В машине качается Этвуд (SAM) представляет собой механизм , который напоминает одной простой машину Этвуда за исключением того, что одна из масс допускаются качаться в двумерный плоскости, создавая динамическую систему , которая хаотичный для некоторых системных параметров и начальных условий .
В частности, он состоит из двух масс (маятник, масса и противовес, масса ) соединены нерастяжимой безмассовой струной, подвешенной на двух шкивах нулевого радиуса без трения , так что маятник может свободно вращаться вокруг своего шкива, не сталкиваясь с противовесом. [1]
Обычная машина Этвуда допускает только «побеги» ( т.е. либо маятник, либо противовес в конечном итоге сталкивается со своим шкивом), за исключением. Однако качающаяся машина Этвуда симеет большое пространство параметров условий, которые приводят к множеству движений, которые могут быть классифицированы как завершающие или не прекращающиеся, периодические, квазипериодические или хаотические, ограниченные или неограниченные, сингулярные или несингулярные [1] [2] из-за маятника реактивная центробежная сила, противодействующая весу противовеса. [1] Исследование SAM началось в 1982 году как часть дипломной работы Николаса Туфилларо в Рид-колледже под названием « Улыбки и слезы», озаглавленной « Улыбки и слезы» (в которой говорится о форме некоторых траекторий системы) , под руководством Дэвида Дж. Гриффитса . [3]
Уравнения движения
Качающаяся машина Этвуда представляет собой систему с двумя степенями свободы. Мы можем вывести его уравнения движения, используя либо гамильтонову механику, либо лагранжеву механику . Пусть качающаяся масса будет а неподвижная масса должна быть . Кинетическая энергия системы,, является:
где - расстояние от качающейся массы до ее оси, а - угол качающейся массы относительно направления прямо вниз. Потенциальная энергияпроисходит исключительно из-за ускорения свободного падения :
Затем мы можем записать лагранжиан, , и гамильтониан, системы:
Тогда мы можем выразить гамильтониан через канонические импульсы: , :
Анализ Лагранжа может быть применен для получения двух связанных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в а также . Во-первых, уравнение:
И уравнение:
Упростим уравнения, определив отношение масс . Приведенное выше становится:
Гамильтонов анализ также может применяться для определения четырех ОДУ первого порядка в терминах , и соответствующие им канонические импульсы а также :
Обратите внимание, что в обоих этих выводах, если установить и угловая скорость к нулю, полученный частный случай - это обычная не раскачивающаяся машина Атвуда :
У качающейся машины Этвуда есть четырехмерное фазовое пространство, определяемое, и соответствующие им канонические импульсы а также . Однако из-за сохранения энергии фазовое пространство ограничено тремя измерениями.
Система с массивными шкивами
Если считать, что шкивы в системе имеют момент инерции и радиус , тогда гамильтониан SAM равен: [4]
Где M t - эффективная полная масса системы,
Это сводится к версии выше, когда а также стать нулевым. Уравнения движения теперь следующие: [4]
где .
Интегрируемость
Гамильтоновы системы можно разделить на интегрируемые и неинтегрируемые. ЗУР является интегрируемым при соотношении масс. [5] Система также выглядит вполне нормальной для, но case - единственное известное интегрируемое отношение масс. Было показано, что система не интегрируема при. [6] Для многих других значений отношения масс (и начальных условий) SAM демонстрирует хаотическое движение .
Численные исследования показывают, что когда орбита сингулярна (начальные условия: ) маятник выполняет одиночный симметричный цикл и возвращается в исходное положение, независимо от значения . Когдамаленький (почти вертикальный), траектория описывает "слезу", когда она большая, она описывает "сердце". Эти траектории можно точно решить алгебраически, что необычно для системы с нелинейным гамильтонианом. [7]
Траектории
Качающаяся масса качающейся машины Этвуда движется по интересным траекториям или орбитам при различных начальных условиях и при различных соотношениях масс. К ним относятся периодические орбиты и орбиты столкновения.
Неособые орбиты
При определенных условиях система демонстрирует сложное гармоническое движение . [1] Орбита называется невырожденной, если качающаяся масса не касается шкива.
Орбита качающейся машины Атвуда для , , и нулевая начальная скорость.
Орбита качающейся машины Атвуда для , , и нулевая начальная скорость.
Орбита качающейся машины Атвуда для , , и нулевая начальная скорость.
Орбита качающейся машины Атвуда для , , и нулевая начальная скорость.
Орбита качающейся машины Атвуда для , , и нулевая начальная скорость.
Орбита качающейся машины Атвуда для , , и нулевая начальная скорость.
Орбита качающейся машины Атвуда для , , и нулевая начальная скорость.
Орбита качающейся машины Атвуда для , , и нулевая начальная скорость.
