реальных квадратичных полей - это, по сути, теория уравнения Пелля .

Ранг положительный для всех $числовых$ полей, кроме и мнимых квадратичных полей, которые имеют ранг 0. «Размер» единиц обычно измеряется определителем, называемым регулятором. В принципе основу для единиц можно эффективно вычислить; на практике вычисления довольно сложны, когда $n$ велико.

Кручение в группе единиц - это совокупность всех корней из единицы $K$ , которые образуют конечную циклическую группу . Следовательно, для числового поля с хотя бы одним вещественным вложением кручение должно быть только ${1, -1}$ . Есть числовые поля, например, большинство мнимых квадратичных полей , не имеющих реальных вложений, которые также имеют ${1, -1}$ для кручения своей единичной группы.

Полностью реальные поля отличаются от единиц измерения. Если $L / K$ является конечным расширением числовых полей со степенью больше 1 и группы единиц для целых чисел $L$ и $K$ имеют один и тот же ранг, то $K$ вполне вещественно, а $L$ - полностью комплексное квадратичное расширение. Верно и обратное. (Например, $K$ равно рациональным числам, а $L$ равно мнимому квадратичному полю; оба имеют единичный ранг 0.)

Теорема применима не только к порядку максимального $O K$ , но в любом порядке $O \subset O K$ . ^[2]

Гельмут Хассе (а позже Клод Шевалле ) обобщил теорему о единицах для описания структуры группы $S-$ единиц , определяющей ранг группы единиц в локализациях колец целых чисел. Также была определена структура модуля Галуа для $ℚ \oplus O K, S \otimes ℤ ℚ$ . ^[3]

Регулятор [ править ]

Предположим, что K - числовое поле и набор образующих для единичной группы K по модулю корней из единицы. Будет $r$ $+ 1$ архимедовых мест K , реальных или сложных. Для получения , записей для различного вложения в $ℝ$ или $ℂ$ и множество $N$ $J$ 1 или 2 , если соответствующее вложение вещественное или комплексное соответственно. Тогда матрица размера $r$ $\times ($ $r$ $+ 1)$ ${\ displaystyle u_ {1}, \ dots, u_ {r}}$ ${\ displaystyle u \ in K}$ ${\ Displaystyle и ^ {(1)}, \ точки, и ^ {(г + 1)}}$

{\ displaystyle \ left (N_ {j} \ log \ left | u_ {i} ^ {(j)} \ right | \ right) _ {i = 1, \ dots, r, \; j = 1, \ dots , г + 1}}

обладает тем свойством, что сумма любой строки равна нулю (потому что все единицы имеют норму 1, а логарифм нормы - это сумма записей в строке). Это означает, что абсолютное значение

R

определителя подматрицы, образованной удалением одного столбца, не зависит от столбца. Число

R

называется регулятором поля алгебраических чисел (оно не зависит от выбора образующих

u i

). Он измеряет «плотность» единиц: если регулятор небольшой, это означает, что есть «много» единиц.

Регулятор имеет следующую геометрическую интерпретацию. Отображение, блок $˙U$ вектор с элементами имеет изображение в $г$ - мерном подпространстве $ℝ$ $г$ $+ 1$ , состоящий из всех векторов, элементы которых имеет сумму 0, а на единице Дирихля теорема образом является решеткой в этом подпространстве. Объем фундаментальной области этой решетки равен $R$ $\sqrt$ $r$ $+ 1$ . ${\ displaystyle N_ {j} \ log \ left | u ^ {(j)} \ right |}$

Регулятор поля алгебраических чисел степени больше 2 обычно довольно громоздко вычислять, хотя сейчас существуют пакеты компьютерной алгебры, которые могут это сделать во многих случаях. Это, как правило , гораздо проще вычислить продукт $Hr$ из числа классов $ч$ и регулятор , используя формулу номера класса , а также основную трудность в вычислении числа классов поля алгебраических чисел, как правило , вычисление регулятора.

Примеры [ править ]

Фундаментальная область в логарифмическом пространстве группы единиц циклического кубического поля

K,

полученная присоединением к

ℚ

корня

f (x) = x 3 + x 2 - 2 x - 1

. Если

α

обозначает корень

f (x)

, то набор фундаментальных единиц равен

{ε 1, ε 2}

, где

ε 1 = α 2 + α - 1

и

ε 2 = 2 - α 2

. Площадь основного домена составляет примерно 0,910114, поэтому регулятор

K

составляет примерно 0,525455.

Регулятор мнимого квадратичного поля или целых рациональных чисел равен 1 (поскольку определитель матрицы 0 × 0 равен 1).
Регулятором реального квадратичного поля является логарифм его фундаментальной единицы : например, $that (\sqrt 5)$ - это $log \sqrt 5 + 1 / 2$ . Это можно увидеть следующим образом. Основной единицей является $\sqrt 5 + 1 / 2$ И его образы при двух вложений в $ℝ$ являются $\sqrt 5 + 1 / 2$ и $- \sqrt 5 + 1 / 2$ . Таким образом, матрица $r \times (r + 1)$ имеет вид

{\ displaystyle \ left [1 \ times \ log \ left | {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ right |, \ quad 1 \ times \ log \ left | {\ frac { - {\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ right | \ \ right].}

