Фонарь Schwarz

В математике фонарь Шварца (также известный как сапог Шварца в честь математика Германа Шварца ) является патологическим примером трудности определения площади гладкой (изогнутой) поверхности как границы площадей многогранников . Рассматриваемая криволинейная поверхность является частью правильного кругового цилиндра . Рассматриваемое дискретное полиэдральное приближение имеет осевые «срезы». вершины размещаются радиально вдоль каждого среза на расстоянии по окружности друг от друга. Важно отметить, что вершины расположены так, чтобы они сдвигались по фазе с каждым срезом.${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle 2m}$${\ displaystyle \ pi / m}$${\ displaystyle \ pi / 2m}$

Фонарь Шварца с осевыми срезами и радиальными вершинами.${\ displaystyle 2n = 6}$${\ displaystyle 2m = 10}$

Герман Шварц показал в 1880 году , что не достаточно просто увеличить , а если мы хотим для площади поверхности многогранника сходиться к площади поверхности криволинейной поверхности. ^[1] В зависимости от отношения и площадь фонаря может сходиться к площади цилиндра, до предела, произвольно большего, чем площадь цилиндра, до бесконечности или, другими словами, расходиться. Таким образом, фонарь Шварца демонстрирует, что простого соединения вписанных вершин недостаточно для обеспечения сходимости площадей поверхностей.${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$

Анимация схождения фонаря Шварца (или его отсутствия) для различных стратегий доработки.

Многогранная поверхность напоминает цилиндрический бумажный фонарь .

Сумма углов в каждой вершине равна двум плоским углам ( радианам). Как следствие, фонарь Schwarz можно сложить из плоского листа бумаги.${\ displaystyle 2 \ pi}$

Отношение к длине дуги и площади поверхности [ править ]

В работах Архимеда уже выясняется, что длину круга можно аппроксимировать длиной правильных многогранников, вписанных или описанных в круг. В общем, для гладких или спрямляемых кривых их длина может быть определена как верхняя грань длин вписанных в них многоугольных кривых. Фонарь Шварца показывает, что площадь поверхности не может быть определена как верхняя грань вписанных многогранных поверхностей.

История [ править ]

Шварц разработал свою конструкцию в качестве контрпримера к ошибочному определению в книге Дж. А. Серре Cours de calc Differential et интеграл , второй том, стр. 296 первого издания или стр. 298 второго издания, в которых говорится:

Soit une part de surface courbe terminee par un contour ; nous nommerons aire de cette surface la limite vers laquelletend l'aire d'une surface polyedrale inscrite formee de faces triangulaires et terminee par un contour polygonal ayant pour limit le contour .${\ displaystyle C}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle C}$

Il faut demontrer que la limit existe et qu'elle est independante de la loi suivant laquelle decroissent les faces de la surface polyedrale inscrite '.${\ displaystyle S}$

По-английски

Пусть часть криволинейной поверхности оканчивается контуром ; мы будем называть площадь этой поверхности пределом, до которого площадь вписанной поверхности многогранника образует треугольные грани и заканчивается многоугольным контуром , предел которого является контуром .${\ displaystyle C}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle C}$

Необходимо показать, что предел существует и не зависит от закона, по которому уменьшаются грани вписанной многогранной поверхности.${\ displaystyle S}$

Независимо от Шварца, Джузеппе Пеано нашел тот же контрпример, будучи учеником своего учителя Анджело Дженокки , который уже знал о трудности определения площади поверхности из своего общения со Шварцем. Дженокки проинформировал Чарльза Эрмита , который использовал ошибочное определение Серре в своем курсе. После запроса подробностей у Шварца, Эрмит пересмотрел свой курс и опубликовал пример во втором издании своих конспектов лекций (1883 г.). Оригинальная заметка Шварца не была опубликована до второго издания его собрания сочинений в 1890 году.

Пределы области [ править ]

Прямой круговой цилиндр радиуса и высоты можно параметризовать в декартовых координатах с помощью уравнений${\ displaystyle r}$${\ displaystyle h}$

${\displaystyle x=r\cos(u)}$

${\displaystyle y=r\sin(u)}$

${\displaystyle z=v}$

для и . Фонарь Шварца представляет собой многогранник с вписанными в цилиндр треугольными гранями.${\displaystyle 0\leq u\leq 2\pi }$${\displaystyle 0\leq v\leq h}$${\displaystyle 4mn}$

Вершины многогранника в параметризации соответствуют точкам

${\displaystyle u={\frac {2\mu \pi }{m}}}$

${\displaystyle v={\frac {\nu h}{n}}}$

и точки

${\displaystyle u={\frac {(2\mu +1)\pi }{m}}}$

${\displaystyle v={\frac {(2\nu +1)h}{2n}}}$

с и . Все грани представляют собой равнобедренные треугольники, конгруэнтные друг другу. Основание и высота каждого из этих треугольников имеют длину${\displaystyle \mu =0,1,2,\ldots ,m-1}$${\displaystyle \nu =0,1,2,\ldots ,n-1}$

${\displaystyle 2r\sin \left({\frac {\pi }{m}}\right){\text{ and }}{\sqrt {r^{2}\left[1-\cos \left({\frac {\pi }{m}}\right)\right]^{2}+\left({\frac {h}{2n}}\right)^{2}}}}$

соответственно. Это дает общую площадь поверхности для фонаря Schwarz.

${\displaystyle S(m,n)=4mnr\sin \left({\frac {\pi }{m}}\right){\sqrt {4r^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\pi }{2m}}\right)+\left({\frac {h}{2n}}\right)^{2}}}}$.

Упрощение синусов, когда ${\displaystyle m\to \infty }$

${\displaystyle S(m,n)\simeq 4\pi nr{\sqrt {\left({\frac {\pi ^{2}r}{2m^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{2n}}\right)^{2}}}=2\pi r{\sqrt {\left(\pi ^{2}r{\frac {n}{m^{2}}}\right)^{2}+h^{2}}}}$.

Из этой формулы следует, что:

1. Если на какую-то константу , то когда . Этот предел представляет собой площадь поверхности цилиндра, в который вписан фонарь Шварца.${\displaystyle n=am}$${\displaystyle a}$${\displaystyle S(m,am)\to 2\pi rh}$${\displaystyle m\to \infty }$
2. Если на какую-то константу , то когда . Этот предел зависит от величины и может быть сделан равным любому числу, не меньшему площади цилиндра .${\displaystyle n=am^{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle S(m,am^{2})\to 2\pi r{\sqrt {\pi ^{4}r^{2}a^{2}+h^{2}}}}$${\displaystyle m\to \infty }$${\displaystyle a}$${\displaystyle 2r\pi h}$
3. Если , то как .${\displaystyle n=am^{3}}$${\displaystyle S(m,am^{3})\to \infty }$${\displaystyle m\to \infty }$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Шварц, HA (1890). Gesammelte Mathematische Abhandlungen von HA Schwarz . Verlag von Julius Springer. С. 309–311.CS1 maint: ref=harv (link)
• Дубровский, Владимир (1991). «В поисках определения площади поверхности». https://static.nsta.org/pdfs/QuantumV1N4.pdf . Quantum, vol. 1, no 4., pp. 6-9 и 64. Внешняя ссылка в |website=( помощь )CS1 maint: ref=harv (link)

Внешние ссылки [ править ]

• https://www.cut-the-knot.org/Outline/Calculus/SchwarzLantern.shtml
• Статья в собрании сочинений Шварца
• Статья В. Дубровского.
• Статья Фриды Замес.