В геометрии , звезды многогранник является многогранником , который имеет некоторые повторяющиеся качества невыпуклости давая ему звездчатых визуальное качество.
Есть два основных типа звездчатого многогранника:
- Многогранники, которые самопересекаются повторяющимся образом.
- Вогнутые многогранники определенного типа, в которых чередуются выпуклые и вогнутые или седловидные вершины повторяющимся образом. Математически эти фигуры являются примерами звездных доменов .
Математические исследования звезд многогранников, как правило , связаны с регулярными , равномерными многогранниками, или двойниками равномерных многогранников. Все эти звезды относятся к самопересекающимся.
Самопересекающиеся звездные многогранники [ править ]
Правильные звездные многогранники [ править ]
Правильные звездные многогранники - это самопересекающиеся многогранники. Они могут иметь самопересекающиеся грани или самопересекающиеся вершины .
Есть четыре правильных звездных многогранника , известных как многогранники Кеплера – Пуансо . Символ Шлефли { p , q } означает грани с p сторонами и фигуры вершин с q сторонами. Два из них имеют пентаграммические {5/2} грани, а два - пентаграммы вершинных фигур.
Эти изображения показывают каждую форму с одним лицом, окрашенным в желтый цвет, чтобы показать видимую часть этого лица.
Есть также бесконечное число регулярных звезд dihedra и hosohedra {2, р / д } и { р / д , 2} для любого многоугольника звезды { р / д }. Будучи вырожденными в евклидовом пространстве, они могут быть сферически реализованы в невырожденной форме.
Равномерные и однородные двойные звездные многогранники [ править ]
Есть много однородных звездных многогранников, включая две бесконечные серии призм и антипризм и их двойников .
Равномерная и двойные равномерная звезда многогранники также самопересекающиеся многогранники. У них могут быть либо самопересекающиеся грани , либо самопересекающиеся вершинные фигуры, либо и то, и другое.
Однородные звездные многогранники имеют правильные грани или правильные грани звездообразного многоугольника . Двойные однородные звездные многогранники имеют правильные грани или правильные фигуры вершин звездного многоугольника .
| Равномерный многогранник | Двойной многогранник |
|---|---|
 Pentagrammic призма является призматическим звезда полиэдр . Он состоит из двух граней пентаграммы, соединенных пятью пересекающимися квадратными гранями. |  Pentagrammic dipyramid также звезда полиэдр , представляя двойственный к pentagrammic призмы. Он гранно-транзитивный , состоит из десяти пересекающихся равнобедренных треугольников . |
Большая dodecicosahedron звезда полиэдр, построенный из одной вершины фигуры пересекающихся гексагональной и decagrammic , {10/3}, сталкивается . | Большой dodecicosacron является двойственным к великому dodecicosahedron . Он гранно-транзитивный , состоит из 60 пересекающихся четырехугольников в форме галстука-бабочки . |
Звездчатые и фасеточные элементы [ править ]
Помимо приведенных выше форм, существует неограниченное количество классов самопересекающихся (звездных) многогранников.
Двумя важными классами являются звёздчатые формы выпуклых многогранников и двойственные к ним, фасетки двойственных многогранников.
Например, полная звездчатость икосаэдра (изображена) может быть интерпретирована как самопересекающийся многогранник, состоящий из 20 идентичных граней, каждая из которых представляет собой (9/4) скрученный многоугольник. Ниже приведена иллюстрация этого многогранника с одной гранью, нарисованной желтым цветом.
Звездные многогранники [ править ]
Аналогично самопересекающийся многогранник в любом количестве измерений называется звездным многогранником .
Правильный многогранник { p , q , r , ..., s , t } является звездным многогранником, если его грань { p , q , ... s } или фигура вершины { q , r , ..., s , t } - звездный многогранник.
В четырех измерениях 10 правильных звездных полихор называются полихорами Шлефли-Гесса . Подобно правильным звездным многогранникам, все эти 10 состоят из граней, которые являются либо одним из пяти правильных Платоновых тел, либо одним из четырех правильных звездных многогранников Кеплера – Пуансо .
Например, большой звездчатый элемент из 120 ячеек , ортогонально спроецированный в 3-мерное пространство, выглядит так:
Правильных звездных многогранников размерностью выше 4 не существует.
Звездные многогранники в звездной области [ править ]
Многогранник, который не пересекает себя, так что все внутреннее пространство можно увидеть из одной внутренней точки, является примером звездной области . Видимые внешние части многих самопересекающихся звездных многогранников образуют границы звездных доменов, но, несмотря на их похожий внешний вид, в виде абстрактных многогранников это разные структуры. Например, маленький звездчатый додекаэдр имеет 12 граней пентаграммы, но соответствующая звездная область имеет 60 граней равнобедренного треугольника и, соответственно, разное количество вершин и ребер.
Многогранные звездные домены появляются в различных типах архитектуры, обычно религиозной по своей природе. Например, они изображены на многих церквях в стиле барокко как символы Папы , построившего церковь, на венгерских церквях и других религиозных зданиях. Эти звезды также можно использовать в качестве украшений. Моравские звезды используются для обеих целей и могут быть построены в различных формах.
См. Также [ править ]
- Звездный многоугольник
- Звездчатость
- Полиэдрическое соединение
- Список равномерных многогранников
- Список равномерных многогранников треугольником Шварца
Заметки [ править ]
Этот раздел пуст. Вы можете помочь, добавив к нему . ( Май 2019 г. ) |
Ссылки [ править ]
- Кокстер, HSM , М.С. Лонге-Хиггинс и JCP Miller, Uniform Polyhedra, Phil. Пер. 246 А (1954), стр. 401–450.
- Кокстер, HSM, Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (VI. Звездные многогранники, XIV. Звездные многогранники) (стр. 263) [1]
- Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26, Правильные звездные многогранники, стр. 404-408)
- Tarnai, T., Krähling, J. и Kabai, S .; "Звездные многогранники: от базилики Сан-Марко в Венеции до венгерских протестантских церквей", Документ ID209, Proc. IASS 2007 г. «Оболочки и пространственные конструкции: структурная архитектура - в будущее, глядя в прошлое» , Университет IUAV, 2007 г. [2] или [3]
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Звездный многогранник» . MathWorld .
