Пусть ( ê 1 , ê 2 , ê 3 ) - фиксированная в теле система координат, которая путем изменения ориентации A переводится в новые направления
Любой вектор
вращение вместе с телом затем приводится в новом направлении
то есть это линейный оператор
Матрица этого оператора по отношению к системе координат ( ê 1 , ê 2 , ê 3 ) является
В виде
или эквивалентно в матричной записи
матрица ортогональна, и поскольку правосторонняя система базовых векторов переориентируется в другую правостороннюю систему, определитель этой матрицы имеет значение 1.
Вращение вокруг оси
Пусть ( ê 1 , ê 2 , ê 3 ) - ортогональная положительно ориентированная базовая векторная система в R 3 . Линейный оператор «поворот на угол θ вокруг оси, определяемой ê 3 » имеет матричное представление
относительно этой системы базовых векторов. Тогда это означает, что вектор
повернут к вектору
линейным оператором. Определитель этой матрицы
а характеристический полином равен
Матрица является симметричной тогда и только тогда, когда sin θ = 0 , то есть для θ = 0 и θ = π . Случай θ = 0 - тривиальный случай тождественного оператора. Для случая θ = π характеристический полином является
так что оператор вращения имеет собственные значения
Собственное подпространство, соответствующее λ = 1, - это все векторы на оси вращения, а именно все векторы
Собственное подпространство, соответствующее λ = −1, состоит из всех векторов, ортогональных оси вращения, а именно всех векторов
Для всех других значений θ матрица не является симметричной, и поскольку sin 2 θ > 0 существует только собственное значение λ = 1 с одномерным собственным подпространством векторов на оси вращения:
Матрица вращения на угол θ вокруг общей оси вращения k задается формулой вращения Родригеса .
где I - единичная матрица, а [ k ] × - двойная 2-форма к k или матрице перекрестного произведения ,
Обратите внимание, что [ k ] × удовлетворяет [ k ] × v = k × v для всех векторов v .
Общий случай
Обсуждаемый выше оператор «поворот на угол θ вокруг заданной оси» является ортогональным отображением, и его матрица относительно любой системы базовых векторов, следовательно, является ортогональной матрицей . Кроме того, его определитель имеет значение 1. Нетривиальный факт противоположен тому, что для любого ортогонального линейного отображения в R 3 с определителем 1 существуют базовые векторы ê 1 , ê 2 , ê 3 такие, что матрица принимает "канонический вид" "
для некоторого значения θ . Фактически, если линейный оператор имеет ортогональную матрицу
относительно некоторой системы базовых векторов ( f̂ 1 , f̂ 2 , f̂ 3 ) и эта матрица симметрична, применяется «теорема о симметричном операторе», действующая в R n (любое измерение), говоря, что она имеет n ортогональных собственных векторов. Для трехмерного случая это означает, что существует система координат ê 1 , ê 2 , ê 3 такая, что матрица принимает вид
Поскольку это ортогональная матрица, эти диагональные элементы B ii равны 1 или -1. Поскольку определитель равен 1, эти элементы либо все равны 1, либо один из элементов равен 1, а два других равны -1. В первом случае это тривиальный тождественный оператор, соответствующий θ = 0 . Во втором случае он имеет вид
если базовые векторы пронумерованы так, что вектор с собственным значением 1 имеет индекс 3. Тогда эта матрица имеет желаемый вид для θ = π .
Если матрица несимметрична, вектор
где
отличен от нуля. Этот вектор является собственным вектором с собственным значением λ = 1 . Параметр
и выбирая любые два ортогональных единичных вектора ê 1 и ê 2 в плоскости, ортогональной ê 3 , так что ê 1 , ê 2 , ê 3 образуют положительно ориентированную тройку, оператор принимает желаемую форму с
Приведенные выше выражения фактически справедливы также для случая симметричного оператора вращения, соответствующего вращению с θ = 0 или θ = π . Но разница в том, что при θ = π вектор
равен нулю и бесполезен для нахождения собственного подпространства собственного значения 1 и, следовательно, оси вращения.
Определяя E 4 как cos θ, матрица для оператора вращения имеет вид
при условии, что
то есть, за исключением случаев θ = 0 (тождественный оператор) и θ = π .
Кватернионы определяются аналогично E 1 , E 2 , E 3 , E 4 с той разницей, что половина углаθ/2используется вместо полного угла θ . Это означает, что первые 3 компонента q 1 , q 2 , q 3 компоненты вектора, определенного из
и что четвертый компонент - это скаляр
Поскольку угол θ, определенный из канонической формы, находится в интервале
обычно q 4 ≥ 0 . Но используется "двойственное" представление вращения с кватернионами, то есть ( q 1 , q 2 , q 3 , q 4 )}} и (- q 1 , - q 2 , - ' q 3 , - q 4 ) - два альтернативных представления одного и того же вращения.
Сущности E k определяются из кватернионов формулой
Используя кватернионы, матрица оператора вращения имеет вид
Рассмотрим переориентацию, соответствующую углам Эйлера α = 10 ° , β = 20 ° , γ = 30 ° относительно данной базовой векторной системы ( f̂ 1 , f̂ 2 , f̂ 3 ) . Соответствующая матрица относительно этой базовой векторной системы (см. Углы Эйлера # Ориентация матрицы )
и кватернион
Каноническая форма этого оператора
с θ = 44,537 ° получается с
Кватернион относительно этой новой системы тогда
Вместо того, чтобы делать три оборота Эйлера на 10 °, 20 °, 30 °, ту же ориентацию можно получить за один единственный поворот размером 44,537 ° вокруг ê 3 .