В физике , топологический порядок [1] является своим родом порядка в нулевой температуре фазе вещества (также известная как квантовая материя). Макроскопически топологический порядок определяется и описывается устойчивым вырождением основного состояния [2] и квантованными неабелевыми геометрическими фазами вырожденных основных состояний. [1] Микроскопически топологические порядки соответствуют моделям дальнодействующей квантовой запутанности . [3] Состояния с разными топологическими порядками (или разными паттернами дальнодействующих зацеплений) не могут переходить друг в друга без фазового перехода.
Различные топологически упорядоченные состояния обладают интересными свойствами, такими как (1) топологическое вырождение и дробная статистика или неабелева статистика, которые можно использовать для реализации топологического квантового компьютера; (2) состояния кромки с идеальной проводимостью, которые могут иметь важное применение в устройствах; (3) возникающее калибровочное поле и статистика Ферми, которые предполагают квантово-информационное происхождение элементарных частиц; [4] (4) топологическая энтропия запутанности, которая раскрывает происхождение запутанности топологического порядка и т. Д. Топологический порядок важен при изучении нескольких физических систем, таких как спиновые жидкости [5] [6] [7] [8] и квантовый эффект Холла , [9] [10] , а также возможности применения к отказоустойчивой квантовых вычислений . [11]
Топологические изоляторы [12] и топологические сверхпроводники (за пределами 1D) не имеют топологического порядка, как определено выше, их зацепления являются лишь небольшими.
Задний план
Хотя вся материя состоит из атомов , материя может иметь разные свойства и проявляться в разных формах, таких как твердое тело , жидкость , сверхтекучая среда и т. Д. Эти различные формы материи часто называют состояниями материи или фазами . Согласно физике конденсированного состояния и принципу возникновения , различные свойства материалов происходят от различных способов организации атомов в материалах. Эти различные организации атомов (или других частиц) формально называются порядками в материалах. [13]
Атомы могут организовываться по-разному, что приводит к множеству разных порядков и множеству разных типов материалов. Теория нарушения симметрии Ландау дает общее представление об этих различных порядках. Он указывает на то, что разные порядки действительно соответствуют разным симметриям в организациях составляющих атомов. Когда материал изменяется от одного порядка к другому (то есть, когда материал претерпевает фазовый переход ), происходит то, что симметрия организации атомов изменяется.
Например, атомы в жидкости имеют случайное распределение , поэтому жидкость остается такой же, как мы смещаем атомы на произвольное расстояние. Мы говорим, что жидкость обладает непрерывной трансляционной симметрией . После фазового перехода жидкость может превратиться в кристалл . В кристалле атомы организованы в регулярный массив ( решетку ). Решетка остается неизменной только тогда, когда мы смещаем ее на определенное расстояние (целое число, умноженное на постоянную решетки ), поэтому кристалл имеет только дискретную трансляционную симметрию . Фазовый переход между жидкостью и кристаллом - это переход, который снижает непрерывную трансляционную симметрию жидкости до дискретной симметрии кристалла. Такое изменение симметрии называется нарушением симметрии . Таким образом, суть различия между жидкостями и кристаллами состоит в том, что организации атомов имеют разную симметрию в двух фазах.
Теория нарушения симметрии Ландау оказалась очень успешной теорией. Долгое время физики считали, что теория Ландау описывает все возможные порядки в материалах и все возможные (непрерывные) фазовые переходы.
