Шиловский рубеж

В функциональном анализе , раздел математики, то граница Шилова является наименьшим замкнутым подмножеством структуры пространства в виде коммутативной банаховой алгебры , где аналог принципа максимума модуля имеет место. Он назван в честь его первооткрывателя Георгия Евгеньевича Шилова .

Точное определение и существование [ править ]

Пусть быть коммутативным банаховым алгебра , и пусть будет его структура пространства оснащен относительной слабой * -топологией из двух . Замкнутая (в этой топологии) подмножество из называется границей из , если для всех . Множество называется границей Шилова . Шиловым ^[1] доказано, что это граница .${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle \ Delta {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} ^ {*}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ Delta {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle \ max _ {е \ in \ Delta {\ mathcal {A}}} | x (f) | = \ max _ {f \ in F} | x (f) |}$${\ displaystyle x \ in {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle S = \ bigcap \ {F: F {\ text {является границей}} {\ mathcal {A}} \}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Таким образом, можно также сказать, что граница Шилова - это единственное множество, удовлетворяющее${\ Displaystyle S \ подмножество \ Delta {\ mathcal {A}}}$

1. ${\ displaystyle S}$является границей , а${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$
2. всякий раз, когда является границей , тогда .${\ displaystyle F}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle S \ подмножество F}$

Примеры [ править ]

• Пусть - открытый единичный круг в комплексной плоскости и пусть${\ Displaystyle \ mathbb {D} = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | <1 \}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = H ^ {\ infty} (\ mathbb {D}) \ cap {\ mathcal {C}} ({\ bar {\ mathbb {D}}})}$быть алгебра диска , то есть функции , голоморфных в и непрерывных в замыкании на с супремумом нормы и обычных алгебраических операций. Потом и .${\ Displaystyle \ mathbb {D}}$${\ Displaystyle \ mathbb {D}}$${\ Displaystyle \ Delta {\ mathcal {A}} = {\ bar {\ mathbb {D}}}}$${\ Displaystyle S = \ {| z | = 1 \}}$

Ссылки [ править ]

• "Граница Бергмана-Шилова" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Заметки [ править ]

См. Также [ править ]

• Граница Джеймса
• Граница Фюрстенберга