Картирование сокращения

В математике , А сжимающее отображение , или сжатие или подрядчиком , на метрическом пространстве ( М , д ) является функцией F от M к себе, с тем свойством , что существует некоторое неотрицательное вещественное число такое , что для всех х и у в М , ${\ Displaystyle 0 \ Leq к <1}$

{\ Displaystyle d (е (х), е (у)) \ Leq к \, d (х, у).}

Наименьшее такое значение k называется константой Липшица функции f . Сжимающие отображения иногда называют липшицевыми отображениями . Если вместо этого вышеупомянутое условие выполняется для k ≤ 1, то отображение называется нерасширяющим отображением .

В более общем смысле идея сжимающего отображения может быть определена для отображений между метрическими пространствами. Таким образом, если ( M , d ) и ( N , d ' ) - два метрических пространства, то является сжимающим отображением, если существует такая константа , что ${\ displaystyle f: M \ rightarrow N}$ ${\ Displaystyle 0 \ Leq к <1}$

{\ Displaystyle д '(е (х), е (у)) \ Leq к \, д (х, у)}

для всех х и у в М .

Каждое сжимающее отображение липшицево и, следовательно, равномерно непрерывно (для липшицевой функции константа k уже не обязательно меньше 1).

Сжимающее отображение имеет не более одной фиксированной точки . Кроме того, банахово с фиксированной точкой теорема гласит , что каждое сжимающее отображение на непустое полное метрическое пространство имеет единственную неподвижную точку, и что для любого х в М итерированным функция последовательности х , ф ( х ), ф ( ф ( х )), f ( f ( f ( x ))), ... сходится к неподвижной точке. Эта концепция очень полезна для систем с повторяющимися функциями.где часто используются сжатые отображения. Теорема Банаха о неподвижной точке также применяется при доказательстве существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений и используется в одном из доказательств теоремы об обратной функции . ^[1]

Сжимающие отображения играют важную роль в задачах динамического программирования . ^[2]^[3]

Твердо неширокое отображение [ править ]

Нерасширяющее отображение с может быть усилено до нерасширяющего отображения в гильбертовом пространстве, если для всех x и y в гильбертовом пространстве выполняется следующее : ${\ displaystyle k = 1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

{\ Displaystyle \ | е (х) -f (y) \ | ^ {2} \ leq \, \ langle xy, f (x) -f (y) \ rangle.}

где

{\ Displaystyle д (х, у) = \ | ху \ |}

.

Это частный случай усредненных нерасширяющих операторов с . ^[4] Строго нерасширяющее отображение всегда нерасширяющее согласно неравенству Коши – Шварца . ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ альфа = 1/2}$

Класс устойчиво нерасширяющих отображений замкнут относительно выпуклых комбинаций , но не композиций. ^[5] Этот класс включает проксимальные отображения собственных выпуклых, полунепрерывных снизу функций, следовательно, он также включает ортогональные проекции на непустые замкнутые выпуклые множества . Класс строго нерасширяющих операторов равен множеству резольвент максимально монотонных операторов . ^[6] Удивительно, хотя итерация нерасширяющих карт не дает гарантии нахождения фиксированной точки (например, умножение на -1), твердой нерасширяемости достаточно, чтобы гарантировать глобальную сходимость к фиксированной точке, при условии, что фиксированная точка существует. Точнее, если ${\ displaystyle {\ text {Fix}} f: = \ {x \ in {\ mathcal {H}} \ | \ f (x) = x \} \ neq \ varnothing}$ , то для любой начальной точки итерация ${\ displaystyle x_ {0} \ in {\ mathcal {H}}}$

${\ displaystyle (\ forall n \ in \ mathbb {N}) \ quad x_ {n + 1} = f (x_ {n})}$

дает сходимость к неподвижной точке . Эта сходимость может быть слабой в бесконечномерном пространстве. ^[5] ${\ displaystyle x_ {n} \ to z \ in {\ text {Fix}} f}$

Карта субподряда [ править ]

Карта subcontraction или субподрядчик является отображение F на метрическом пространстве ( М , д ) таким образом, что

{\ Displaystyle d (е (х), е (у)) \ Leq d (х, у);}

d(f(f(x)),f(x))<d(f(x),x)\quad {\text{unless}}\quad x=f(x).

