В математике вывод — это функция на алгебре , которая обобщает некоторые особенности оператора производной . В частности, для данной алгебры A над кольцом или полем K K - дифференцирование является K - линейным отображением D : A → A , которое удовлетворяет закону Лейбница :
В более общем случае, если M является A - бимодулем , K - линейное отображение D : A → M , удовлетворяющее закону Лейбница, также называется дифференцированием. Совокупность всех K -дифференцирований A в себя обозначается через Der K ( A ). Совокупность K - дифференцирований A в A - модуль M обозначается Der K ( A , M ) .
Выводы происходят во многих различных контекстах в различных областях математики. Частная производная по переменной является R - дифференцированием алгебры вещественнозначных дифференцируемых функций на Rn . Производная Ли по векторному полю есть R -дифференцирование алгебры дифференцируемых функций на дифференцируемом многообразии ; в более общем смысле это вывод тензорной алгебры многообразия. Отсюда следует, что присоединенное представление алгебры Ли является дифференцированием на этой алгебре. Производная Пинчерлеявляется примером вывода в абстрактной алгебре . Если алгебра A некоммутативна, то коммутатор относительно элемента алгебры A определяет линейный эндоморфизм A на себя, который является дифференцированием над K . Алгебра A , снабженная выделенным выводом d , образует дифференциальную алгебру и сама по себе является важным объектом изучения в таких областях, как дифференциальная теория Галуа .
Даны градуированная алгебра A и однородное линейное отображение D степени | Д | на A , D является однородным дифференцированием , если
для каждого однородного элемента a и каждого элемента b из A для коммутаторного множителя ε = ±1 . Градуированное дифференцирование представляет собой сумму однородных производных с одинаковым ε .
Примеры антипроизводных включают внешнюю производную и внутренний продукт, действующие на дифференциальные формы .