Тетрадный формализм

Тетрадный формализм является подходом к общей теории относительности , обобщающий выбор основы для касательного расслоения с координатной основой для менее ограничительного выбора локального базиса, т.е. локально определенный набор из четырех линейно независимых векторных полей называется тетрадой или вирбеином . ^[1] Это частный случай более общей идеи формализма Vielbein , который установлен в римановой геометрии . В нынешней статье часто упоминается общая теория относительности; однако почти все, что в нем говорится, в равной степени применимо кРимановы многообразия вообще и даже спиновые многообразия . Большинство операторов проводить просто путем замены произвольного для . В немецком языке «vier» переводится как «четыре», а «viel» - как «многие».${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 4}$

Общая идея состоит в том, чтобы записать метрический тензор как произведение двух контрольных точек , одного слева и одного справа. Эффект контрольных точек состоит в изменении системы координат, используемой на касательном многообразии, на более простую или более подходящую для вычислений. Часто бывает так , что система координат репер ортонормальна, как правило , самый простой в использовании. Большинство тензоров в этой системе координат становятся простыми или даже тривиальными; таким образом, сложность большинства выражений оказывается скорее артефактом выбора координат, чем врожденным свойством или физическим эффектом. То есть, как формализм , он не меняет предсказаний; это скорее вычислительная техника.

Преимущество тетрадного формализма перед стандартным подходом к общей теории относительности, основанным на координатах, заключается в возможности выбора тетрадного базиса для отражения важных физических аспектов пространства-времени. Обозначение абстрактного индекса обозначает тензоры, как если бы они были представлены их коэффициентами по отношению к фиксированной локальной тетраде. По сравнению с полностью свободной от координат нотацией , которая часто концептуально более ясна, она обеспечивает простой и явный с вычислительной точки зрения способ обозначения сокращений.

Значение тетрадического формализма проявляется в формулировке общей теории относительности Эйнштейна – Картана . Тетрадический формализм теории более фундаментален, чем ее метрическая формулировка, поскольку невозможно преобразовать тетрадную и метрическую формулировки фермионных действий, несмотря на то, что это возможно для бозонных действий. Это эффективно потому, что спиноры Вейля могут быть очень естественно определены на римановом многообразии ^[2], и их естественная установка приводит к спиновой связности . Эти спиноры принимают форму в реперной системе координат, а не в системе координат многообразия.

Привилегированный тетрадный формализм также появляется в деконструкции из более высокой размерности Калуцы-Клейн гравитационных теорий ^[3] и массивных гравитационных теорий, в которых дополнительные размерности ( и ) / заменены на серию из N решетки сайтов , такие , что чем выше метрических заменяется набором взаимодействующих показателей, которые зависят только от компонентов 4D. ^[4] Vielbeins обычно появляются в других общих условиях в физике и математике. Vielbeins можно понимать как формы припоя .

Математическая формулировка [ править ]

В формализме тетрад ^[5] выбран тетрадный базис: набор независимых векторных полей${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle e_ {a} = e_ {a} {} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu}}$

для этого вместе покрывают -мерное касательное расслоение в каждой точке пространственно-временного многообразия . Таким образом, референс (или тетрада в четырех измерениях) определяет (и определяется) дуальный ковейлбейн (ко-тетрада) - набор независимых 1-форм .${\ Displaystyle а = 1, \ ldots, п}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n}$

${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

такой, что

${\displaystyle e^{a}(e_{b})=e^{a}{}_{\mu }e^{\mu }{}_{b}=\delta _{b}^{a},}$

где - дельта Кронекера . Реперная точка обычно задается своими коэффициентами относительно базиса координат, несмотря на то, что выбор набора (локальных) координат не является необходимым для задания тетрады. Каждый ковектор представляет собой форму припоя .${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$${\displaystyle e^{\mu }{}_{a}}$${\displaystyle x^{\mu }}$

С точки зрения дифференциальной геометрией из пучков волокон , четыре векторных полей определить секцию рамы расслоения , т.е. параллелизации из которого эквивалентен изоморфизма . Так как не каждое многообразие является параллелизируемым, репер можно выбрать только локально ( то есть только на координатной карте, а не на всех ).${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=1\dots n}}$ ${\displaystyle U\subset M}$${\displaystyle TU\cong U\times {\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$

Все тензоры теории могут быть выражены в векторном и ковекторном базисах, выражая их как линейные комбинации членов (со) референсной системы. Например, метрика пространства - времени тензор может быть преобразована из координатного базиса к тетрады основе .