Открытие и характеристика
Однако с конца 1980-х постепенно стало очевидно, что теория нарушения симметрии Ландау не может описывать все возможные порядки. В попытке объяснить высокую сверхпроводимость [14] хиральное состояние спинового было введено. [5] [6] Сначала физики все еще хотели использовать теорию нарушения симметрии Ландау для описания кирального спинового состояния. Они определили состояние кирального спина как состояние, которое нарушает симметрию обращения времени и четности, но не симметрию вращения спина. Согласно описанию порядка Ландау, нарушающему симметрию, на этом история и должна быть завершена. Однако быстро стало понятно, что существует множество различных киральных спиновых состояний, которые имеют точно такую же симметрию, поэтому одной симметрии было недостаточно, чтобы охарактеризовать разные киральные спиновые состояния. Это означает, что киральные спиновые состояния содержат новый вид порядка, выходящий за рамки обычного описания симметрии. [15] Предложенный новый вид порядка получил название «топологический порядок». [1] Название «топологический порядок» мотивировано низкоэнергетической эффективной теорией киральных спиновых состояний, которая является топологической квантовой теорией поля (TQFT). [16] [17] [18] Новые квантовые числа, такие как вырождение основного состояния [15] (которое может быть определено в замкнутом пространстве или открытом пространстве с залитыми границами, включая как абелевы топологические порядки [19] [20], так и неабелев топологический порядок [21] [22] ) и неабелева геометрическая фаза вырожденных основных состояний [1] были введены для характеристики и определения различных топологических порядков в киральных спиновых состояниях. Совсем недавно было показано, что топологические порядки также можно характеризовать топологической энтропией . [23] [24]
Но эксперименты [ какие? ] вскоре указал [ как? ], что киральные спиновые состояния не описывают высокотемпературные сверхпроводники, и теория топологического порядка стала теорией, не имеющей экспериментального воплощения. Однако сходство между киральными спиновыми состояниями и квантовыми состояниями Холла позволяет использовать теорию топологического порядка для описания различных квантовых состояний Холла. [2] Так же, как киральные спиновые состояния, разные квантовые состояния Холла имеют одинаковую симметрию и находятся за пределами описания нарушения симметрии Ландау. Обнаруживается, что разные порядки в разных квантовых состояниях Холла действительно могут быть описаны топологическими порядками, поэтому топологический порядок действительно имеет экспериментальную реализацию.
Дробный квантовый эффект Холла (FQH) состояние было открыто в 1982 г. [9] [10] до введения понятия топологического порядка в 1989 г. Но государство FQH не первый экспериментально обнаружен топологически упорядоченное состояние. Сверхпроводник , обнаруженный в 1911 году, является первым экспериментально обнаружено топологический упорядоченным состоянием; он имеет топологический порядок Z 2 . [примечания 1]
Хотя топологически упорядоченные состояния обычно возникают в сильно взаимодействующих системах бозон / фермион, простой вид топологического порядка может также возникать в системах со свободными фермионами. Такой вид топологического порядка соответствует интегральному квантовому холловскому состоянию, которое может быть охарактеризовано числом Черна заполненной энергетической зоны, если мы рассматриваем целочисленное квантовое холловское состояние на решетке. Теоретические расчеты показали, что такие числа Черна могут быть измерены для свободной фермионной системы экспериментально. [29] [30] Также хорошо известно, что такое число Черна может быть измерено (возможно, косвенно) по краевым состояниям.
Наиболее важная характеристика топологических порядков бы основные фракционировать возбуждения (например, анионы ) и их статистика слияния и плетение статистика (которая может выйти за пределы квантовой статистики о бозонов или фермионов ). Текущие исследования показывают, что петлеобразные и струнные возбуждения существуют для топологических порядков в трехмерном пространстве-времени 3 + 1, а их статистика многопетлевых / переплетенных цепочек является решающей сигнатурой для идентификации 3 + 1-мерных топологических порядков. [31] [32] [33] Многопетлевые / переплетенные струны статистики 3 + 1-мерных топологических порядков могут быть захвачены инвариантами связей конкретной топологической квантовой теории поля в 4-х пространственно-временных измерениях. [33]
Механизм
Большой класс топологических порядков 2 + 1D реализуется с помощью механизма, называемого струнно-сеточной конденсацией . [34] Этот класс топологических порядков может иметь пропущенное ребро и классифицируется теорией унитарной категории слияния (или моноидальной категории ). Обнаруживается, что конденсация струнно-сетчатой структуры может порождать бесконечно много различных типов топологических порядков, что может указывать на то, что есть еще много различных новых типов материалов, которые еще предстоит открыть.
