В математике , на открытом единичном круге (или диск ) вокруг P (где P представляет данную точку в плоскости ), является множество точек, расстояние от P меньше , чем 1:
Замкнутый единичный круг вокруг P представляет собой множество точек, расстояние от Р меньше или равна одной:
Установочные диски - это частные случаи дисков и единичных шаров ; как таковые, они содержат внутреннюю часть единичной окружности и, в случае замкнутого единичного круга, саму единичную окружность.
Без дополнительных уточнений, термин единичный диск используется для открытого единичного диска о происхождении ,относительно стандартной евклидовой метрики . Это внутренняя часть круга радиуса 1 с центром в начале координат. Этот набор можно идентифицировать с набором всех комплексных чисел с абсолютным значением меньше единицы. Если рассматривать как подмножество комплексной плоскости ( C ), единичный диск часто обозначают.
Открытый единичный диск, плоскость и верхняя полуплоскость
Функция
является примером вещественной аналитической и биективной функции от открытого единичного круга до плоскости; его обратная функция также является аналитической. Рассматриваемый как реальное двумерное аналитическое многообразие , открытый единичный круг изоморфен всей плоскости. В частности, открытый единичный круг гомеоморфен всей плоскости.
Однако не существует конформного биективного отображения между открытым единичным диском и плоскостью. Поэтому открытый единичный круг, рассматриваемый как риманова поверхность , отличается от комплексной плоскости .
Между открытым единичным кругом и открытой верхней полуплоскостью существуют конформные биективные отображения . Таким образом, рассматриваемый как риманова поверхность, открытый единичный круг изоморфен («биголоморфен» или «конформно эквивалентен») верхней полуплоскости, и эти два понятия часто используются как взаимозаменяемые.
В более общем плане теорема об отображении Римана утверждает, что каждое односвязное открытое подмножество комплексной плоскости, которое отличается от самой комплексной плоскости, допускает конформное и биективное отображение в открытый единичный круг.
Одно биективное конформное отображение открытого единичного круга в открытую верхнюю полуплоскость - это преобразование Мёбиуса
- что является обратным преобразованию Кэли .
Геометрически можно представить, что реальная ось изгибается и сжимается, так что верхняя полуплоскость становится внутренней частью диска, а реальная ось образует окружность диска, за исключением одной точки наверху, «бесконечно удаленной точки». Биективное конформное отображение открытого единичного диска в открытую верхнюю полуплоскость также может быть построено как композиция двух стереографических проекций : сначала единичный диск стереографически проецируется вверх на единичную верхнюю полусферу, принимая «южный полюс». "единичной сферы в качестве центра проекции, а затем эта полусфера проецируется сбоку на вертикальную полуплоскость, касающуюся сферы, принимая точку на полусфере, противоположную точке касания, в качестве центра проекции.
Единичный диск и верхняя полуплоскость не взаимозаменяемы как области для пространств Харди . Этому различию способствует тот факт, что единичный круг имеет конечную (одномерную) меру Лебега, а действительная прямая - нет.
Гиперболическая плоскость
Открытый единичный круг образует множество точек для модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости. Дуги окружности, перпендикулярные единичной окружности, образуют «линии» в этой модели. Единичный круг - это абсолют Кэли, который определяет метрику на диске с помощью перекрестного отношения в стиле метрики Кэли – Клейна . На языке дифференциальной геометрии дуги окружности, перпендикулярные единичной окружности, являются геодезическими , показывающими кратчайшее расстояние между точками модели. Модель включает движения, которые выражаются специальной унитарной группой SU (1,1) . Модель диска может быть преобразована в модель полуплоскости Пуанкаре с помощью отображения g, приведенного выше.
И диск Пуанкаре, и полуплоскость Пуанкаре являются конформными моделями гиперболической плоскости, то есть углы между пересекающимися кривыми сохраняются благодаря движениям их групп изометрий.
Другая модель гиперболического пространства также построена на открытом единичном диске: модель Бельтрами-Клейна . Он не конформен , но обладает тем свойством, что геодезические являются прямыми линиями.
Единичные диски по отношению к другим показателям
Также рассматриваются единичные диски по отношению к другим показателям . Например, с таксомотора метрики и метрики Чебышева диски выглядят как квадраты (даже несмотря на то, лежащие в основе топологии такие же , как евклидовой).
Площадь евклидова единичного диска равна π, а его периметр равен 2π. Напротив, периметр (относительно метрики такси) единичного диска в геометрии такси равен 8. В 1932 году Станислав Голомб доказал, что в метриках, вытекающих из нормы , периметр единичного диска может принимать любое значение от 6 и 8, и что эти экстремальные значения получаются тогда и только тогда, когда единичный круг представляет собой правильный шестиугольник или параллелограмм соответственно.
Смотрите также
- Граф юнит-диска
- Единичная сфера
- Гипотеза Бибербаха
Рекомендации
- С. Голаб, "Quelques problèmes métriques de la géometrie de Minkowski", Trav. de l'Acad. Шахты Кракови 6 (1932), 179.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Единичный диск» . MathWorld .
- По периметру и площади единичного диска , Дж. К. Альварес Павия и А. К. Томпсон