В математике , то тета - функция Римана-Зигеля определена в терминах гамма - функции , как
для реальных значений t . Здесь аргумент выбран таким образом, что получается непрерывная функция иимеет место, то есть, таким же образом , что главная ветвь в лог-гамма - функции определяется.
Он имеет асимптотическое разложение
который не сходится, но первые несколько членов которого дают хорошее приближение для . Его ряд Тейлора в 0, сходящийся при является
где обозначает полигамма-функцию порядка. Тета-функция Римана – Зигеля представляет интерес для изучения дзета-функции Римана , поскольку она может вращать дзета-функцию Римана так, что она становится полностью вещественной Z-функцией на критической прямой. .
Кривая обсуждение
Тета-функция Римана – Зигеля является нечетной вещественной аналитической функцией для вещественных значений t . Он имеет три корня в 0 ии это возрастающая функция для значений | т | > 6,29, так как имеет ровно один минимум и один максимум на с абсолютным значением . Наконец, он имеет уникальную точку перегиба при t = 0 с где тета-функция имеет минимум вывода.
Тета как функция комплексной переменной
У нас есть выражение бесконечного ряда для логарифмической гамма- функции
где γ - постоянная Эйлера . Подстановкадля z и почленное взятие мнимой части дает следующий ряд для θ ( t )
Для значений с мнимой частью от -1 до 1 функция арктангенса голоморфна , и легко видеть, что ряд сходится равномерно на компактах в области с мнимой частью между -1/2 и 1/2, что приводит к голоморфному функции в этом домене. Отсюда следует, что функция Z также голоморфна в этой области, являющейся критической полосой.
Мы можем использовать личности
чтобы получить выражение в закрытой форме
что расширяет наше первоначальное определение до голоморфной функции от t . Поскольку главная ветвь log Γ имеет единственную ветвь, разрезанную вдоль отрицательной действительной оси, θ ( t ) в этом определении наследует разрезы ветвей вдоль мнимой оси выше i / 2 и ниже - i / 2.
Грамм
Дзета-функцию Римана на критической прямой можно записать
Если - действительное число , то функция Z возвращает реальные значения.
Следовательно, дзета-функция на критической линии будет действительной, когда. Положительные реальные значенияместа, где это происходит, называются точками Грама после JP Gram и, конечно, также могут быть описаны как точки, где целое число.
Точка Грама - это решение из
Эти решения аппроксимируются последовательностью:
где - W-функция Ламберта .
Вот самые маленькие неотрицательные точки Грама
−3 | 0 | 0 |
−2 | 3,4362182261 ... | - π |
−1 | 9.6669080561 ... | - π |
0 | 17.8455995405 ... | 0 |
1 | 23.1702827012 ... | π |
2 | 27.6701822178 ... | 2 π |
3 | 31.7179799547 ... | 3 π |
4 | 35.4671842971 ... | 4 π |
5 | 38.9992099640 ... | 5 π |
6 | 42.3635503920 ... | 6 π |
7 | 45,5930289815 ... | 7 π |
8 | 48.7107766217 ... | 8 π |
9 | 51.7338428133 ... | 9 π |
10 | 54.6752374468 ... | 10 π |
11 | 57.5451651795 ... | 11 π |
12 | 60.3518119691 ... | 12 π |
13 | 63.1018679824 ... | 13 π |
14 | 65.8008876380 ... | 14 π |
15 | 68.4535449175 ... | 15 π |
Выбор индекса n несколько грубый. Исторически он выбирается таким образом, что индекс равен 0 при первом значении, которое больше наименьшего положительного нуля (в мнимой части 14,13472515 ...) дзета-функции Римана на критической линии. Обратите внимание, это-функция осциллирует для абсолютно малых вещественных аргументов и, следовательно, не является однозначно обратимой в интервале [-24,24]! Таким образом, нечетная тета-функция имеет свою симметричную точку Грама со значением 0 при индексе −3. Точки грамма полезны при вычислении нулей. В точке Грама
и если это положительно в двух последовательных точках Грама, в интервале должен быть ноль.
Согласно закону Грама , то действительная часть является обычно положительна в то время как мнимая часть чередуется с точками Грама, между положительными и отрицательными значениями в несколько регулярных интервалах.
Количество корней, , в полосе от 0 до T , можно найти по формуле
где это член ошибки, который растет асимптотически как .
Только если будет подчиняться закону Грама , тогда нахождение числа корней в полосе просто становится
Сегодня мы знаем, что в конечном итоге закон Грама не может содержать ровно 1 ноль дзета-функции Римана примерно для 1/4 всех интервалов Грама. Грам опасался, что он может потерпеть неудачу для более крупных индексов (первый промах находится в индексе 126 перед 127-м нулем) и поэтому утверждал это только для не слишком высоких индексов. Позже Хатчинсон придумал фразу «закон Грама» для (ложного) утверждения о том, что все нули на критической линии должны быть разделены точками Грама.
Смотрите также
Рекомендации
- Эдвардс, HM (1974), дзета-функция Римана , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-41740-0, MR 0466039
- Габке, В. (1979), Neue Herleitung und Expizierte Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel . Диссертация, Геттингенский университет . Пересмотренная версия (eDiss Göttingen 2015)
- Gram, JP (1903), "Примечание сюр - ле - де - ла - Нули fonction ζ (с) де Римана" (PDF) , Acta Mathematica , 27 (1): 289-304, DOI : 10.1007 / BF02421310
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Функции Римана-Зигеля" . MathWorld .
- Wolfram Research - Тета-функция Римана-Зигеля (включает построение и оценку функций)