Растянутая экспоненциальная функция

Рисунок 1 . Иллюстрация растянутой экспоненциальной аппроксимации (с β = 0,52) эмпирической эталонной кривой. Для сравнения также показаны одинарная и двойная экспоненциальная аппроксимация методом наименьших квадратов . Эти данные вращательная анизотропия из антрацена в полиизобутилене нескольких молекулярных масс . Графики перекрываются путем деления времени ( t ) на соответствующую характеристическую постоянную времени .

Растянуты экспоненциальная функция

${\ Displaystyle е _ {\ бета} (т) = е ^ {- т ^ {\ бета}}}$

получается путем подстановки дробно- степенного закона в экспоненциальную функцию . В большинстве приложений это имеет смысл только для аргументов t от 0 до + ∞. При β  = 1 восстанавливается обычная экспоненциальная функция. При показателе растяжения β между 0 и 1 график зависимости log  f от t обычно растягивается , отсюда и название функции. Сжато экспоненциальная функция (с р  > 1) имеет меньше практическое значение, с заметным исключением р  = 2, что дает нормальное распределение .

В математике растянутая экспонента также известна как дополнительное кумулятивное распределение Вейбулла . Растянутая экспонента также является характеристической функцией , в основном преобразованием Фурье , симметричного альфа-устойчивого распределения Леви .

В физике растянутая экспоненциальная функция часто используется как феноменологическое описание релаксации в неупорядоченных системах. Впервые он был введен Рудольфом Кольраушем в 1854 году для описания разряда конденсатора; ^[1], поэтому она также известна как функция Кольрауша . В 1970 г. Г. Уильямс и Д. К. Уоттс использовали преобразование Фурье растянутой экспоненты для описания диэлектрических спектров полимеров; ^[2] в этом контексте растянутую экспоненту или ее преобразование Фурье также называют функцией Кольрауша – Вильямса – Уоттса (KWW) .

В феноменологических приложениях часто неясно, следует ли использовать растянутую экспоненциальную функцию для описания дифференциала или интегральной функции распределения - или ни то, ни другое. В каждом случае получается один и тот же асимптотический спад, но разный префактор степенного закона, что делает подгонки более неоднозначными, чем для простых экспонент. В некоторых случаях ^{[3] [4] [5] [6]} можно показать, что асимптотическое затухание представляет собой растянутую экспоненту, но префактор обычно не зависит от степени.

Математические свойства [ править ]

Моменты [ править ]

Следуя обычной физической интерпретации, мы интерпретируем аргумент функции t как время, а f _β ( t ) - дифференциальное распределение. Таким образом, площадь под кривой можно интерпретировать как среднее время релаксации . Один находит

${\displaystyle \langle \tau \rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={\tau _{K} \over \beta }\Gamma \left({1 \over \beta }\right)}$

где Γ - гамма-функция . Для экспоненциального убывания восстанавливается 〈τ〉 =  τ _K.

Старшие моменты растянутой экспоненциальной функции равны ^[7]

${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={{\tau _{K}}^{n} \over \beta }\Gamma \left({n \over \beta }\right).}$

Функция распределения [ править ]

В физике делались попытки объяснить поведение растянутой экспоненты как линейную суперпозицию простых экспоненциальных распадов. Для этого требуется нетривиальное распределение времен релаксации ρ (u) , которое неявно определяется формулой

${\displaystyle e^{-t^{\beta }}=\int _{0}^{\infty }du\,\rho (u)\,e^{-t/u}.}$

В качестве альтернативы дистрибутив

${\displaystyle G=u\rho (u)\,}$

используется.

ρ можно вычислить из разложения в ряд: ^[8]

${\displaystyle \rho (u)=-{1 \over \pi u}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over k!}\sin(\pi \beta k)\Gamma (\beta k+1)u^{\beta k}}$

Для рациональных значений р , ρ ( U ) можно вычислить в терминах элементарных функций. Но это выражение в целом слишком сложно, чтобы его можно было использовать, за исключением случая β  = 1/2, где

${\displaystyle G(u)=u\rho (u)={1 \over 2{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {u}}\exp(-u/4)}$

На рисунке 2 показаны те же результаты, представленные как в линейном, так и в логарифмическом представлении. Кривые сходятся к дельта-функции Дирака с максимумом при u  = 1, когда β приближается к 1, что соответствует простой экспоненциальной функции.

Рисунок 2 . Линейный и логарифмический графики растянутой экспоненциальной функции распределения vs${\displaystyle G}$${\displaystyle t/\tau }$ для значений параметра растяжения β от 0,1 до 0,9.

Моменты исходной функции можно выразить как

${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle =\Gamma (n)\int _{0}^{\infty }d\tau \,t^{n}\,\rho (\tau ).}$

Первый логарифмический момент распределения времен простой экспоненциальной релаксации равен

${\displaystyle \langle \ln \tau \rangle =\left(1-{1 \over \beta }\right){\rm {Eu}}+\ln \tau _{K}}$

где Eu - постоянная Эйлера . ^[9]

Преобразование Фурье [ править ]

Для описания результатов спектроскопии или неупругого рассеяния необходимо синусоидальное или косинусное преобразование Фурье растянутой экспоненты. Он должен быть рассчитан либо численным интегрированием, либо расширением ряда. ^[10] Ряд здесь, а также ряд для функции распределения являются частными случаями функции Фокса – Райта . ^[11] Для практических целей, преобразование Фурье может быть аппроксимировано функцией Гавриляка-Неги , ^[12] , хотя в настоящее время цифрового вычисление может быть сделано настолько эффективно ^[13] не , что больше нет какой - либо причина не использовать Кольрауш-Williams –Функция Ваттса в частотной области.

История и другие приложения [ править ]

Как сказано во введении, растянутая экспонента была введена немецким физиком Рудольфом Кольраушем в 1854 году для описания разряда конденсатора ( лейденской банки ), в котором в качестве диэлектрической среды использовалось стекло. Следующее задокументированное использование Фридрихом Кольраушем , сыном Рудольфа, используется для описания торсионной релаксации. А. Вернер использовал его в 1907 г. для описания затуханий сложной люминесценции; Теодора Ферстера в 1949 году как закон затухания флуоресценции электронных доноров энергии.

Помимо физики конденсированного состояния, растянутая экспонента использовалась для описания скорости удаления небольших случайных тел в Солнечной системе ^[14], взвешенного по диффузии сигнала МРТ в мозгу ^[15] и добычи из нетрадиционных газовых скважин. ^[16]

Вероятно, [ править ]

Если интегрированное распределение представляет собой растянутую экспоненту, нормализованная функция плотности вероятности определяется выражением

${\displaystyle p(\tau \mid \lambda ,\beta )~d\tau ={\frac {\lambda }{\Gamma (1+\beta ^{-1})}}~e^{-(\tau \lambda )^{\beta }}~d\tau }$

Обратите внимание, что некоторые авторы ^[17] , как известно, использовали название «растянутая экспонента» для обозначения распределения Вейбулла, что сбивает с толку .

Измененные функции [ править ]

Модифицированная растянутая экспоненциальная функция

${\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta (t)}}}$

с медленно зависящим от t показателем β использовался для кривых биологической выживаемости. ^{[18] [19]}

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• J. Wuttke: библиотека libkww C для вычисления преобразования Фурье растянутой экспоненциальной функции