Коллективные движения конденсированных струн вызывают возбуждения над конденсированными состояниями струнной сети. Эти возбуждения оказываются калибровочными бозонами . Концы струн - это дефекты, соответствующие другому типу возбуждений. Эти возбуждения являются калибровочными зарядами и могут нести статистику Ферми или дробную статистику . [35]
Конденсация других протяженных объектов, таких как « мембраны », [36] «бранные сети», [37] и фракталы, также приводят к топологически упорядоченным фазам [38] и «квантовой стекловидности». [39] [40]
Математическая формулировка
Мы знаем, что теория групп - это математическая основа порядков нарушения симметрии. Какова математическая основа топологического порядка? Было обнаружено, что подкласс 2 + 1D топологических порядков - абелевы топологические порядки - можно классифицировать с помощью K-матричного подхода. [41] [42] [43] [44] Конденсация струнной сети предполагает, что тензорная категория (такая как категория слияния или моноидальная категория ) является частью математической основы топологического порядка в 2 + 1D. Более поздние исследования предполагают, что (вплоть до обратимых топологических порядков, не имеющих дробных возбуждений):
- 2 + 1D бозонные топологические порядки классифицируются по унитарным модулярным тензорным категориям.
- 2 + 1D-бозонные топологические порядки с симметрией G классифицируются по G-скрещенным тензорным категориям.
- 2 + 1D бозонные / фермионные топологические порядки с симметрией G классифицируются по унитарным категориям сплетенного слияния над симметричной категорией слияния, имеющей модульные расширения. Симметричная категория слияния Rep (G) для бозонных систем и sRep (G) для фермионных систем.
Топологический порядок в высших измерениях может быть связан с теорией n-категорий. Квантовая операторная алгебра - очень важный математический инструмент при изучении топологических порядков.
Некоторые также предполагают, что топологический порядок математически описывается расширенной квантовой симметрией . [45]
Приложения
Материалы, описываемые теорией нарушения симметрии Ландау, оказали существенное влияние на технологии. Например, ферромагнитные материалы, нарушающие симметрию вращения спина, могут использоваться в качестве носителя для хранения цифровой информации. Жесткий диск из ферромагнитных материалов может хранить гигабайты информации. Жидкие кристаллы , нарушающие вращательную симметрию молекул, находят широкое применение в дисплейной технике. Кристаллы, которые нарушают трансляционную симметрию, приводят к четко определенным электронным зонам, которые, в свою очередь, позволяют нам создавать полупроводниковые устройства, такие как транзисторы . Различные типы топологических порядков даже богаче, чем разные типы порядков, нарушающих симметрию. Это говорит об их потенциале для интересных, новых приложений.
Одно из теоретических применений могло бы заключаться в использовании топологически упорядоченных состояний в качестве среды для квантовых вычислений в технике, известной как топологические квантовые вычисления . Топологически упорядоченное состояние - это состояние со сложной нелокальной квантовой запутанностью . Нелокальность означает, что квантовая запутанность в топологически упорядоченном состоянии распределена между множеством различных частиц. В результате структура квантовых зацеплений не может быть разрушена локальными возмущениями. Это значительно снижает эффект декогеренции . Это говорит о том, что если мы используем различные квантовые зацепления в топологически упорядоченном состоянии для кодирования квантовой информации, информация может храниться намного дольше. [46] Квантовой информацией, закодированной топологическими квантовыми связями, также можно манипулировать, перетаскивая топологические дефекты друг вокруг друга. Этот процесс может предоставить физический аппарат для выполнения квантовых вычислений . [47] Таким образом, топологически упорядоченные состояния могут обеспечивать естественную среду как для квантовой памяти, так и для квантовых вычислений. Такие реализации квантовой памяти и квантовых вычислений потенциально могут быть отказоустойчивыми . [48]
Топологически упорядоченные состояния вообще обладают особым свойством, состоящим в том, что они содержат нетривиальные граничные состояния. Во многих случаях эти граничные состояния становятся идеальным проводящим каналом, по которому можно проводить электричество без выделения тепла. [49] Это может быть еще одним потенциальным применением топологического порядка в электронных устройствах.