Популярные тетрадные основы в общей теории относительности включают ортонормированные тетрады и нулевые тетрады. Нулевые тетрады состоит из четырех векторов нуль , поэтому часто используются в задачах , связанных с радиацией, и являются основой формализма Ньюмена-Пенроуза и формализма GHP .

Отношение к стандартному формализму [ править ]

Стандартный формализм дифференциальной геометрии (и общей теории относительности) состоит просто из использования координатной тетрады в формализме тетрад. Координатная тетрада - это канонический набор векторов, связанных с координатной картой . Обычно обозначается координатная тетрада, тогда как обозначается двойная котетрада . Эти касательные векторы обычно определяются как операторы производной по направлению : для данной карты, которая отображает подмножество многообразия в координатное пространство и любое скалярное поле , координатные векторы таковы, что:${\displaystyle \{\partial _{\mu }\}}$${\displaystyle \{dx^{\mu }\}}$${\displaystyle {\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \partial _{\mu }[f]\equiv {\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x^{\mu }}}.}$

Определение cotetrad использует обычное злоупотребление обозначениями для определения ковекторов (1-форм) на . Участие координатной тетрады обычно не указывается явно в стандартном формализме. В формализме тетрад вместо того, чтобы полностью писать тензорные уравнения (включая тетрадные элементы и тензорные произведения, как указано выше) , упоминаются только компоненты тензоров. Например, метрика записывается как « ». Когда тетрада не указана, это становится вопросом определения типа тензора, называемого нотацией абстрактного индекса . Это позволяет легко указать сокращение между тензорами, повторяя индексы, как в соглашении о суммировании Эйнштейна.${\displaystyle dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle g_{ab}}$

Смена тетрад - обычная операция в стандартном формализме, так как она участвует в каждом преобразовании координат (т. Е. Переходе от одного базиса координатной тетрады к другому). Переключение между несколькими координатными диаграммами необходимо, потому что, за исключением тривиальных случаев, одна координатная карта не может покрыть все многообразие. Переход на общие тетрады и между ними очень похож и одинаково необходим (за исключением параллелизуемых многообразий ). Любой тензор можно локально записать в терминах этой координатной тетрады или общей (ко) тетрады.

Например, метрический тензор можно выразить как:${\displaystyle \mathbf {g} }$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\qquad {\text{where}}~g_{\mu \nu }=\mathbf {g} (\partial _{\mu },\partial _{\nu }).}$

(Здесь мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании ). Аналогично, метрика может быть выражена относительно произвольной (ко) тетрады как

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}\qquad {\text{where}}~g_{ab}=\mathbf {g} \left(e_{a},e_{b}\right).}$

Здесь мы используем выбор алфавита ( латинский и греческий ) для индексных переменных, чтобы различать применимый базис.

Мы можем перейти от общей котетрады к координатной котетраде, расширив ковектор . Затем мы получаем ${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$

откуда следует, что . Аналогично разложив по общей тетраде, получим${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }}$${\displaystyle dx^{\mu }=e^{\mu }{}_{a}e^{a}}$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}e^{b}}$

который показывает это .${\displaystyle g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}}$

Манипуляции с индексами [ править ]

Манипуляции с коэффициентами тетрад показывают, что формулы абстрактных индексов, в принципе, могут быть получены из тензорных формул относительно координатной тетрады путем «замены греческих индексов на латинские». Однако следует позаботиться о том, чтобы формула координатной тетрады определяла истинный тензор при дифференцировании. Поскольку координатные векторные поля имеют исчезающую скобку Ли (т. Е. Коммутируют :) , наивные подстановки формул, которые правильно вычисляют тензорные коэффициенты относительно координатной тетрады, могут неправильно определять тензор относительно общей тетрады, поскольку скобка Ли не обращается в нуль. : . Таким образом, иногда говорят, что тетрадные координаты обеспечивают неголономный базис .${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }=\partial _{\nu }\partial _{\mu }}$${\displaystyle [e_{a},e_{b}]\neq 0}$

Например, тензор кривизны Римана для общих векторных полей определяется как${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)}$.