Регулятор циклического кубического поля $ℚ (α)$ , где $α$ является корнем из $x 3 + x 2 - 2 x - 1$ , составляет приблизительно 0,5255. Базисом группы единиц по модулю корней из единицы является ${ε 1, ε 2},$ где $ε 1 = α 2 + α - 1$ и $ε 2 = 2 - α 2$ . ^[4]

Высшие регуляторы [ править ]

«Высший» регулятор относится к конструкции для функции на алгебраической K -группе с индексом $n > 1,$ которая играет ту же роль, что и классический регулятор для группы единиц, которая является группой $K 1$ . Теория таких регуляторов разрабатывалась вместе с Арманом Борелем и другими. Такие высшие регуляторы играют роль, например, в гипотезах Бейлинсона , и ожидается, что они будут иметь место при оценке определенных L- функций при целочисленных значениях аргумента. ^[5] См. Также регулятор Бейлинсона .

Регулятор Старка [ править ]

Формулировка гипотез Старка привела к тому, что Гарольд Старк определил то, что сейчас называется регулятором Штарка , похожим на классический регулятор как определитель логарифмов единиц, присоединенный к любому представлению Артина . ^[6]^[7]

$p$ -адический регулятор [ править ]

Пусть $K$ будет поле число и для каждого простого $P$ из $K$ выше некоторого фиксированного рационального простого $р$ , пусть $U P$ обозначают местные единицы на $Р$ , и пусть $U 1, P$ обозначим подгруппу главных единиц $U P$ . Набор

{\ displaystyle U_ {1} = \ prod _ {P | p} U_ {1, P}.}

Тогда пусть $Е 1$ обозначит множество глобальных единиц $epsi$ ; эту карту к $U 1$ посредством диагонального вложения глобальных единиц в $E$ .

Поскольку $E 1$ - подгруппа конечного индекса глобальных единиц, это абелева группа ранга $r 1 + r 2 - 1$ . $Р$ -адическая регулятора является определитель матрицы , образованной $р$ -адических логарифмов образующих этой группы. Гипотеза Леопольдта утверждает, что этот определитель отличен от нуля. ^[8]^[9]

См. Также [ править ]

Эллиптический блок
Циклотомическая единица
Теорема Шинтани о единицах

Примечания [ править ]

^ Elstrodt 2007 , §8.D
^ Stevenhagen, P. (2012). Номерные кольца (PDF) . п. 57.
^ Нойкирх, Шмидт и Вингберг 2000 , предложение VIII.8.6.11.
^ Коэн 1993 , таблица B.4
^ Блох, Спенсер Дж. (2000). Высшие регуляторы, алгебраическая $K-$ теория и дзета-функции эллиптических кривых . Серия монографий CRM. 11 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-2114-8. Zbl 0958.19001 .
^ Прасад, Дипендра; Йогонанда, CS (23 февраля 2007 г.). Отчет о гипотезе о голоморфности Артина (PDF) (Report).
^ Дасгупта, Samit (1999). Гипотезы Старка (PDF) (Диссертация). Архивировано из оригинального (PDF) 10 мая 2008 года.
^ Neukirch et al. (2008) стр. 626–627
^ Ивасава, Kenkichi (1972). Лекции о $p$ -адических $L-$ функциях . Анналы математических исследований. 74 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета и Издательство Токийского университета. С. 36–42. ISBN 0-691-08112-3. Zbl 0236.12001 .

Ссылки [ править ]

Коэн, Анри (1993). Курс вычислительной алгебраической теории чисел . Тексты для выпускников по математике . 138 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-55640-4. Руководство по ремонту 1228206 . Zbl 0786.11071 .
Эльстродт, Юрген (2007). «Жизнь и творчество Густава Лежена Дирихле (1805–1859)» (PDF) . Труды математики Глины . Проверено 13 июня 2010 .
Ланг, Серж (1994). Алгебраическая теория чисел . Тексты для выпускников по математике. 110 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94225-4. Zbl 0811.11001 .
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту 1697859 . Zbl 0956.11021 .
Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 323 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, Руководство по ремонту 1737196 , Zbl 0948.11001

[1] Elstrodt 2007 , §8.D

[2] Stevenhagen, P. (2012). Номерные кольца (PDF) . п. 57.

[FOOTNOTENeukirchSchmidtWingberg2000proposition_VIII.8.6.11-3] Нойкирх, Шмидт и Вингберг 2000 , предложение VIII.8.6.11.

[4] Коэн 1993 , таблица B.4

[Bloch-5] Блох, Спенсер Дж. (2000). Высшие регуляторы, алгебраическая $K-$ теория и дзета-функции эллиптических кривых . Серия монографий CRM. 11 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-2114-8. Zbl 0958.19001 .

[6] Прасад, Дипендра; Йогонанда, CS (23 февраля 2007 г.). Отчет о гипотезе о голоморфности Артина (PDF) (Report).

[7] Дасгупта, Samit (1999). Гипотезы Старка (PDF) (Диссертация). Архивировано из оригинального (PDF) 10 мая 2008 года.

[NSW6267-8] Neukirch et al. (2008) стр. 626–627

[9] Ивасава, Kenkichi (1972). Лекции о $p$ -адических $L-$ функциях . Анналы математических исследований. 74 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета и Издательство Токийского университета. С. 36–42. ISBN 0-691-08112-3. Zbl 0236.12001 .

[1]