Статические силы и обмен виртуальными частицами

Статические силовые поля - это поля, такие как простые электрические , магнитные или гравитационные поля , которые существуют без возбуждений. Наиболее распространенный метод приближения , который физики используют для вычисления рассеяния можно интерпретировать как статические силы , возникающие в результате взаимодействия между двумя телами , опосредованных виртуальными частицами , частицами , которые существуют только в течение короткого время , определяемое принципом неопределенности . ^[1] Виртуальные частицы, также известные как носители силы , являются бозонами , с каждой силой связаны разные бозоны. ^[2]

Описание статических сил виртуальными частицами способно идентифицировать пространственную форму сил, такую ​​как поведение обратных квадратов в законе всемирного тяготения Ньютона и в законе Кулона . Он также может предсказать, являются ли силы притягивающими или отталкивающими для подобных тел.

Рецептура интеграла по пути является естественным языком для описания носителей силы. В этой статье используется формулировка интеграла по путям для описания носителей силы для полей со спином 0, 1 и 2. Пионы , фотоны и гравитоны попадают в эти категории.

Есть пределы достоверности изображения виртуальной частицы. Формулировка виртуальных частиц основана на методе, известном как теория возмущений, который представляет собой приближение, предполагающее, что взаимодействия не слишком сильные, и предназначался для задач рассеяния, а не для связанных состояний, таких как атомы. Для сильных сил, связывающих кварки в нуклоны при низких энергиях, теория возмущений никогда не показывала результаты, согласующиеся с экспериментами ^[3], таким образом, справедливость картины «частицы-посредника» сомнительна. Точно так же для связанных состояний метод не работает. ^[4]В этих случаях физическая интерпретация должна быть пересмотрена. Например, расчеты атомной структуры в атомной физике или молекулярной структуры в квантовой химии не могут быть легко повторены, если вообще могут быть повторены, используя картину «частицы-посредника». ^{[ необходима цитата ]}

В нерелятивистской квантовой механике нет необходимости в использовании изображения «частицы-посредника» (FMPP) , а закон Кулона используется в том виде, в каком он дан в атомной физике и квантовой химии, для расчета как связанных состояний, так и рассеивающих состояний. Непертурбативная релятивистская квантовая теория, В котором сохраняются Лоренц - инвариантность, достижимо посредством оценки закона Кулона как 4-пространства взаимодействия с использованием вектора положения 3-пространства опорного электрона , подчиняющимся уравнению Дирака и квантовой траекторию второго электрона , которая зависит только от масштабированного времени. Квантовая траектория каждого электрона в ансамбле выводится из тока Дирака для каждого электрона, устанавливая его равным полю скорости, умноженному на квантовую плотность, вычисляя поле положения из интеграла по времени от поля скорости и, наконец, вычисляя квантовую траекторию от ожидаемого значения поля позиции. Квантовые траектории, конечно, зависят от спина, и теорию можно проверить, проверив, что принцип исключения Паули соблюдается для набора фермионов..

Классические силы [ править ]

Сила, прилагаемая одной массой к другой, и сила, оказываемая одним зарядом на другую, поразительно похожи. Оба отваливаются как квадрат расстояния между телами. Оба они пропорциональны произведению свойств тел: массы в случае гравитации и заряда в случае электростатики.

У них также есть разительная разница. Две массы притягиваются друг к другу, а два одинаковых заряда отталкиваются.

В обоих случаях кажется, что тела действуют друг на друга на расстоянии. Концепция поля была изобретена, чтобы опосредовать взаимодействие между телами, тем самым устраняя необходимость в действиях на расстоянии . Гравитационная сила опосредуется гравитационным полем, а кулоновская сила опосредуется электромагнитным полем .

Гравитационная сила [ править ]

Сила тяжести на массы , оказываемое другой массой является${\ displaystyle m}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} = -G {mM \ over {r} ^ {2}} \, \ mathbf {\ hat {r}} = m \ mathbf {g} \ left (\ mathbf {r} \ верно),}$

где G - гравитационная постоянная , r - расстояние между массами, а - единичный вектор от массы к массе .${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle m}$

Силу также можно записать

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = м \ mathbf {g} \ left (\ mathbf {r} \ right),}$

где - гравитационное поле, описываемое уравнением поля${\ displaystyle \ mathbf {g} \ left (\ mathbf {r} \ right)}$

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho _ {m},}$

где - плотность массы в каждой точке пространства.${\ displaystyle \ rho _ {m}}$

Кулоновская сила [ править ]

Электростатическая кулоновская сила на заряд, создаваемая зарядом, составляет ( единицы СИ )${\ displaystyle q}$${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} = {1 \ over 4 \ pi \ varepsilon _ {0}} {qQ \ over r ^ {2}} \ mathbf {\ hat {r}},}$

где - диэлектрическая проницаемость вакуума , - расстояние между двумя зарядами и - единичный вектор в направлении от заряда к заряду .${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle q}$

Кулоновскую силу также можно записать через электростатическое поле :

${\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {E} \ left (\ mathbf {r} \ right),}$

куда

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho _ {q}} {\ varepsilon _ {0}}};}$

${\ displaystyle \ rho _ {q}}$является плотность заряда в каждой точке пространства.