Аналогично топологическому порядку топологические изоляторы [50] [51] также имеют бесщелевые граничные состояния. Граничные состояния топологических изоляторов играют ключевую роль в обнаружении и применении топологических изоляторов. Это наблюдение естественным образом приводит к вопросу: являются ли топологические изоляторы примерами топологически упорядоченных состояний? Фактически топологические изоляторы отличаются от топологически упорядоченных состояний, определенных в этой статье. Топологические изоляторы имеют только ближние зацепления и не имеют топологического порядка, в то время как топологический порядок, определенный в этой статье, представляет собой образец дальнодействующего зацепления. Топологический порядок устойчив к любым возмущениям. У него есть возникающая калибровочная теория, возникающий дробный заряд и дробная статистика. Напротив, топологические изоляторы устойчивы только к возмущениям, которые учитывают обращение времени и симметрию U (1). Их квазичастичные возбуждения не имеют дробного заряда и дробной статистики. Строго говоря, топологическое изолятор является примером симметрии защищенных топологической (SPT) для того , [52] , где первый пример SPT порядка является фаза Халдейн спин-1 цепи. [53] [54] [55] [56] Но фаза Холдейна цепочки со спином 2 не имеет СПД-порядка.
Потенциальное воздействие
Теория нарушения симметрии Ландау - краеугольный камень физики конденсированного состояния . Используется для определения территории исследования конденсированного состояния. Существование топологического порядка, по-видимому, указывает на то, что природа намного богаче, чем до сих пор указывала теория нарушения симметрии Ландау . Таким образом, топологический порядок открывает новое направление в физике конденсированного состояния - новое направление сильно запутанной квантовой материи. Мы понимаем, что квантовые фазы вещества (т.е. фазы вещества с нулевой температурой) можно разделить на два класса: запутанные состояния с дальним действием и запутанные состояния с коротким диапазоном действия. [3] Топологический порядок - это понятие, которое описывает дальнодействующие запутанные состояния: топологический порядок = паттерн дальнодействующих запутанных состояний. Запутанные состояния ближнего действия тривиальны в том смысле, что все они принадлежат одной фазе. Однако при наличии симметрии даже короткодействующие запутанные состояния нетривиальны и могут принадлежать разным фазам. Говорят, что эти фазы содержат приказ SPT . [52] Порядок СПД обобщает понятие топологического изолятора на взаимодействующие системы.
Некоторые предполагают, что топологический порядок (или, точнее, струнно-сеточная конденсация ) в локальных бозонных (спиновых) моделях потенциально может обеспечить единое происхождение фотонов , электронов и других элементарных частиц в нашей Вселенной. [4]
Смотрите также
- AKLT модель
- Фракционирование
- Гербертсмитит
- Имплицитный порядок
- Квантовая топология
- Отжимная жидкость
- Струнно-чистая жидкость
- Топологический порядок с защитой от симметрии
- Топологический дефект
- Топологическое вырождение
- Топологическая энтропия в физике
- Топологическая квантовая теория поля
- Топологическое квантовое число
- Топологическая теория струн
Заметки
- ^ Обратите внимание, что сверхпроводимость может быть описана теорией Гинзбурга – Ландау с динамическим U (1) EM калибровочным полем, которая являетсякалибровочной теорией Z 2 , то есть эффективной теориейтопологического порядка Z 2 . Предсказание вихревого состояния в сверхпроводниках было одним из главных успехов теории Гинзбурга – Ландау с динамическим калибровочным полем U (1). Вихрь в калиброванной теории Гинзбурга-Ландау не что иное, как Z 2 потока линии в Z 2 калибровочной теории. Теория Гинзбурга – Ландау без динамического калибровочного поля U (1) не может описать реальные сверхпроводники с динамическим электромагнитным взаимодействием. [25] [26] [27] [28] Однако в физике конденсированного состояния сверхпроводник обычно относится к состоянию с нединамическим ЭМ калибровочным полем. Такое состояние является состоянием нарушения симметрии без топологического порядка.
Рекомендации
- ^ a b c d Вэнь, Сяо-Ган (1990). «Топологические порядки в жестких состояниях» (PDF) . Int. J. Mod. Phys. B . 4 (2): 239. Bibcode : 1990IJMPB ... 4..239W . CiteSeerX 10.1.1.676.4078 . DOI : 10.1142 / S0217979290000139 .
