В математике , разделение переменных (также известный как метод Фурье ) является любой из нескольких методов для решения обыкновенных и дифференциальных уравнений , в которых алгебра позволяет переписать уравнение так , что каждый из двух переменных происходит на другой стороне уравнения .
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
Предположим, что дифференциальное уравнение можно записать в виде
который мы можем написать проще, позволив :
Пока h ( y ) ≠ 0, мы можем переставить члены, чтобы получить:
так что две переменные x и y были разделены. На простом уровне dx (и dy ) можно рассматривать как просто удобную нотацию, которая предоставляет удобную мнемоническую помощь для помощи при манипуляциях. Формальное определение dx как дифференциала (бесконечно малого) несколько продвинуто.
Альтернативная нотация
Те, кому не нравятся обозначения Лейбница, могут предпочесть написать это как
но это не так очевидно, почему это называется «разделением переменных». Интегрируя обе части уравнения по, у нас есть
( A1 )
или эквивалентно,
из-за правила подстановки интегралов .
Если можно вычислить два интеграла, можно найти решение дифференциального уравнения. Обратите внимание, что этот процесс эффективно позволяет нам обрабатывать производную как дробь, которую можно разделить. Это позволяет нам более удобно решать разделимые дифференциальные уравнения, как показано в приведенном ниже примере.
(Обратите внимание, что нам не нужно использовать две постоянные интегрирования в уравнении ( A1 ), как в
потому что единственная константа эквивалентно.)
Пример
Рост населения часто моделируется дифференциальным уравнением
где это население по отношению ко времени , - скорость роста, а является пропускной способностью окружающей среды.
Для решения этого дифференциального уравнения можно использовать разделение переменных.
Чтобы вычислить интеграл в левой части, упростим дробь
а затем разложим дробь на частичные дроби
Таким образом, мы имеем
Позволять .
Следовательно, решение логистического уравнения:
Найти , позволять а также . Тогда у нас есть
Отмечая, что , и решая относительно A, получаем
Обобщение разделимых ОДУ до n-го порядка.
Подобно тому, как можно говорить об отделимом ОДУ первого порядка, можно говорить об отделимых ОДУ второго, третьего или n- го порядка. Рассмотрим отделимое ОДУ первого порядка:
В качестве альтернативы производную можно записать следующим образом, чтобы подчеркнуть, что это оператор, работающий с неизвестной функцией y :
Таким образом, когда кто-то разделяет переменные для уравнений первого порядка, он фактически перемещает знаменатель dx оператора в сторону с переменной x , а d ( y ) остается на стороне с переменной y . Оператор второй производной по аналогии распадается следующим образом:
Аналогичным образом распадаются операторы третьей, четвертой и n- й производной. Таким образом, подобно разделимому ОДУ первого порядка можно привести к виду
сепарабельное ОДУ второго порядка приводится к виду
и отделимое ОДУ n-го порядка сводится к
Пример
Рассмотрим простое нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:
Уравнения с частными производными
Метод разделения переменных также используется для решения широкого спектра линейных дифференциальных уравнений с граничными и начальными условиями, такими как уравнения теплопроводности , волновое уравнение , уравнения Лапласа , уравнения Гельмгольца и бигармоническим уравнение .
Аналитический метод разделения переменных для решения уравнений в частных производных также был обобщен в вычислительный метод разложения в инвариантных структурах, которые можно использовать для решения систем уравнений в частных производных. [1]
Пример: однородный корпус
Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности . Уравнение
( 1 )
Переменная u обозначает температуру. Граничное условие однородное, т. Е.
( 2 )
Попытаемся найти решение, которое не является тождественно нулевым, удовлетворяющим граничным условиям, но со следующим свойством: u - произведение, в котором зависимость u от x , t разделена, то есть:
( 3 )
Подставляя u обратно в уравнение ( 1 ) и используя правило произведения ,
( 4 )
Поскольку правая часть зависит только от x, а левая только от t , обе части равны некоторому постоянному значению - λ . Таким образом:
( 5 )
а также
( 6 )
- λ здесь - собственное значение для обоих дифференциальных операторов, а T ( t ) и X ( x ) - соответствующие собственные функции .
Теперь мы покажем, что решения для X ( x ) при значениях λ ≤ 0 не могут возникнуть:
Предположим, что λ <0. Тогда существуют действительные числа B , C такие, что
Из ( 2 ) получаем
( 7 )
и, следовательно, B = 0 = C, откуда u тождественно 0.
Предположим, что λ = 0. Тогда существуют действительные числа B , C такие, что
Из ( 7 ) так же, как и в 1, заключаем, что u тождественно 0.
Следовательно, должно быть так, что λ > 0. Тогда существуют действительные числа A , B , C такие, что
а также
Из ( 7 ) получаем C = 0 и что для некоторого натурального числа п ,
Это решает уравнение теплопроводности в частном случае, когда зависимость u имеет специальный вид ( 3 ).
В общем случае сумма решений уравнения ( 1 ), удовлетворяющих граничным условиям ( 2 ), также удовлетворяет ( 1 ) и ( 3 ). Следовательно, полное решение может быть представлено как
где D n - коэффициенты, определяемые начальным условием.
Учитывая начальное условие
мы можем получить
Это разложение функции f ( x ) в ряд по синусам . Умножая обе стороны наи интегрирование по [0, L ] приводит к
Этот метод требует, чтобы собственные функции X , здесь, ортогональны и полны . В общем, это гарантируется теорией Штурма-Лиувилля .
Пример: неоднородный случай
Предположим, что уравнение неоднородно,
( 8 )
с граничным условием, аналогичным ( 2 ).