Обмен виртуальными частицами [ править ]

В теории возмущений силы возникают при обмене виртуальными частицами . Механика обмена виртуальными частицами лучше всего описывается формулировкой квантовой механики интегралов по путям . Однако есть понимание, которое можно получить, не вдаваясь в механизм интегралов по траекториям, например, почему классические гравитационные и электростатические силы уменьшаются как обратный квадрат расстояния между телами.

Интегральная формулировка пути обмена виртуальными частицами [ править ]

Виртуальная частица создается возмущением вакуумного состояния , а виртуальная частица разрушается, когда она снова поглощается в вакуумное состояние другим возмущением. Предполагается, что возмущения вызваны телами, которые взаимодействуют с полем виртуальных частиц.

Амплитуда вероятности [ править ]

Используя естественные единицы , амплитуда вероятности для создания, распространения и разрушения виртуальной частицы дается, в пути интегральной формулировке путем${\displaystyle \hbar =c=1}$

${\displaystyle Z\equiv \langle 0|\exp \left(-i{\hat {H}}T\right)|0\rangle =\exp \left(-iET\right)=\int D\varphi \;\exp \left(i{\mathcal {S}}[\varphi ]\right)\;=\exp \left(iW\right)}$

где - оператор Гамильтона , - прошедшее время, - изменение энергии из-за возмущения, - изменение действия из-за возмущения, - поле виртуальной частицы, интеграл по всем траекториям, и задано классическое действие. к${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle E}$${\displaystyle W=-ET}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]=\int \mathrm {d} ^{4}x\;{{\mathcal {L}}[\varphi (x)]\,}}$

где - плотность лагранжиана .${\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi (x)]}$

Здесь метрика пространства-времени дается выражением

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.}$

Интеграл по путям часто можно преобразовать к виду

${\displaystyle Z=\int \exp \left[i\int d^{4}x\left({\frac {1}{2}}\varphi {\hat {O}}\varphi +J\varphi \right)\right]D\varphi }$

где дифференциальный оператор с и функцией пространства - времени . Первый член в аргументе представляет свободную частицу, а второй член представляет возмущение поля от внешнего источника, такого как заряд или масса.${\displaystyle {\hat {O}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle J}$

Интеграл можно записать (см. Общие интегралы в квантовой теории поля )

${\displaystyle Z\propto \exp \left(iW\left(J\right)\right)}$

куда

${\displaystyle W\left(J\right)=-{1 \over 2}\iint d^{4}x\;d^{4}y\;J\left(x\right)D\left(x-y\right)J\left(y\right)}$

- изменение действия из-за возмущений, а пропагатор - решение${\displaystyle D\left(x-y\right)}$

${\displaystyle {\hat {O}}D\left(x-y\right)=\delta ^{4}\left(x-y\right)}$.

Энергия взаимодействия [ править ]

Мы предполагаем, что есть два точечных возмущения, представляющие два тела, и что возмущения неподвижны и постоянны во времени. Нарушения можно записать

${\displaystyle J\left(x\right)=\left(J_{1}+J_{2},0,0,0\right)}$

${\displaystyle J_{1}=a_{1}\delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}_{1}\right)}$

${\displaystyle J_{2}=a_{2}\delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}_{2}\right)}$

где дельта-функции находятся в пространстве, возмущения расположены в точках и , а коэффициенты и представляют собой силы возмущений.${\displaystyle {\vec {x}}_{1}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{2}}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$

Если пренебречь самовзаимодействием возмущений, то W становится

${\displaystyle W\left(J\right)=-\iint d^{4}x\;d^{4}y\;J_{1}\left(x\right){1 \over 2}\left[D\left(x-y\right)+D\left(y-x\right)\right]J_{2}\left(y\right)}$,

что можно написать

${\displaystyle W\left(J\right)=-Ta_{1}a_{2}\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}\;\;D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;\exp \left(i{\vec {k}}\cdot \left({\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2}\right)\right)}$.

Вот преобразование Фурье${\displaystyle D\left(k\right)}$

${\displaystyle {1 \over 2}\left[D\left(x-y\right)+D\left(y-x\right)\right]}$.

Наконец, изменение энергии из-за статических возмущений вакуума равно

${\displaystyle E=-{W \over T}=a_{1}a_{2}\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}\;\;D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;\exp \left(i{\vec {k}}\cdot \left({\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2}\right)\right)}$.

Если эта величина отрицательна, сила притягивает. Если он положительный, сила отталкивающая.

Примерами статических, неподвижных, взаимодействующих токов являются потенциал Юкавы , кулоновский потенциал в вакууме и кулоновский потенциал в простой плазме или электронном газе .

Выражение для энергии взаимодействия можно обобщить на ситуацию, когда точечные частицы движутся, но движение медленное по сравнению со скоростью света. Примерами являются дарвиновское взаимодействие в вакууме и дарвиновское взаимодействие в плазме .

Наконец, выражение для энергии взаимодействия может быть обобщено на ситуации, в которых возмущения являются не точечными частицами, а, возможно, линейными зарядами, зарядовыми трубками или токовыми вихрями. Примерами являются два линейных заряда, встроенные в плазму или электронный газ , кулоновский потенциал между двумя токовыми петлями, заключенными в магнитное поле , и магнитное взаимодействие между токовыми петлями в простой плазме или электронном газе . Как видно из примера кулоновского взаимодействия между зарядовыми трубками, показанного ниже, эти более сложные геометрические формы могут привести к таким экзотическим явлениям, как дробные квантовые числа .