Периодические орбиты
Когда различные гармонические компоненты в системе находятся в фазе, результирующая траектория является простой и периодической, такой как траектория «улыбки», которая напоминает траекторию обычного маятника , и различные петли. [3] [8] Обычно периодическая орбита существует, когда выполняется следующее: [1]
Простейшим случаем периодических орбит является орбита «улыбки», которую Туфилларо назвал орбитами типа А в своей статье 1984 года. [1]
Орбита «улыбки» качающейся машины Этвуда для , , и нулевая начальная скорость.
Орбита качающейся машины Атвуда для , , и нулевая начальная скорость.
Орбита качающейся машины Атвуда для , , и нулевая начальная скорость.
Орбита качающейся машины Атвуда для , , и нулевая начальная скорость.
Особые орбиты
Движение является сингулярным, если в какой-то момент качающаяся масса проходит через начало координат. Поскольку система инвариантна относительно обращения времени и перемещения, это эквивалентно тому, что маятник начинается в начале координат и запускается наружу: [1]
Область, близкая к оси, особенная, так как близка к нулю и уравнения движения требуют деления на . Таким образом, для тщательного анализа этих случаев необходимо использовать специальные методы. [9]
Ниже приведены графики произвольно выбранных особых орбит.
Орбита качающейся машины Атвуда для , , и нулевая начальная скорость.
Орбита качающейся машины Атвуда для , , и нулевая начальная скорость.
Столкновение орбит
Орбиты столкновения (или завершающие особые) орбиты - это подмножество особых орбит, образующихся, когда качающаяся масса выбрасывается из своей оси с начальной скоростью, так что она возвращается к оси (т. Е. Сталкивается с ней):
Самый простой случай столкновения орбит - это орбиты с отношением масс 3, которые всегда будут возвращаться симметрично в исходную точку после выброса из исходной точки, и в первоначальной статье Туфилларо были названы орбитами типа B. [1] Их также называли глазницами в форме слезы, сердца или кроличьего уха из-за их внешнего вида. [3] [7] [8] [9]
Когда качающаяся масса возвращается в исходное положение, масса противовеса, должен мгновенно изменить направление, вызывая бесконечное натяжение соединительной струны. Таким образом, мы можем считать, что движение прекращено в это время. [1]
Ограниченность
Для любого начального положения можно показать, что качающаяся масса ограничена кривой, которая представляет собой коническое сечение . [2] Поворот всегда находится в фокусе этой ограничивающей кривой. Уравнение для этой кривой может быть получено путем анализа энергии системы и использования сохранения энергии. Предположим, что освобожден от покоя в а также . Таким образом, общая энергия системы составляет:
Однако обратите внимание, что в граничном случае скорость качающейся массы равна нулю. [2] Следовательно, мы имеем:
Чтобы увидеть, что это уравнение конического сечения, выделим для :
Обратите внимание, что числитель является константой, зависящей только от начального положения в этом случае, поскольку мы предположили, что начальное состояние находится в состоянии покоя. Однако постоянная энергиитакже может быть вычислен для ненулевой начальной скорости, и уравнение остается верным во всех случаях. [2] эксцентриситет конического сечения является. Для, это эллипс, а система ограничена, и качающаяся масса всегда остается внутри эллипса. Для, это парабола и для это гипербола; в любом из этих случаев он не ограничен. В видестановится сколь угодно большим, ограничивающая кривая приближается к окружности. Область, ограниченная кривой, известна как область Хилла. [2]
Недавнее трехмерное расширение
Новый интегрируемый случай для проблемы трехмерной вращающейся машины Этвуда (3D-SAM) был объявлен в 2016 году. [10] Как и в 2D-версии, проблема интегрируема, когда.
Рекомендации
- ^ a b c d e f g h я Туфилларо, Николас Б.; Abbott, Tyler A .; Гриффитс, Дэвид Дж. (1984). «Качающаяся машина Этвуда». Американский журнал физики . 52 (10): 895–903. Bibcode : 1984AmJPh..52..895T . DOI : 10.1119 / 1.13791 .
- ^ а б в г д Туфилларо, Николас Б .; Nunes, A .; Касасаяс, Дж. (1988). «Неограниченные орбиты качающейся машины Этвуда». Американский журнал физики . 56 : 1117. Bibcode : 1988AmJPh..56.1117T . DOI : 10.1119 / 1.15774 .
- ^ а б в Туфилларо, Николас Б. (1982). Улыбки и слезы (Диссертация). Рид-колледж .
- ^ а б Пужоль, Оливье; Perez, JP; Simo, C .; Саймон, S .; Вейль, Дж. А. (2010). «Качающаяся машина Этвуда: экспериментальные и численные результаты, а также теоретическое исследование». Physica D . 239 (12): 1067–1081. arXiv : 0912.5168 . Bibcode : 2010PhyD..239.1067P . DOI : 10.1016 / j.physd.2010.02.017 .
- ^ Туфилларо, Николас Б. (1986). «Интегрируемое движение качающейся машины Этвуда». Американский журнал физики . 54 (2): 142. Bibcode : 1986AmJPh..54..142T . DOI : 10.1119 / 1.14710 .
