Связка модулей

В математике пучок O - модулей или просто O - модуль над кольцевым пространством ( X , O ) — это пучок F такой, что для любого открытого подмножества U в X F ( U ) является O ( U ) - модуля и отображения ограничений F ( U ) → F ( V ) согласованы с отображениями ограничений O ( U ) → O ( V ): ограничениеfs — это ограничение f , умноженное на s , для любых f в O ( U ) и s в F ( U ).

Стандартный случай, когда X — схема, а O — ее структурный пучок. Если O — постоянный пучок , то пучок O - модулей — это то же самое, что пучок абелевых групп (т . е. абелев пучок ). ${\ displaystyle {\ underline {\ mathbf {Z}}}}$

Если X — простой спектр кольца R , то любой R -модуль естественным образом определяет O _X - модуль (называемый ассоциированным пучком ). Аналогично, если R — градуированное кольцо, а X — Proj кольца R , то любой градуированный модуль естественным образом определяет O _{X -модуль.}O - модули, возникающие таким образом, являются примерами квазикогерентных пучков , и фактически на аффинных или проективных схемах все квазикогерентные пучки получаются таким образом.

Пучки модулей над окольцованным пространством образуют абелеву категорию . ^[1] Кроме того, в этой категории достаточно инъективных , ^[2] и, следовательно, когомологии пучка можно определить и определяют как i - й правый производный функтор функтора глобального сечения . ^[3] ${\ displaystyle \ operatorname {H} ^ {i} (X, -)}$ ${\ Displaystyle \ Гамма (Х, -)}$

является O -модулем, который представляет собой пучок, связанный с предварительным пучком (Чтобы увидеть, что связки нельзя избежать, вычислите глобальные сечения, где O (1) - скручивающий пучок Серра на проективном пространстве.) ${\ Displaystyle U \ mapsto F (U) \ otimes _ {O (U)} G (U).}$ ${\ Displaystyle О (1) \ otimes О (-1) = О}$

обозначает O -модуль, являющийся пучком . ^[4] В частности, O -модуль $U\mapsto \operatorname {Hom} _{O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})$