Избранные примеры [ править ]

Потенциал Юкавы: сила между двумя нуклонами в атомном ядре [ править ]

Рассмотрим плотность лагранжиана со спином -0 ^[5]

${\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi (x)]={1 \over 2}\left[\left(\partial \varphi \right)^{2}-m^{2}\varphi ^{2}\right]}$.

Уравнение движения для этого лагранжиана - это уравнение Клейна – Гордона

${\displaystyle \partial ^{2}\varphi +m^{2}\varphi =0}$.

Если мы добавим возмущение, амплитуда вероятности станет

${\displaystyle Z=\int D\varphi \;\exp \left\{i\int d^{4}x\;\left[{1 \over 2}\left(\left(\partial \varphi \right)^{2}-m^{2}\varphi ^{2}\right)+J\varphi \right]\right\}}$.

Если мы проинтегрируем по частям и пренебрегаем граничными членами на бесконечности, амплитуда вероятности станет

${\displaystyle Z=\int D\varphi \;\exp \left\{i\int d^{4}x\;\left[-{1 \over 2}\varphi \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi +J\varphi \right]\right\}}$.

При такой форме амплитуды видно, что пропагатор является решением

${\displaystyle -\left(\partial ^{2}+m^{2}\right)D\left(x-y\right)=\delta ^{4}\left(x-y\right)}$.

Из этого видно, что

${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;-{1 \over {\vec {k}}^{2}+m^{2}}}$.

Энергия из-за статических возмущений становится (см. Общие интегралы в квантовой теории поля )

${\displaystyle E=-{a_{1}a_{2} \over 4\pi r}\exp \left(-mr\right)}$

с

${\displaystyle r^{2}=\left({\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2}\right)^{2}}$

который привлекателен и имеет ряд

${\displaystyle {1 \over m}}$.

Юкава предположил, что это поле описывает силу между двумя нуклонами в атомном ядре. Это позволило ему предсказать как расстояние, так и массу частицы, теперь известной как пион , связанной с этим полем.

Электростатика [ править ]

Кулоновский потенциал в вакууме [ править ]

Рассмотрим лагранжиан Прока спина -1 с возмущением ^[6]

${\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi (x)]=-{1 \over 4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{1 \over 2}m^{2}A_{\mu }A^{\mu }+A_{\mu }J^{\mu }}$

куда

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$,

заряд сохраняется

${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0}$,

и выбираем калибровку Лоренца

${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0}$.

Более того, мы предполагаем, что возмущение имеет только временную составляющую . На обычном языке это означает, что в точках возмущения есть заряд, но нет электрических токов.${\displaystyle J^{0}}$

Если мы будем следовать той же процедуре, что и с потенциалом Юкавы, мы обнаружим, что

${\displaystyle -{1 \over 4}\int d^{4}xF_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{1 \over 4}\int d^{4}x\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)}$

${\displaystyle ={1 \over 2}\int d^{4}x\;A_{\nu }\left(\partial ^{2}A^{\nu }-\partial ^{\nu }\partial _{\mu }A^{\mu }\right)={1 \over 2}\int d^{4}x\;A^{\mu }\left(\eta _{\mu \nu }\partial ^{2}\right)A^{\nu },}$

что подразумевает

${\displaystyle \eta _{\mu \alpha }\left(\partial ^{2}+m^{2}\right)D^{\alpha \nu }\left(x-y\right)=\delta _{\mu }^{\nu }\delta ^{4}\left(x-y\right)}$

и

${\displaystyle D_{\mu \nu }\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;\eta _{\mu \nu }{1 \over -k^{2}+m^{2}}.}$

Это дает

${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{1 \over {\vec {k}}^{2}+m^{2}}}$

для времениподобного пропагатора и

${\displaystyle E=+{a_{1}a_{2} \over 4\pi r}\exp \left(-mr\right)}$

что имеет знак, противоположный случаю Юкавы.

В пределе нулевой массы фотона лагранжиан сводится к лагранжиану для электромагнетизма

${\displaystyle E={a_{1}a_{2} \over 4\pi r}.}$

Поэтому энергия сводится к потенциальной энергии для кулоновской силы и коэффициентов и пропорциональны электрического заряда. В отличие от случая с Юкавой, в этом электростатическом случае подобные тела отталкиваются друг от друга.${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$

Кулоновский потенциал в простой плазме или электронном газе [ править ]

Плазменные волны [ править ]

Закон дисперсии для плазменных волн имеет вид ^[7]

${\displaystyle \omega ^{2}=\omega _{p}^{2}+\gamma \left(\omega \right){T_{e} \over m}{\vec {k}}^{2}.}$

где - угловая частота волны,${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega _{p}^{2}={4\pi ne^{2} \over m}}$

- плазменная частота , - величина заряда электрона , - масса электрона , - температура электрона ( постоянная Больцмана, равная единице), - коэффициент, который изменяется с частотой от одного до трех. На высоких частотах, порядка плазменной, сжатие электронной жидкости является адиабатическим процессом и равно трем. На низких частотах сжатие является изотермическим процессом и равно единице. Эффекты запаздывания не учитывались при получении дисперсионного соотношения плазменных волн.${\displaystyle e}$${\displaystyle m}$${\displaystyle T_{e}}$${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$

Для низких частот дисперсионное соотношение принимает вид

${\displaystyle {\vec {k}}^{2}+{\vec {k}}_{D}^{2}=0}$

куда

${\displaystyle k_{D}^{2}={4\pi ne^{2} \over T_{e}}}$

- число Дебая, обратное длине Дебая . Это говорит о том, что пропагатор

${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{1 \over {\vec {k}}^{2}+k_{D}^{2}}}$.