Разложить h ( x, t ), u ( x , t ) и f ( x ) в
( 9 )
( 10 )
( 11 )
где h n ( t ) и b n могут быть вычислены интегрированием, а u n ( t ) подлежит определению.
Подставляем ( 9 ) и ( 10 ) обратно в ( 8 ) и учитывая ортогональность синусоидальных функций, получаем
которые представляют собой последовательность линейных дифференциальных уравнений, которые можно легко решить, например, с помощью преобразования Лапласа или коэффициента интегрирования . Наконец, мы можем получить
Если граничное условие неоднородно, то разложение ( 9 ) и ( 10 ) больше не выполняется. Нужно найти функцию v , удовлетворяющую только граничному условию, и вычесть ее из u . Тогда функция uv удовлетворяет однородному граничному условию и может быть решена указанным выше методом.
Пример: смешанные производные
Для некоторых уравнений, включающих смешанные производные, уравнение разделяется не так легко, как уравнение теплопроводности в первом примере выше, но, тем не менее, разделение переменных все же может применяться. Рассмотрим двумерное бигармоническое уравнение
Действуя обычным образом, ищем решения вида
и получаем уравнение
Записав это уравнение в виде
мы видим, что производная по x и y исключает первое и последнее слагаемые, так что
т.е. либо F ( x ), либо G ( y ) должны быть константой, скажем −λ. Это также означает, что либо или же постоянны. Возвращаясь к уравнению для X и Y , у нас есть два случая
а также
каждый из которых может быть решен путем рассмотрения отдельных случаев для и отмечая, что .
Криволинейные координаты
В ортогональных криволинейных координатах можно по-прежнему использовать разделение переменных, но в некоторых деталях, отличных от таковых в декартовых координатах. Например, регулярность или периодическое условие могут определять собственные значения вместо граничных условий. См., Например, сферические гармоники .
Применимость
Уравнения с частными производными
Для многих УЧП, таких как волновое уравнение, уравнение Гельмгольца и уравнение Шредингера, применимость разделения переменных является результатом спектральной теоремы . В некоторых случаях разделение переменных может оказаться невозможным. Разделение переменных может быть возможным в некоторых системах координат, но не в других [2], и то, какие системы координат допускают разделение, зависит от свойств симметрии уравнения. [3] Ниже приводится схема аргументации, демонстрирующая применимость метода к определенным линейным уравнениям, хотя точный метод может отличаться в отдельных случаях (например, в бигармоническом уравнении выше).
Рассмотрим начально-краевую задачу для функции на в двух переменных:
где является дифференциальным оператором относительно а также является дифференциальным оператором относительно с граничными данными:
- для
- для
где - известная функция.
Ищем решения вида . Разделение PDE на дает
Правая часть зависит только от а левая сторона только на поэтому оба должны быть равны константе , что дает два обыкновенных дифференциальных уравнения
которые мы можем распознать как задачи на собственные значения операторов для а также . Если компактный самосопряженный оператор в пространстве наряду с соответствующими граничными условиями, то по спектральной теореме существует основа для состоящий из собственных функций для . Пусть спектр быть и разреши - собственная функция с собственным значением . Затем для любой функции, которая каждый раз интегрируем с квадратом относительно , мы можем записать эту функцию как линейную комбинацию . В частности, мы знаем решение можно записать как
Для некоторых функций . При разделении переменных эти функции задаются решениями
Следовательно, спектральная теорема гарантирует, что разделение переменных (когда это возможно) найдет все решения.
Для многих дифференциальных операторов, таких как , можно показать, что они самосопряженные, интегрированием по частям. Хотя эти операторы не могут быть компактными, их обратные (если они существуют) могут быть, как в случае волнового уравнения, и эти обратные операторы могут иметь те же собственные функции и собственные значения, что и исходный оператор (за возможным исключением нуля). [4]
Матрицы
Матричной формой разделения переменных является сумма Кронекера .
В качестве примера рассмотрим двумерный дискретный лапласиан на регулярной сетке :
где а также - одномерные дискретные лапласианы в x- и y- направлениях соответственно, иидентичны соответствующих размеров. См. Основную статью о сумме Кронекера дискретных лапласианов .
Программное обеспечение
Некоторые математические программы могут выполнять разделение переменных: Xcas [5] среди других.
Смотрите также
- Неразделимое дифференциальное уравнение
Заметки
- ^ [1]
- ^ Джон Ренце, Эрик В. Вайстейн , Разделение переменных
- ^ Уиллард Миллер (1984) Симметрия и разделение переменных , Cambridge University Press
- ↑ Дэвид Бенсон (2007) Музыка: математическое предложение , Cambridge University Press, Приложение W
- ^ "Символическая алгебра и математика с Xcas" (PDF) .
Рекомендации
- Полянин, Андрей Д. (2001-11-28). Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых . Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC . ISBN 1-58488-299-9.
- Мьинт-У, Тын; Дебнат, Локенат (2007). Линейные дифференциальные уравнения с частными производными для ученых и инженеров . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston . DOI : 10.1007 / 978-0-8176-4560-1 . ISBN 978-0-8176-4393-5.
- Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Аспирантура по математике . 140 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
Внешние ссылки
- "Метод Фурье" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Джон Renze, Eric W. Weisstein , Разделение переменных ( дифференциальные уравнения ) на MathWorld .
- Методы обобщенного и функционального разделения переменных в EqWorld: мир математических уравнений
- Примеры разделения переменных для решения PDE
- «Краткое обоснование разделения переменных»