- ^ а б Вэнь, Сяо-Ган ; Ню, Цянь (1990). «Вырождение основного состояния состояний FQH в присутствии случайного потенциала и на римановых поверхностях высокого рода» (PDF) . Phys. Rev. B . 41 (13): 9377–9396. Bibcode : 1990PhRvB..41.9377W . DOI : 10.1103 / Physrevb.41.9377 . PMID 9993283 .
- ^ а б Чен, Се; Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (2010). «Локальное унитарное преобразование, дальняя квантовая запутанность, перенормировка волновой функции и топологический порядок». Phys. Rev. B . 82 (15): 155138. arXiv : 1004.3835 . Bibcode : 2010PhRvB..82o5138C . DOI : 10.1103 / Physrevb.82.155138 . S2CID 14593420 .
- ^ а б Левин, Михаил; Вэнь, Сяо-Ган (2005). «Коллоквиум: Фотоны и электроны как возникающие явления». Обзоры современной физики . 77 (3): 871–879. arXiv : cond-mat / 0407140 . Bibcode : 2005RvMP ... 77..871L . DOI : 10.1103 / RevModPhys.77.871 . S2CID 117563047 . Смотрите также Левин, Михаил; Вэнь, Сяо-Ган (2006). «Квантовый эфир: фотоны и электроны из модели ротора». Physical Review B . 73 (3): 035122. arXiv : hep-th / 0507118 . Bibcode : 2006PhRvB..73c5122L . DOI : 10.1103 / PhysRevB.73.035122 . S2CID 119481786 .
- ^ а б Kalmeyer, V .; Лафлин, РБ (2 ноября 1987 г.). «Эквивалентность резонирующей валентной связи и дробных квантовых холловских состояний» . Письма с физическим обзором . 59 (18): 2095–2098. Bibcode : 1987PhRvL..59.2095K . DOI : 10.1103 / physrevlett.59.2095 . PMID 10035416 .
- ^ а б Вэнь, XG; Вильчек, Франк; Зи, А. (1 июня 1989 г.). «Киральные спиновые состояния и сверхпроводимость». Physical Review B . 39 (16): 11413–11423. DOI : 10.1103 / PhysRevB.39.11413 . PMID 9947970 .
- ^ Читать, N .; Сачдев, Субир (1991). «Разложение при больших N для фрустрированных квантовых антиферромагнетиков». Phys. Rev. Lett . 66 (13): 1773–1776. Bibcode : 1991PhRvL..66.1773R . DOI : 10.1103 / physrevlett.66.1773 . PMID 10043303 .
- ^ Вэнь, Сяо-Ган (1991). "Теория среднего поля состояний спиновой жидкости с конечной энергетической щелью и топологическими порядками" . Phys. Rev. B . 44 (6): 2664–2672. Bibcode : 1991PhRvB..44.2664W . DOI : 10.1103 / Physrevb.44.2664 . PMID 9999836 . S2CID 1675592 .
- ^ а б Цуй, округ Колумбия ; Stormer, HL ; Госсард, AC (1982). «Двумерный магнитотранспорт в экстремальном квантовом пределе» . Phys. Rev. Lett . 48 (22): 1559–1562. Bibcode : 1982PhRvL..48.1559T . DOI : 10.1103 / physrevlett.48.1559 .
- ^ а б Лафлин, РБ (1983). «Аномальный квантовый эффект Холла: несжимаемая квантовая жидкость с фракционно заряженными возбуждениями» . Phys. Rev. Lett . 50 (18): 1395–1398. Bibcode : 1983PhRvL..50.1395L . DOI : 10.1103 / physrevlett.50.1395 . S2CID 120080343 .
- ^ Китаев, Алексей Ю (2003). «Отказоустойчивые квантовые вычисления анонимами». Летопись физики . 303 (1): 2–30. arXiv : квант-ph / 9707021 . Bibcode : 2003AnPhy.303 .... 2K . DOI : 10.1016 / S0003-4916 (02) 00018-0 . S2CID 119087885 .