Фактически, если не пренебрегать эффектами запаздывания, то дисперсионное соотношение имеет вид

${\displaystyle -k_{0}^{2}+{\vec {k}}^{2}+k_{D}^{2}-{m \over T_{e}}k_{0}^{2}=0,}$

что действительно дает предполагаемый пропагатор. Этот пропагатор аналогичен массивному кулоновскому пропагатору с массой, равной обратной длине Дебая. Таким образом, энергия взаимодействия равна

${\displaystyle E={a_{1}a_{2} \over 4\pi r}\exp \left(-k_{D}r\right).}$

Кулоновский потенциал экранирован на масштабах длины Дебая.

Плазмоны [ править ]

В квантовом электронном газе плазменные волны известны как плазмоны . Дебаевское экранирование заменяется экранированием Томаса – Ферми для получения ^[8]

${\displaystyle E={a_{1}a_{2} \over 4\pi r}\exp \left(-k_{s}r\right)}$

где величина, обратная длине экранирования Томаса – Ферми, равна

${\displaystyle k_{s}^{2}={6\pi ne^{2} \over \epsilon _{F}}}$

и - энергия Ферми${\displaystyle \epsilon _{F}}$

${\displaystyle \epsilon _{F}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({3\pi ^{2}n}\right)^{2/3}\,.}$

Это выражение может быть получено из химического потенциала электронного газа и из уравнения Пуассона . Химический потенциал электронного газа вблизи равновесия постоянен и определяется выражением

${\displaystyle \mu =-e\varphi +\epsilon _{F}}$

где - электрический потенциал . Линеаризация энергии Ферми до первого порядка по флуктуации плотности и объединение с уравнением Пуассона дает длину экранирования. Носителем силы является квантовая версия плазменной волны .${\displaystyle \varphi }$

Два линейных заряда, встроенные в плазму или электронный газ [ править ]

Рассмотрим линию заряда с осью в направлении z, погруженную в электронный газ

${\displaystyle J_{1}\left(x\right)={a_{1} \over L_{B}}{1 \over 2\pi r}\delta ^{2}\left(r\right)}$

где - расстояние в плоскости xy от линии заряда, - ширина материала в направлении z. Верхний индекс 2 указывает, что дельта-функция Дирака является двумерной. Пропагатор${\displaystyle r}$${\displaystyle L_{B}}$

${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{1 \over {\vec {k}}^{2}+k_{Ds}^{2}}}$

где - либо обратная длина экранирования Дебая-Хюккеля, либо обратная длина экранирования Томаса-Ферми .${\displaystyle k_{Ds}}$

Энергия взаимодействия

${\displaystyle E=\left({a_{1}\,a_{2} \over 2\pi L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{Ds}^{2}}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)=\left({a_{1}\,a_{2} \over 2\pi L_{B}}\right)K_{0}\left(k_{Ds}r_{12}\right)}$

куда

${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}\left(x\right)}$

и

${\displaystyle K_{0}\left(x\right)}$

- функции Бесселя, а - расстояние между двумя линейными зарядами. При получении энергии взаимодействия мы использовали интегралы (см. Общие интегралы в квантовой теории поля )${\displaystyle r_{12}}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{d\varphi \over 2\pi }\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)={\mathcal {J}}_{0}\left(p\right)}$

и

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+m^{2}}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr\right)=K_{0}\left(mr\right).}$

Ибо у нас есть${\displaystyle k_{Ds}r_{12}\ll 1}$

${\displaystyle K_{0}\left(k_{Ds}r_{12}\right)\rightarrow -\ln \left({k_{Ds}r_{12} \over 2}\right)+0.5772.}$

Кулоновский потенциал между двумя токовыми петлями, заключенными в магнитное поле [ править ]

Энергия взаимодействия для вихрей [ править ]

Рассмотрим плотность заряда в трубке с осью вдоль магнитного поля, заключенного в электронный газ

${\displaystyle J_{1}\left(x\right)={a_{1} \over L_{b}}{1 \over 2\pi r}\delta ^{2}\left(r-r_{B1}\right)}$

где - расстояние от ведущего центра , - ширина материала в направлении магнитного поля${\displaystyle r}$${\displaystyle L_{B}}$

${\displaystyle r_{B1}={{\sqrt {4\pi }}m_{1}v_{1} \over a_{1}B}={\sqrt {2\hbar \over m_{1}\omega _{c}}}}$

где циклотронная частота ( гауссовы единицы )

${\displaystyle \omega _{c}={a_{1}B \over {\sqrt {4\pi }}m_{1}c}}$

и

${\displaystyle v_{1}={\sqrt {2\hbar \omega _{c} \over m_{1}}}}$

- скорость частицы относительно магнитного поля, а B - величина магнитного поля. Формула скорости исходит из того, что классическая кинетическая энергия устанавливается равной расстоянию между уровнями Ландау при квантовом рассмотрении заряженной частицы в магнитном поле.