- ^ Casasayas, J .; Nunes, A .; Туфилларо, Н. (1990). «Качающаяся машина Этвуда: интегрируемость и динамика» . Journal de Physique . 51 (16): 1693–1702. DOI : 10.1051 / jphys: 0199000510160169300 . ISSN 0302-0738 .
- ^ а б Туфилларо, Николас Б. (1994). "Слеза и сердечные орбиты качающейся машины Этвудса". Американский журнал физики . 62 (3): 231–233. arXiv : chao-dyn / 9302006 . Bibcode : 1994AmJPh..62..231T . DOI : 10.1119 / 1.17602 .
- ^ а б Туфилларо, Николас Б. (1985). «Движения качающейся машины Этвуда». Journal de Physique . 46 (9): 1495–1500. DOI : 10.1051 / jphys: 019850046090149500 .
- ^ а б Туфилларо, Николас Б. (1985). «Столкновение орбит качающейся машины Этвуда» (PDF) . Journal de Physique . 46 : 2053–2056. DOI : 10.1051 / jphys: 0198500460120205300 .
- ^ Эльмандух, AA (2016). «Об интегрируемости движения трехмерного качающегося станка Этвуда и связанных с этим проблем». Физика Буквы A . 380 : 989. Bibcode : 2016PhLA..380..989E . DOI : 10.1016 / j.physleta.2016.01.021 .
дальнейшее чтение
- Алмейда, М.А., Морейра, И.К. и Сантос, Ф.К. (1998) «Об анализе Зиглина-Йошиды для некоторых классов однородных гамильтоновых систем», Brazilian Journal of Physics Vol.28 n.4 São Paulo Dec.
- Баррера, Эммануэль Ян (2003) Динамика дважды раскачивающейся машины Этвуда , докторская диссертация, Национальный институт физики, Университет Филиппин.
- Бабелон, О., М. Талон, М.К. Пейранере (2010), «Анализ Ковалевски качающейся машины Этвуда», Journal of Physics A: Mathematical and Thetical Vol. 43 (8).
- Брюн Б. (1987) "Хаос и порядок в слабосвязанных системах нелинейных осцилляторов", Physica Scripta Vol.35 (1).
- Дж. Касасаяс, Н. Б. Туфилларо и А. Нунес (1989) «Бесконечное многообразие качающейся машины Этвуда», Европейский журнал физики, том 10 (10), стр. 173.
- Дж. Касасаяс, А. Нуньес и Н. Б. Туфилларо (1990) «Качающаяся машина Этвуда: интегрируемость и динамика», Journal de Physique Vol.51, p1693.
- Чоудхури, А. Рой и М. Дебнат (1988) "Качающаяся машина Этвуда. Дальняя и почти резонансная область", Международный журнал теоретической физики , Vol. 27 (11), с. 1405-1410.
- Гриффитс DJ и Т.А. Эбботт (1992) «Комментарий к» «Удивительная демонстрация механики», « Американский журнал физики, том 60 (10), стр. 951-953.
- Морейра, И.К. и М.А. Алмейда (1991) «Симметрии Нётер и качающаяся машина Этвуда», Journal of Physics II France 1, p711-715.
- Нунес, А., Дж. Касасаяс и Н. Б. Туфилларо (1995) "Периодические орбиты интегрируемой качающейся машины Атвуда", Американский журнал физики, том 63 (2), стр. 121-126.
- Ouazzani-TH, A. и Ouzzani-Jamil, M., (1995) "Бифуркации торов Лиувилля интегрируемого случая качающейся машины Атвуда", Il Nuovo Cimento B Vol. 110 (9).
- Оливье, Пуйоль, JP Perez, JP Ramis, C. Simo, S. Simon, JA Weil (2010), «Качающаяся машина Этвуда: экспериментальные и численные результаты и теоретическое исследование», Physica D 239, стр. 1067–1081.
- Sears, R. (1995) "Комментарий к" Удивительной демонстрации механики ", Американский журнал физики , том 63 (9), стр. 854-855.
- Yehia, HM, (2006) "Об интегрируемости движения тяжелой частицы на наклонном конусе и качающейся машине Атвуда", Механика Research Communications Vol. 33 (5), стр. 711–716.
Внешние ссылки
- Пример использования в бакалавриате: симплектические интеграторы
- Курс Имперского колледжа
- Oscilaciones en la máquina de Atwood
- «Улыбки и слезы» (1982)
- 2007 Мастерская
- 2010 Видео экспериментальной качающейся машины Этвуда
- Обновленная информация о качающейся машине Этвуда на собрании APS 2010 г., 8:24, пятница, 19 марта 2010 г., Портленд, Орегон
- Интерактивное веб-приложение Swinging Atwood's Machine
- Открытый исходный код Java для запуска Swinging Atwood's Machine