- ^ Мур, Джоэл Э. (2010). «Рождение топологических изоляторов». Природа . 464 (7286): 194–198. Bibcode : 2010Natur.464..194M . DOI : 10,1038 / природа08916 . PMID 20220837 . S2CID 1911343 .
- ^ Сяо-Ган Вэнь , Введение в топологические порядки (PDF) , архивировано из оригинала (PDF) 29 августа 2017 г.
- ^ Bednorz, G .; Мюллер, К.А. (1986). «Возможная сверхпроводимость с высоким TC в системе Ba-La-Cu-O». Z. Phys. B . 64 (2): 189–193. Bibcode : 1986ZPhyB..64..189B . DOI : 10.1007 / BF01303701 . S2CID 118314311 .
- ^ a b Xiao-Gang Wen , Phys. Rev. B, 40 , 7387 (1989), "Вакуумное вырождение кирального спинового состояния в компактифицированных пространствах"
- ^ Атья, Майкл (1988), "Топологические квантовые теории поля", Publications Mathe'matiques de l'IHéS (68): 175, MR1001453 , г. ISSN 1618-1913 , http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__68__175_0
- ^ Виттен, Эдвард (1988), "Топологическая квантовая теория поля", Сообщения по математической физике 117 (3): 353, MR953828 , г. ISSN 0010-3616 , http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104161738
- ^ Йеттер, Дэвид Н. (1993). «TQFT из гомотопических 2-типов». Журнал теории узлов и ее разветвлений . 2 (1): 113–123. DOI : 10.1142 / s0218216593000076 .
- ^ Ван, Ювен; Вэнь Сяо-Ган (13 марта 2015 г.). «Граничная вырожденность топологического порядка». Physical Review B . 91 (12): 125124. arXiv : 1212.4863 . DOI : 10.1103 / PhysRevB.91.125124 . S2CID 17803056 .
- ^ Капустин, Антон (19 марта 2014 г.). «Вырождение основного состояния абелевых энионов при наличии разрывных границ». Physical Review B . 89 (12): 125307. arXiv : 1306.4254 . Bibcode : 2014PhRvB..89l5307K . DOI : 10.1103 / PhysRevB.89.125307 . S2CID 33537923 .
- ^ Ван, Хунг; Ван, Идун (18 февраля 2015 г.). «Вырождение основного состояния топологических фаз на открытых поверхностях». Письма с физическим обзором . 114 (7): 076401. arXiv : 1408.0014 . Bibcode : 2015PhRvL.114g6401H . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.114.076401 . PMID 25763964 . S2CID 10125789 .
- ^ Лан, Тиан; Ван, Ювен; Вэнь Сяо-Ган (18 февраля 2015 г.). «Стены доменов с зазорами, границы с зазорами и топологическая вырождение». Письма с физическим обзором . 114 (7): 076402. arXiv : 1408.6514 . Bibcode : 2015PhRvL.114g6402L . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.114.076402 . PMID 25763965 . S2CID 14662084 .
- ^ Китаев, Алексей; Прескилл, Джон (24 марта 2006 г.). «Топологическая энтропия запутанности». Письма с физическим обзором . 96 (11): 110404. arXiv : hep-th / 0510092 . Bibcode : 2006PhRvL..96k0404K . DOI : 10.1103 / physrevlett.96.110404 . PMID 16605802 . S2CID 18480266 .
- ^ Левин, Михаил; Вэнь Сяо-Ган (24 марта 2006 г.). «Обнаружение топологического порядка в волновой функции основного состояния». Письма с физическим обзором . 96 (11): 110405. arXiv : cond-mat / 0510613 . Bibcode : 2006PhRvL..96k0405L . DOI : 10.1103 / physrevlett.96.110405 . PMID 16605803 . S2CID 206329868 .
- ^ Вен, XG (1991). "Теория среднего поля состояний спиновой жидкости с конечной запрещенной зоной и топологическими порядками". Phys Rev B . 44 (6): 2664–2672. Bibcode : 1991PhRvB..44.2664W . DOI : 10.1103 / PhysRevB.44.2664 . PMID 9999836 .
- ^ Мороз, Сергей; Прем, Абхинав; Гурари, Виктор; Радзиховский, Лев (2017). «Топологический порядок, симметрия и холловский отклик двумерных спин-синглетных сверхпроводников» . Physical Review B . 95 . DOI : 10.1103 / PhysRevB.95.014508 .