В этой геометрии энергию взаимодействия можно записать

${\displaystyle E=\left({a_{1}\,a_{2} \over 2\pi L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{k\;dk\;}D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B1}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B2}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)}$

где - расстояние между центрами токовых петель и${\displaystyle r_{12}}$

${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}\left(x\right)}$

является функцией Бесселя первого рода. Для получения энергии взаимодействия использовался интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{d\varphi \over 2\pi }\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)={\mathcal {J}}_{0}\left(p\right).}$

Электрическое поле из-за возмущения плотности [ править ]

Химический потенциал вблизи равновесия, задается

${\displaystyle \mu =-e\varphi +N\hbar \omega _{c}=N_{0}\hbar \omega _{c}}$

где есть потенциальная энергия электрона в электрическом потенциале , и и является числом частиц в электронном газе в отсутствии и в присутствии электростатического потенциала, соответственно.${\displaystyle -e\varphi }$${\displaystyle N_{0}}$${\displaystyle N}$

Тогда флуктуация плотности равна

${\displaystyle \delta n={e\varphi \over \hbar \omega _{c}A_{M}L_{B}}}$

где - площадь материала в плоскости, перпендикулярной магнитному полю.${\displaystyle A_{M}}$

Уравнение Пуассона дает

${\displaystyle \left(k^{2}+k_{B}^{2}\right)\varphi =0}$

куда

${\displaystyle k_{B}^{2}={4\pi e^{2} \over \hbar \omega _{c}A_{M}L_{B}}.}$

Тогда пропагатор

${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}={1 \over k^{2}+k_{B}^{2}}}$

и энергия взаимодействия становится

${\displaystyle E=\left({a_{1}\,a_{2} \over 2\pi L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B1}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B2}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}{\mathcal {J}}_{0}^{2}\left(k\right){\mathcal {J}}_{0}\left(k{r_{12} \over r_{B}}\right)}$

где во втором равенстве ( гауссовы единицы ) предполагается, что вихри имеют одинаковую энергию и заряд электрона.

По аналогии с плазмонами , носитель силы представляет собой квантовую версию верхнегибридного колебания, которое представляет собой продольную плазменную волну , распространяющуюся перпендикулярно магнитному полю.

Токи с угловым моментом [ править ]

Токи функции дельты [ править ]

Рис. 1. Зависимость энергии взаимодействия от r для состояний с угловым моментом со значением один. Кривые идентичны этим для любых значений . Длины указаны в единицах измерения , а энергия - в единицах . Вот . Обратите внимание, что существуют локальные минимумы для больших значений .${\displaystyle {\mathit {l}}={{\mathit {l}}^{\prime }}}$${\displaystyle r_{\mathit {l}}}$${\displaystyle \left({e^{2} \over L_{B}}\right)}$${\displaystyle r=r_{12}}$${\displaystyle k_{B}}$

Рисунок 3. Зависимость энергии взаимодействия от r для различных значений тета. Самая низкая энергия для или . График наивысшей энергии предназначен для . Длины указаны в единицах .${\displaystyle \theta ={\pi \over 4}}$${\displaystyle {{\mathit {l}} \over {\mathit {l}}^{\prime }}=1}$${\displaystyle \theta =0.90{\pi \over 4}}$${\displaystyle r_{{\mathit {l}}{\mathit {l}}^{\prime }}}$

Рис. 4. Энергии основного состояния для четных и нечетных значений угловых моментов. Энергия откладывается по вертикальной оси, а r - по горизонтали. Когда полный угловой момент четный, минимум энергии возникает, когда или . Когда полный угловой момент нечетный, нет целых значений угловых моментов, которые будут лежать в минимуме энергии. Следовательно, есть два состояния, лежащих по обе стороны от минимума. Потому что полная энергия выше, чем в случае, когда для данного значения .${\displaystyle {{\mathit {l}}={\mathit {l}}^{\prime }}}$${\displaystyle {{\mathit {l}} \over {\mathit {l}}^{*}}={1 \over 2}}$${\displaystyle {{\mathit {l}}\neq {\mathit {l}}^{\prime }}}$${\displaystyle {{\mathit {l}}={\mathit {l}}^{\prime }}}$${\displaystyle {{\mathit {l}}^{*}}}$

В отличие от классических токов, квантовые токовые петли могут иметь различные значения ларморовского радиуса для данной энергии. ^[9] Уровни Ландау , энергетические состояния заряженной частицы в присутствии магнитного поля, многократно вырождены . Токовые петли соответствуют состояниям углового момента заряженной частицы, которые могут иметь одинаковую энергию. В частности, плотность заряда достигает максимума вокруг радиусов

${\displaystyle r_{\mathit {l}}={\sqrt {\mathit {l}}}\;r_{B}\;\;\;{\mathit {l}}=0,1,2,\ldots }$

где - квантовое число углового момента . Когда мы восстанавливаем классическую ситуацию, когда электрон вращается вокруг магнитного поля на ларморовском радиусе . Если токи с двумя угловыми моментами и взаимодействуют, и мы предполагаем, что плотности заряда являются дельта-функциями на радиусе , то энергия взаимодействия равна${\displaystyle {\mathit {l}}}$${\displaystyle {\mathit {l}}=1}$${\displaystyle {\mathit {l}}_{}^{}>0}$${\displaystyle {\mathit {l}}^{\prime }\geq {\mathit {l}}_{}^{}}$${\displaystyle r_{\mathit {l}}}$

