Стохастический коэффициент дисконтирования

Концепция стохастического коэффициента дисконтирования (SDF) используется в финансовой экономике и математических финансах . Название происходит от того, что цена актива может быть вычислена путем «дисконтирования» будущего денежного потока с помощью стохастического фактора и последующего расчета математического ожидания. ^[1] Это определение имеет фундаментальное значение при ценообразовании на активы . ${\ Displaystyle {\ тильда {х}} _ {я}}$${\ displaystyle {\ tilde {m}}}$

Если имеется n активов с начальными ценами в начале периода и выплатами в конце периода (все x s являются случайными (стохастическими) переменными ), то SDF - это любая случайная величина, удовлетворяющая${\ displaystyle p_ {1}, \ ldots, p_ {n}}$${\ displaystyle {\ tilde {x}} _ {1}, \ ldots, {\ tilde {x}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ tilde {m}}}$

${\ displaystyle E ({\ tilde {m}} {\ tilde {x}} _ {i}) = p_ {i}, {\ text {for}} i = 1, \ ldots, n.}$

Стохастический коэффициент дисконтирования иногда называют ядром ценообразования, поскольку, если математическое ожидание записано в виде интеграла, его можно интерпретировать как функцию ядра в интегральном преобразовании . ^[2] Другие названия иногда используемые для SDF являются « предельная норма замещения » (соотношение полезности от состояний , когда утилита отделимо и добавку, хотя сбрасывать со счетов по степени риска нейтральным), «смена измерения», « дефлятор государственных цен » или « плотность государственных цен ». ^[2]${\ Displaystyle Е ({\ тильда {м}} \, {\ тильда {х}} _ {я})}$${\ displaystyle {\ tilde {m}}}$

Характеристики

Существование SDF эквивалентно закону одной цены ; ^[1] аналогично, существование строго положительной SDF эквивалентно отсутствию возможностей арбитража (см. Фундаментальную теорему ценообразования активов ). В этом случае, если положительный, используя для обозначения возврата, мы можем переписать определение как ${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle {\ tilde {R}} _ {i} = {\ tilde {x}} _ {i} / p_ {i}}$

${\ Displaystyle E ({\ тильда {м}} {\ тильда {R}} _ {я}) = 1, \ quad \ forall i,}$

а это подразумевает

${\displaystyle E\left[{\tilde {m}}({\tilde {R}}_{i}-{\tilde {R}}_{j})\right]=0,\quad \forall i,j.}$

Кроме того, если есть портфель, состоящий из активов, то SDF удовлетворяет

${\displaystyle E({\tilde {m}}{\tilde {x}})=p,\quad E({\tilde {m}}{\tilde {R}})=1.}$

Используя простое стандартное тождество ковариаций , имеем

${\displaystyle 1=\operatorname {cov} ({\tilde {m}},{\tilde {R}})+E({\tilde {m}})E({\tilde {R}}).}$

Допустим, есть безрисковый актив. Тогда подразумевается . Подстановка этого в последнее выражение и перестановка дает следующую формулу для премии за риск любого актива или портфеля с доходностью :${\displaystyle {\tilde {R}}=R_{f}}$${\displaystyle E({\tilde {m}})=1/R_{f}}$${\displaystyle {\tilde {R}}}$

${\displaystyle E({\tilde {R}})-R_{f}=-R_{f}\operatorname {cov} ({\tilde {m}},{\tilde {R}}).}$

Это показывает, что премии за риск определяются ковариациями с любыми SDF. ^[1]

Смотрите также

Связь Хансена и Джаганнатана

использованная литература