Стереографическая проекция в картографии

Стереографическая проекция мира к северу от 30 ° ю. Сетка 15 °.

Стереографическая проекция с индикатрисой деформации Тиссо .

Стереографическая проекция , известная также как проекция Planisphere или азимутальная проекция конформной , является конформным отображением проекции , использование которого восходит к глубокой древности. Подобно ортогональной проекции и гномонической проекции , стереографическая проекция является азимутальной проекцией , а на сфере - также перспективной проекцией .

На эллипсоиде определение перспективы стереографической проекции не является конформным, и необходимо внести изменения, чтобы сохранить его азимутальные и конформные свойства. Универсальная полярная стереографическая система координат использует одну такую эллипсоидной реализацию.

История [ править ]

Карта мира, составленная Румольдом Меркатором в 1587 году с использованием двух экваториальных аспектов стереографической проекции.

Стереографическая проекция, вероятно, была известна в своем полярном аспекте древним египтянам , хотя ее изобретение часто приписывают Гиппарху , который был первым греком, который ее использовал. Его наклонный аспект использовал греческий математик Теон Александрийский в четвертом веке, а его экваториальный аспект использовал арабский астроном Аль-Заркали в одиннадцатом веке. Самым ранним письменным описанием этого является Planisphaerium Птолемея , который называет его «проекцией планисферы».

Стереографическая проекция использовалась исключительно для построения звездных карт до 1507 года, когда Вальтер Ладд из Сен-Дье, Лотарингия, создал первый известный пример стереографической проекции поверхности Земли. Его популярность в картографии возросла после того, как Румольд Меркатор использовал его экваториальный аспект в своем атласе 1595 года. ^[1] Впоследствии он часто использовался в течение семнадцатого века, а его экваториальный аспект использовался для карт Восточного и Западного полушарий . ^[2]

В 1695 году Эдмонд Галлей , движимый интересом к звездным картам , опубликовал первое математическое доказательство конформности этой карты . ^[3] Он использовал недавно установленные инструменты исчисления , изобретенные его другом Исааком Ньютоном .

Формулы [ править ]

Сферическую форму стереографической проекции обычно выражают в полярных координатах:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=2R\tan \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\varphi }{2}}\right)\\\theta &=\lambda \end{aligned}}}$

где - радиус сферы, и - широта и долгота соответственно.${\displaystyle R}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$

Сфера обычно выбираются для моделирования Земли , когда степень отображенной области превышает несколько сот километров в длине в обоих направлениях. Для карт меньших регионов следует выбирать эллипсоидальную модель , если требуется большая точность. ^[1]

Эллипсоидальная форма полярной эллипсоидальной проекции использует конформную широту . Существуют различные формы поперечных или наклонных стереографических проекций эллипсоидов. В одном методе используется двойная проекция через конформную сферу, а в других - нет.

Примеры поперечных или наклонных стереографических проекций включают в себя сплюснутую стереографическую проекцию Миллера ^[4] и наклонную стереографическую проекцию Roussilhe . ^[2]

Свойства [ править ]

Как азимутальная проекция, стереографическая проекция точно представляет относительные направления всех больших кругов, проходящих через ее центральную точку. Как конформная проекция, она везде точно отображает углы. Кроме того, в сферической форме стереографическая проекция является единственной картографической проекцией, которая отображает все маленькие кружки в виде кружков.

Сферическая форма стереографической проекции эквивалентна перспективной проекции, в которой точка перспективы находится на точке на земном шаре напротив центральной точки карты.

Поскольку выражение для расходится по мере приближения , стереографическая проекция бесконечно велика, и показать Южный полюс невозможно. Однако можно отображать точки произвольно близко к Южному полюсу, если границы карты простираются достаточно далеко. ^[1]${\displaystyle r}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$

Производные прогнозы [ править ]

Параллели на стереографической проекции Галла распределены с тем же интервалом, что и параллели на центральном меридиане поперечной стереографической проекции.

Проекция GS50 формируется путем отображения косой стереографической проекции на комплексную плоскость , а затем преобразуя точки на ней с помощью полинома десятого порядка.

Ссылки [ править ]