${\displaystyle E=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{\mathit {l}}^{2}}\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left({\sqrt {{{\mathit {l}}^{\prime }} \over {\mathit {l}}}}\;k\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k{r_{12} \over r_{\mathit {l}}}\right).}$

Энергия взаимодействия для приведена на рисунке 1 для различных значений . Энергия для двух разных значений приведена на рисунке 2.${\displaystyle {\mathit {l}}={\mathit {l}}^{\prime }}$${\displaystyle k_{B}r_{\mathit {l}}}$

Квазичастицы [ править ]

При больших значениях углового момента энергия может иметь локальные минимумы на расстояниях, отличных от нуля и бесконечности. Численно можно проверить, что минимумы возникают при

${\displaystyle r_{12}=r_{{\mathit {l}}{\mathit {l}}^{\prime }}={\sqrt {{\mathit {l}}+{\mathit {l}}^{\prime }}}\;r_{B}.}$

Это говорит о том, что пара частиц, которые связаны и разделены расстоянием, действуют как одна квазичастица с угловым моментом .${\displaystyle r_{{\mathit {l}}{\mathit {l}}^{\prime }}}$${\displaystyle {\mathit {l}}+{\mathit {l}}^{\prime }}$

Если масштабировать длины как , то энергия взаимодействия станет${\displaystyle r_{{\mathit {l}}{\mathit {l}}^{\prime }}}$

${\displaystyle E=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{{\mathit {l}}{\mathit {l}}^{\prime }}^{2}}\;{\mathcal {J}}_{0}\left(\cos \theta \;k\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left(\sin \theta \;k\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k{r_{12} \over r_{{\mathit {l}}{\mathit {l}}^{\prime }}}\right)}$

куда

${\displaystyle \tan \theta ={\sqrt {{\mathit {l}} \over {\mathit {l}}^{\prime }}}.}$

Значение, при котором энергия минимальна , не зависит от отношения . Однако минимальное значение энергии зависит от соотношения. Самый низкий минимум энергии происходит, когда${\displaystyle r_{12}}$${\displaystyle r_{12}=r_{{\mathit {l}}{\mathit {l}}^{\prime }}}$${\displaystyle \tan \theta ={\sqrt {{\mathit {l}} \over {\mathit {l}}^{\prime }}}}$

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over {\mathit {l}}^{\prime }}=1.}$

Когда соотношение отличается от 1, то минимум энергии выше (Рисунок 3). Следовательно, для четных значений полного импульса наименьшая энергия имеет место, когда (рисунок 4)

${\displaystyle {\mathit {l}}={\mathit {l}}^{\prime }=1}$

или же

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over {\mathit {l}}^{*}}={1 \over 2}}$

где полный угловой момент записывается как

${\displaystyle {{\mathit {l}}^{*}}={\mathit {l}}+{{\mathit {l}}^{\prime }}.}$

Когда полный угловой момент нечетный, минимумы не могут иметь место для состояний с наименьшей энергией для нечетного полного углового момента, когда${\displaystyle {{\mathit {l}}={\mathit {l}}^{\prime }}.}$

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over {\mathit {l}}^{*}}=\;{{\mathit {l}}^{*}\pm 1 \over 2{\mathit {l}}^{*}}}$

или же

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over {\mathit {l}}^{*}}={1 \over 3},{2 \over 5},{3 \over 7},{\mbox{etc.,}}}$

и

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over {\mathit {l}}^{*}}={2 \over 3},{3 \over 5},{4 \over 7},{\mbox{etc.,}}}$

которые также появляются как ряды для фактора заполнения в дробном квантовом эффекте Холла .

Распределение плотности заряда по волновой функции [ править ]

Плотность заряда на самом деле не сосредоточена в дельта-функции. Заряд распределен по волновой функции. В этом случае электронная плотность ^[10]

${\displaystyle {1 \over \pi r_{B}^{2}L_{B}}{1 \over n!}\left({r \over r_{B}}\right)^{2{\mathit {l}}}\exp \left(-{r^{2} \over r_{B}^{2}}\right).}$

Энергия взаимодействия становится

${\displaystyle E=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}\;M\left({\mathit {l}}+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left({\mathit {l}}^{\prime }+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k{r_{12} \over r_{B}}\right)}$

где - вырожденная гипергеометрическая функция или функция Куммера . При получении энергии взаимодействия мы использовали интеграл (см. Общие интегралы в квантовой теории поля )${\displaystyle M}$

${\displaystyle {2 \over n!}\int _{0}^{\infty }{dr}\;r^{2n+1}\exp \left(-r^{2}\right)J_{0}\left(kr\right)=M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 4}\right).}$

Как и в случае зарядов с дельта-функцией, значение, при котором энергия является локальным минимумом, зависит только от полного углового момента, а не от угловых моментов отдельных токов. Кроме того, как и в случае зарядов с дельта-функцией, энергия в минимуме увеличивается при изменении отношения угловых моментов от единицы. Следовательно, серия${\displaystyle r_{12}}$

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over {\mathit {l}}^{*}}={1 \over 3},{2 \over 5},{3 \over 7},{\mbox{etc.,}}}$

и

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over {\mathit {l}}^{*}}={2 \over 3},{3 \over 5},{4 \over 7},{\mbox{etc.,}}}$

появляются и в случае разнесения зарядов волновой функцией.