- ^ TH Ханссон, Вадим Оганесян, SL Sondhi, Сверхпроводники топологически упорядочены , Annals Of Physics vol. 313, 497 (2004)
- ^ Сяо-Лян Ци; Эдвард Виттен ; Шоу-Чэн Чжан (2012). "Аксионная топологическая теория поля топологических сверхпроводников". Physical Review B . 87 (13): 134519. arXiv : 1206.1407 . Bibcode : 2013PhRvB..87m4519Q . DOI : 10.1103 / PhysRevB.87.134519 . S2CID 119204930 .
- ^ Юзелюнас, Гедиминас; Ян Спилман (2011). «Видение топологического порядка» . Физика . 4 (99): 99. Bibcode : 2011PhyOJ ... 4 ... 99J . DOI : 10.1103 / Physics.4.99 .
- ^ Zhang, YF; Ли, Хуйчао; Sheng, L .; Shen, R .; Син, Д.Й. (2012). «Запутанность и число частиц подсистем в свободных фермионных системах». Журнал физики: конденсированное вещество . 26 (10): 105502. arXiv : 1111.0791 . DOI : 10.1088 / 0953-8984 / 26/10/105502 . PMID 24553300 . S2CID 14947121 .
- ^ Ван, Чэньцзе; Левин, Михаил (22 августа 2014 г.). «Плетение статистики петлевых возбуждений в трех измерениях». Письма с физическим обзором . 113 (8): 080403. arXiv : 1403.7437 . Bibcode : 2014PhRvL.113h0403W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.113.080403 . PMID 25192079 . S2CID 23104804 .
- ^ Ван, Ювен; Вэнь Сяо-Ган (15 января 2015 г.). "Неабелева струна и плетение частиц в топологическом порядке: модульное SL (3, Z) представление и 3 + 1D теория скрученной калибровки". Physical Review B . 91 (3): 035134. arXiv : 1404.7854 . DOI : 10.1103 / PhysRevB.91.035134 . S2CID 13893760 .
- ^ а б Путров, Павел; Ван, Ювен; Яу, Шинг-Тунг (сентябрь 2017 г.). «Статистика плетения и инварианты звеньев бозонной / фермионной топологической квантовой материи в 2 + 1 и 3 + 1 измерениях». Летопись физики . 384С : 254–287. arXiv : 1612.09298 . Bibcode : 2017AnPhy.384..254P . DOI : 10.1016 / j.aop.2017.06.019 . S2CID 119578849 .
- ^ Левин, Михаил А .; Вэнь Сяо-Ган (12 января 2005 г.). «Конденсация струнной сети: физический механизм топологических фаз». Physical Review B . 71 (4): 045110. arXiv : cond-mat / 0404617 . Bibcode : 2005PhRvB..71d5110L . DOI : 10.1103 / Physrevb.71.045110 . S2CID 51962817 .
- ^ Левин, Михаил; Вэнь Сяо-Ган (20 июня 2003 г.). «Фермионы, струны и калибровочные поля в решетчатых спиновых моделях». Physical Review B . 67 (24): 245316. arXiv : cond-mat / 0302460 . Bibcode : 2003PhRvB..67x5316L . DOI : 10.1103 / Physrevb.67.245316 . S2CID 29180411 .
- ^ Хамма, Алиосия; Занарди, Паоло; Вэнь Сяо-Ган (6 июля 2005 г.). «Конденсация струн и мембран на трехмерных решетках». Physical Review B . 72 (3): 035307. arXiv : cond-mat / 0411752 . Bibcode : 2005PhRvB..72c5307H . DOI : 10.1103 / Physrevb.72.035307 . S2CID 118956379 .
- ^ Bombin, H .; Мартин-Дельгадо, Массачусетс (7 февраля 2007 г.). «Точный топологический квантовый порядок в D = 3 и за его пределами: Браньоны и бранно-сеточные конденсаты». Physical Review B . 75 (7): 075103. arXiv : cond-mat / 0607736 . DOI : 10.1103 / Physrevb.75.075103 . S2CID 119460756 .