В координатной тетраде это дает тензорные коэффициенты

${\displaystyle R_{\ \nu \sigma \tau }^{\mu }=dx^{\mu }\left((\nabla _{\sigma }\nabla _{\tau }-\nabla _{\tau }\nabla _{\sigma })\partial _{\nu }\right).}$

Наивная замена последнего выражения с греческого на латинский

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c})e_{b}\right)\qquad {\text{(wrong!)}}}$

неверно, потому что для фиксированных c и d , в общем случае, является дифференциальным оператором первого порядка, а не оператором нулевого порядка, который определяет тензорный коэффициент. Однако, подставляя общий тетрадный базис в абстрактную формулу, мы находим правильное определение кривизны в обозначении абстрактного индекса: ${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}\right)}$

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e})e_{b}\right)}$

где . Обратите внимание, что выражение действительно является оператором нулевого порядка, следовательно (( c d ) -компонента) тензор. Поскольку он согласуется с координатным выражением для кривизны, когда специализируется на координатной тетраде, ясно, даже без использования абстрактного определения кривизны, что он определяет тот же тензор, что и базисное координатное выражение.${\displaystyle [e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}}$${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)}$

Пример: группы лжи [ править ]

Учитывая вектор (или ковектор) в касательном (или котангенсном) многообразии, экспоненциальное отображение описывает соответствующую геодезическую этого касательного вектора. Написав , параллельный перенос дифференциала соответствует${\displaystyle X\in TM}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+\cdots }$

Вышесказанное легко проверить, просто взяв в качестве матрицы.${\displaystyle X}$

Для частного случая алгебры Ли , то можно принять как элемент алгебры экспоненциальный является экспоненциальным отображением группы Ли и группа элементы соответствуют геодезическим касательному вектору. Выбирая базис алгебры Ли и записывая для некоторых функций коммутаторы, можно явно выписать коммутаторы. Легко вычислить, что${\displaystyle X}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle X=X^{i}e_{i}}$${\displaystyle X^{i},}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots }$

для тех структурных констант алгебры Ли. Более компактно серию можно записать как ${\displaystyle [e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j}}$

с бесконечным рядом

${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}$

Здесь - матрица с матричными элементами . Тогда матрица - это опорная точка; он выражает дифференциал в терминах «плоских координат» (при этом ортонормированных) .${\displaystyle M}$${\displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle dX^{j}}$${\displaystyle e_{i}}$

Для некоторого отображения из некоторого многообразия в некоторую группу Ли метрический тензор на многообразии становится обратным представлением метрического тензора на группе Ли : ${\displaystyle N\to G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B_{mn}}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}B_{mn}{W^{n}}_{j}}$

Метрический тензор на группе Ли - это метрика Картана, также известная как форма Киллинга . Обратите внимание, что в качестве матрицы вторая буква W является транспонированной. Для (псевдо) риманова многообразия метрика является (псевдо) римановой метрикой . Сказанное выше обобщается на случай симметрических пространств . ^[6] Эти контрольные образцы используются для выполнения вычислений в сигма-моделях , частным случаем которых являются теории супергравитации . ^[7]${\displaystyle B_{mn}}$${\displaystyle N}$

См. Также [ править ]

• Комплект кадров
• Пакет ортонормированных кадров
• Основной пакет
• Набор вращений
• Связь (математика)
• G-структура
• Спиновый коллектор
• Структура спина
• Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• De Felice, F .; Кларк, CJS (1990), Относительность криволинейных многообразий (впервые опубликовано в 1990 году), Cambridge University Press, ISBN 0-521-26639-4
• Бенн, И.М.; Такер, Р.В. (1987), Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике (впервые опубликовано в 1987 году), Адам Хильгер, ISBN 0-85274-169-3

Внешние ссылки [ править ]

• Общая теория относительности с тетрадами