Волновой Лафлин является Анзацем для квазичастичной волновой функции. Если математическое ожидание энергии взаимодействия берется по волновой функции Лафлина , эти ряды также сохраняются.

Магнитостатика [ править ]

Дарвиновское взаимодействие в вакууме [ править ]

Заряженная движущаяся частица может создавать магнитное поле, которое влияет на движение другой заряженной частицы. Статическая версия этого эффекта называется взаимодействием Дарвина . Чтобы вычислить это, рассмотрим электрические токи в пространстве, создаваемые движущимся зарядом.

${\displaystyle {\vec {J}}_{1}\left({\vec {x}}\right)=a_{1}{\vec {v}}_{1}\delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}_{1}\right)}$

с сопоставимым выражением для .${\displaystyle {\vec {J}}_{2}}$

Преобразование Фурье этого тока есть

${\displaystyle {\vec {J}}_{1}\left({\vec {k}}\right)=a_{1}{\vec {v}}_{1}\exp \left(i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}_{1}\right).}$

Ток можно разложить на поперечную и продольную части (см. Разложение Гельмгольца ).

${\displaystyle {\vec {J}}_{1}\left({\vec {k}}\right)=a_{1}\left[1-{\hat {k}}{\hat {k}}\right]\cdot {\vec {v}}_{1}\exp \left(i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}_{1}\right)+a_{1}\left[{\hat {k}}{\hat {k}}\right]\cdot {\vec {v}}_{1}\exp \left(i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}_{1}\right).}$

Шляпа указывает единичный вектор . Последний термин исчезает, потому что

${\displaystyle {\vec {k}}\cdot {\vec {J}}=-k_{0}J^{0}\rightarrow 0,}$

что является результатом сохранения заряда. Здесь исчезает, потому что мы рассматриваем статические силы.${\displaystyle k_{0}}$

С током в таком виде энергию взаимодействия можно записать

${\displaystyle E=a_{1}a_{2}\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}\;\;D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;{\vec {v}}_{1}\cdot \left[1-{\hat {k}}{\hat {k}}\right]\cdot {\vec {v}}_{2}\;\exp \left(i{\vec {k}}\cdot \left(x_{1}-x_{2}\right)\right)}$.

Уравнение пропагатора для лагранжиана Прока имеет вид

${\displaystyle \eta _{\mu \alpha }\left(\partial ^{2}+m^{2}\right)D^{\alpha \nu }\left(x-y\right)=\delta _{\mu }^{\nu }\delta ^{4}\left(x-y\right).}$

Пространственноподобное решение

${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;-{1 \over {\vec {k}}^{2}+m^{2}},}$

что дает

${\displaystyle E=-a_{1}a_{2}\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}\;\;{{\vec {v}}_{1}\cdot \left[1-{\hat {k}}{\hat {k}}\right]\cdot {\vec {v}}_{2} \over {\vec {k}}^{2}+m^{2}}\;\exp \left(i{\vec {k}}\cdot \left(x_{1}-x_{2}\right)\right)}$

который оценивается в (см. Общие интегралы в квантовой теории поля )

${\displaystyle E=-{1 \over 2}{a_{1}a_{2} \over 4\pi r}e^{-mr}\left\{{2 \over \left(mr\right)^{2}}\left(e^{mr}-1\right)-{2 \over mr}\right\}{\vec {v}}_{1}\cdot \left[1+{\hat {r}}{\hat {r}}\right]\cdot {\vec {v}}_{2}}$

что сводится к

${\displaystyle E=-{1 \over 2}{a_{1}a_{2} \over 4\pi r}{\vec {v}}_{1}\cdot \left[1+{\hat {r}}{\hat {r}}\right]\cdot {\vec {v}}_{2}}$

в пределе малых м. Энергия взаимодействия является отрицательной по отношению к лагранжиану взаимодействия. Для двух одинаковых частиц, движущихся в одном направлении, взаимодействие является притягивающим, что противоположно кулоновскому взаимодействию.

Дарвиновское взаимодействие в плазме [ править ]

В плазме дисперсионное соотношение для электромагнитной волны имеет вид ^[11] ( )${\displaystyle c=1}$

${\displaystyle k_{0}^{2}=\omega _{p}^{2}+{\vec {k}}^{2},}$

что подразумевает

${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;-{1 \over {\vec {k}}^{2}+\omega _{p}^{2}}.}$

Здесь есть плазменная частота . Таким образом, энергия взаимодействия равна${\displaystyle \omega _{p}}$

${\displaystyle E=-{1 \over 2}{a_{1}a_{2} \over 4\pi r}{\vec {v}}_{1}\cdot \left[1+{\hat {r}}{\hat {r}}\right]\cdot {\vec {v}}_{2}\;e^{-\omega _{p}r}\left\{{2 \over \left(\omega _{p}r\right)^{2}}\left(e^{\omega _{p}r}-1\right)-{2 \over \omega _{p}r}\right\}.}$

Магнитное взаимодействие между токовыми петлями в простой плазме или электронном газе [ править ]

