Сдвиг логистической дистрибуции

Сдвинутая логистика

Функция плотности вероятности ${\ Displaystyle \ му = 0, \ sigma = 1,}$значения, как показано в легенде${\ Displaystyle \ xi}$
Кумулятивная функция распределения ${\ Displaystyle \ му = 0, \ sigma = 1,}$значения, как показано в легенде${\ Displaystyle \ xi}$
Параметры	${\displaystyle \mu \in (-\infty ,+\infty )\,}$ местоположение ( реальный ) масштаб (реальный) ${\displaystyle \sigma \in (0,+\infty )\,}$ ${\displaystyle \xi \in (-\infty ,+\infty )\,}$ форма (реальная)
Поддерживать	${\displaystyle x\geqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi >0)}$ ${\displaystyle x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)}$ ${\displaystyle x\in (-\infty ,+\infty )\,\;(\xi =0)}$
PDF	${\displaystyle {\frac {(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}}{\sigma \left(1+(1+\xi z)^{-1/\xi }\right)^{2}}}}$ куда ${\displaystyle z=(x-\mu )/\sigma \,}$
CDF	${\displaystyle \left(1+(1+\xi z)^{-1/\xi }\right)^{-1}\,}$ куда ${\displaystyle z=(x-\mu )/\sigma \,}$
Иметь в виду	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{\xi }}(\alpha \csc(\alpha )-1)}$ куда ${\displaystyle \alpha =\pi \xi \,}$
Медиана	${\displaystyle \mu \,}$
Режим	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{\xi }}\left[\left({\frac {1-\xi }{1+\xi }}\right)^{\xi }-1\right]}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{\xi ^{2}}}[2\alpha \csc(2\alpha )-(\alpha \csc(\alpha ))^{2}]}$ куда ${\displaystyle \alpha =\pi \xi \,}$

Сдвинуты лог-логистическое распределение является распределением вероятностей также известен как обобщенный лог-логистики или лог-логистического трехпараметрического распределения. ^{[1] [2]} Его также называют обобщенным логистическим распределением ^[3], но это противоречит другим значениям этого термина: см. Обобщенное логистическое распределение .

Определение [ править ]

Сдвинутое логистическое распределение может быть получено из лог-логистического распределения путем добавления параметра сдвига . Таким образом, если имеет логистическое распределение, то имеет смещенное логистическое распределение. Таким образом, имеется смещенное логистическое распределение, если оно имеет логистическое распределение. Параметр сдвига добавляет параметр местоположения к параметрам масштаба и формы (несмещенной) лог-логистики.${\displaystyle \delta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X+\delta }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \log(Y-\delta )}$

Свойства этого распределения легко вывести из свойств логистического распределения. Однако альтернативная параметризация, аналогичная той, которая используется для обобщенного распределения Парето и обобщенного распределения экстремальных значений , дает более интерпретируемые параметры, а также способствует их оценке.

В этой параметризации кумулятивная функция распределения (CDF) смещенного логистического распределения имеет вид

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\frac {1}{1+\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }}}}$

для , где - параметр местоположения, параметр масштаба и параметр формы. Обратите внимание, что некоторые ссылки используются для параметризации формы. ^{[3] [4]}${\displaystyle 1+\xi (x-\mu )/\sigma \geqslant 0}$${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \sigma >0\,}$${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \kappa =-\xi \,\!}$

Функция плотности вероятности (PDF) равна

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\frac {\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-(1/\xi +1)}}{\sigma \left[1+\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }\right]^{2}}},}$

опять же, для ${\displaystyle 1+\xi (x-\mu )/\sigma \geqslant 0.}$

Параметр формы часто ограничивается значением [-1,1], когда функция плотности вероятности ограничена. Когда он имеет асимптоту при . Если поменять местами знак pdf и cdf about .${\displaystyle \xi }$${\displaystyle |\xi |>1}$${\displaystyle x=\mu -\sigma /\xi }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle x=\mu .}$

Связанные дистрибутивы [ править ]

• Когда смещенная лог-логистика сводится к лог-логистическому распределению.${\displaystyle \mu =\sigma /\xi ,}$
• Когда → 0, смещенная лог-логистика сводится к логистическому распределению .${\displaystyle \xi }$
• Сдвинутая лог-логистика с параметром формы такая же, как обобщенное распределение Парето с параметром формы.${\displaystyle \xi =1}$${\displaystyle \xi =1.}$

Приложения [ править ]

Логистическое распределение с тремя параметрами используется в гидрологии для моделирования повторяемости паводков. ^{[3] [4] [5]}

Альтернативная параметризация [ править ]

Альтернативная параметризация с более простыми выражениями для PDF и CDF выглядит следующим образом. Для параметра формы, параметра масштаба и параметра местоположения PDF определяется как ^{[6] [7]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha }{\beta }}{\bigg (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\bigg )}^{\alpha -1}{\bigg (}1+{\bigg (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\bigg )}^{\alpha }{\bigg )}^{-2}}$

CDF определяется как

${\displaystyle F(x)={\bigg (}1+{\bigg (}{\frac {\beta }{x-\gamma }}{\bigg )}^{\alpha }{\bigg )}^{-1}}$

Среднее и дисперсия , где . ^[7]${\displaystyle \beta \theta \csc(\theta )+\gamma }$${\displaystyle \beta ^{2}\theta [2\csc(2\theta )-\theta \csc ^{2}(\theta )]}$${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{\alpha }}}$

Ссылки [ править ]