Если изображение субподрядчика F является компактным , то F имеет неподвижную точку. ^[7]

Локально выпуклые пространства [ править ]

В локально выпуклом пространстве ( Е , Р ) с топологией , заданной множества P из полунормами , можно определить для любого р ∈ P р -сжатие как отображение ф таким образом, что имеется некоторая к _р <1 такое , что р ( е ( х ) - f ( y )) ≤ k _p p ( x - y ) . Если f является p-сжатие для всех p ∈ P и ( E , P ) является последовательно полным, то f имеет фиксированную точку, заданную как предел любой последовательности x _{n +1} = f ( x _n ), и если ( E , P ) хаусдорфово , то неподвижная точка единственна. ^[8]

См. Также [ править ]

Краткая карта
Сжатие (теория операторов)
Трансформация

Ссылки [ править ]

^ Шифрин, Теодор (2005). Многопараметрическая математика . Вайли. С. 244–260. ISBN 978-0-471-52638-4.
^ Денардо, Эрик В. (1967). «Отображения сжатия в теории, лежащей в основе динамического программирования». SIAM Обзор . 9 (2): 165–177. Bibcode : 1967SIAMR ... 9..165D . DOI : 10.1137 / 1009030 .
^ Стоки, Нэнси L .; Лукас, Роберт Э. (1989). Рекурсивные методы в экономической динамике . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. С. 49–55. ISBN 978-0-674-75096-8.
^ Combettes, Патрик Л. (2004). «Решение монотонных включений с помощью композиций нерасширяющих усредненных операторов». Оптимизация . 53 (5–6): 475–504. DOI : 10.1080 / 02331930412331327157 .
^ a b Баушке, Хайнц Х. (2017). Выпуклый анализ и теория монотонных операторов в гильбертовых пространствах . Нью-Йорк: Спрингер.
^ Combettes, Патрик Л. (июль 2018). «Теория монотонных операторов в выпуклой оптимизации». Математическое программирование . B170 : 177–206. arXiv : 1802.02694 . Bibcode : 2018arXiv180202694C . DOI : 10.1007 / s10107-018-1303-3 .
Перейти ↑ Goldstein, AA (1967). Конструктивный реальный анализ . Серия Харпера в современной математике. Нью-Йорк-Эванстон-Лондон: Харпер и Роу. п. 17. Zbl 0189.49703 .
^ Cain, GL, Jr .; Нашед, МЗ (1971). «Неподвижные точки и устойчивость для суммы двух операторов в локально выпуклых пространствах» . Тихоокеанский математический журнал . 39 (3): 581–592. DOI : 10,2140 / pjm.1971.39.581 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Истратеску, Василий И. (1981). Теория неподвижной точки: введение . Голландия: Д. Рейдел. ISBN 978-90-277-1224-0. обеспечивает вводный уровень бакалавриата.
Гранас, Анджей; Дугунджи, Джеймс (2003). Теория неподвижной точки . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-00173-9.
Кирк, Уильям А .; Симс, Брейли (2001). Справочник по метрической теории неподвижной точки . Лондон: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-7073-4.
Naylor, Arch W .; Продай, Джордж Р. (1982). Теория линейных операторов в технике и науке . Прикладные математические науки. 40 (Второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 125–134. ISBN 978-0-387-90748-2.

[shifrin-1] Шифрин, Теодор (2005). Многопараметрическая математика . Вайли. С. 244–260. ISBN 978-0-471-52638-4.

[2] Денардо, Эрик В. (1967). «Отображения сжатия в теории, лежащей в основе динамического программирования». SIAM Обзор . 9 (2): 165–177. Bibcode : 1967SIAMR ... 9..165D . DOI : 10.1137 / 1009030 .

[3] Стоки, Нэнси L .; Лукас, Роберт Э. (1989). Рекурсивные методы в экономической динамике . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. С. 49–55. ISBN 978-0-674-75096-8.

[4] Combettes, Патрик Л. (2004). «Решение монотонных включений с помощью композиций нерасширяющих усредненных операторов». Оптимизация . 53 (5–6): 475–504. DOI : 10.1080 / 02331930412331327157 .

[:0-5] Баушке, Хайнц Х. (2017). Выпуклый анализ и теория монотонных операторов в гильбертовых пространствах . Нью-Йорк: Спрингер.

[6] Combettes, Патрик Л. (июль 2018). «Теория монотонных операторов в выпуклой оптимизации». Математическое программирование . B170 : 177–206. arXiv : 1802.02694 . Bibcode : 2018arXiv180202694C . DOI : 10.1007 / s10107-018-1303-3 .

[Gold17-7] Перейти ↑ Goldstein, AA (1967). Конструктивный реальный анализ . Серия Харпера в современной математике. Нью-Йорк-Эванстон-Лондон: Харпер и Роу. п. 17. Zbl 0189.49703 .

[8] Cain, GL, Jr .; Нашед, МЗ (1971). «Неподвижные точки и устойчивость для суммы двух операторов в локально выпуклых пространствах» . Тихоокеанский математический журнал . 39 (3): 581–592. DOI : 10,2140 / pjm.1971.39.581 .

[1]