Энергия взаимодействия [ править ]

Рассмотрим трубку тока, вращающуюся в магнитном поле, заключенную в простую плазму или электронный газ. Ток, лежащий в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, определяется как

${\displaystyle {\vec {J}}_{1}\left({\vec {x}}\right)=a_{1}v_{1}{1 \over 2\pi rL_{B}}\;\delta ^{2}\left(r-r_{B1}\right)\;\left({{\hat {b}}\times {\hat {r}}}\right)}$

куда

${\displaystyle r_{B1}={{\sqrt {4\pi }}m_{1}v_{1} \over a_{1}B}}$

и представляет собой единичный вектор в направлении магнитного поля. Здесь указывается размер материала в направлении магнитного поля. Поперечный ток, перпендикулярный волновому вектору , возбуждает поперечную волну .${\displaystyle {\hat {b}}}$${\displaystyle L_{B}}$

Энергия взаимодействия

${\displaystyle E=\left({a_{1}\,a_{2} \over 2\pi L_{B}}\right)v_{1}\,v_{2}\,\int _{0}^{\infty }{k\;dk\;}D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}{\mathcal {J}}_{1}\left(kr_{B1}\right){\mathcal {J}}_{1}\left(kr_{B2}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)}$

где - расстояние между центрами токовых петель и${\displaystyle r_{12}}$

${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}\left(x\right)}$

является функцией Бесселя первого рода. Для получения энергии взаимодействия использовались интегралы

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{d\varphi \over 2\pi }\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)={\mathcal {J}}_{0}\left(p\right)}$

и

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{d\varphi \over 2\pi }\cos \left(\varphi \right)\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)=i{\mathcal {J}}_{1}\left(p\right).}$

См. Общие интегралы в квантовой теории поля .

Ток в плазме, удерживаемой в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, генерирует необыкновенную волну . ^[12] Эта волна генерирует холловские токи, которые взаимодействуют и изменяют электромагнитное поле. Дисперсии для необыкновенных волн ^[13]

${\displaystyle -k_{0}^{2}+{\vec {k}}^{2}+\omega _{p}^{2}{\left(k_{0}^{2}-\omega _{p}^{2}\right) \over \left(k_{0}^{2}-\omega _{H}^{2}\right)}=0,}$

что дает для пропагатора

${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}\;=\;-\left({1 \over {\vec {k}}^{2}+k_{X}^{2}}\right)}$

куда

${\displaystyle k_{X}\equiv {\omega _{p}^{2} \over \omega _{H}}}$

по аналогии с дарвиновским пропагатором. Здесь верхняя гибридная частота определяется выражением

${\displaystyle \omega _{H}^{2}=\omega _{p}^{2}+\omega _{c}^{2},}$

циклотронная частота задается ( гауссовые единицы )

${\displaystyle \omega _{c}={eB \over mc},}$

и плазменная частота ( гауссовы единицы )

${\displaystyle \omega _{p}^{2}={4\pi ne^{2} \over m}.}$

Здесь n - плотность электронов, e - величина заряда электрона, m - масса электрона.

Энергия взаимодействия становится для одинаковых токов

${\displaystyle E=-\left({a^{2} \over 2\pi L_{B}}\right)v^{2}\,\int _{0}^{\infty }{k\;dk \over {\vec {k}}^{2}+k_{X}^{2}}{\mathcal {J}}_{1}^{2}\left(kr_{B}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)}$

Предел малого расстояния между токовыми петлями [ править ]

В том случае, если расстояние между токовыми петлями невелико,

${\displaystyle E=-E_{0}\;I_{1}\left(\mu \right)K_{1}\left(\mu \right)}$

куда

${\displaystyle E_{0}=\left({a^{2} \over 2\pi L_{B}}\right)v^{2}}$

и

${\displaystyle \mu ={\omega _{p}^{2}r_{B} \over \omega _{H}}=k_{X}\;r_{B}}$

а I и K - модифицированные функции Бесселя. мы предположили, что два тока имеют одинаковый заряд и скорость.

Мы использовали интеграл (см. Общие интегралы в квантовой теории поля )

${\displaystyle \int _{o}^{\infty }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}{\mathcal {J}}_{1}^{2}\left(kr\right)=I_{1}\left(mr\right)K_{1}\left(mr\right).}$

При малых mr интеграл принимает вид

${\displaystyle I_{1}\left(mr\right)K_{1}\left(mr\right)\rightarrow {1 \over 2}\left[1-{1 \over 8}\left(mr\right)^{2}\right].}$

При больших mr интеграл принимает вид

${\displaystyle I_{1}\left(mr\right)K_{1}\left(mr\right)\rightarrow {1 \over 2}\;\left({1 \over mr}\right).}$

Связь с квантовым эффектом Холла [ править ]

Можно записать экранирующее волновое число ( гауссовы единицы )

${\displaystyle \mu ={\omega _{p}^{2}r_{B} \over \omega _{H}c}=\left({2e^{2}r_{B} \over L_{B}\hbar c}\right){\nu \over {\sqrt {1+{\omega _{p}^{2} \over \omega _{c}^{2}}}}}=2\alpha \left({r_{B} \over L_{B}}\right)\left({1 \over {\sqrt {1+{\omega _{p}^{2} \over \omega _{c}^{2}}}}}\right)\nu }$