- ^ Вэнь, Сяо-Ган (1991). "Топологические порядки и теория Черна-Саймонса в сильно коррелированной квантовой жидкости". Int. J. Mod. Phys. B . 5 (10): 1641. Bibcode : 1991IJMPB ... 5.1641W . CiteSeerX 10.1.1.676.1963 . DOI : 10.1142 / s0217979291001541 .; Топологические порядки и теория Черна – Саймонса в сильно коррелированной квантовой жидкости. обзор, содержащий комментарии к топологическим порядкам в более высоких измерениях и / или в фазах Хиггса ; также введен индекс размерности (DI) для характеристики устойчивости основного состояния вырождения топологически упорядоченного состояния. Если DI меньше или равно 1, то топологические порядки не могут существовать при конечной температуре.
- ^ Прем, Абхинав; Хаах, Чонван; Нандкишор, Рахул (2017). «Стекловидная квантовая динамика в трансляционно-инвариантных фрактонных моделях». Physical Review B . 95 (15): 155133. arXiv : 1702.02952 . Bibcode : 2017PhRvB..95o5133P . DOI : 10.1103 / PhysRevB.95.155133 . S2CID 118911031 .
- ^ Чамон, С. (2005). «Квантовая стеклянность в сильно коррелированных чистых системах: пример топологической избыточной защиты». Phys Rev Lett . 94 (4): 040402. arXiv : cond-mat / 0404182 . Bibcode : 2005PhRvL..94d0402C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.94.040402 . PMID 15783534 . S2CID 25731669 .
- ^ Блок, Б .; Вэнь, XG (1 октября 1990 г.). «Эффективные теории дробного квантового эффекта Холла при типовых долях заполнения». Physical Review B . 42 (13): 8133–8144. Bibcode : 1990PhRvB..42.8133B . DOI : 10.1103 / Physrevb.42.8133 . PMID 9994984 .
- ^ Блок, Б .; Вэнь, XG (1 октября 1990 г.). «Эффективные теории дробного квантового эффекта Холла: построение иерархии». Physical Review B . 42 (13): 8145–8156. Bibcode : 1990PhRvB..42.8145B . DOI : 10.1103 / Physrevb.42.8145 . PMID 9994985 .
- ^ Рид Н. (17 сентября 1990 г.). «Структура возбуждения иерархической схемы в дробном квантовом эффекте Холла». Письма с физическим обзором . 65 (12): 1502–1505. Bibcode : 1990PhRvL..65.1502R . DOI : 10.1103 / physrevlett.65.1502 . PMID 10042282 .
- ^ Вэнь, XG; Зи, А. (15 июля 1992 г.). «Классификация абелевых квантовых холловских состояний и матричная формулировка топологических жидкостей». Physical Review B . 46 (4): 2290–2301. Bibcode : 1992PhRvB..46.2290W . DOI : 10.1103 / Physrevb.46.2290 . PMID 10003903 .
- ^ Баяну, Ион К. (23 апреля 2009 г.). "Основы алгебраической топологии суперсимметрии и нарушения симметрии в квантовой теории поля и квантовой гравитации: обзор" . Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 5 : 051. Arxiv : 0904,3644 . Bibcode : 2009SIGMA ... 5..051B . DOI : 10.3842 / sigma.2009.051 .
- ^ Деннис, Эрик; Китаев, Алексей; Ландаль, Эндрю; Прескилл, Джон (2002). «Топологическая квантовая память». J. Math. Phys . 43 (9): 4452–4505. arXiv : квант-ph / 0110143 . Bibcode : 2002JMP .... 43.4452D . DOI : 10.1063 / 1.1499754 . S2CID 36673677 .
- ^ Фридман, Майкл Х .; Китаев, Алексей; Ларсен, Майкл Дж .; Ван, Чжэнхань (2003). «Топологические квантовые вычисления». Бык. Амер. Математика. Soc . 40 : 31. arXiv : Quant-ph / 0101025 . DOI : 10,1090 / s0273-0979-02-00964-3 .
- ^ Китаев, А. (2003). «Отказоустойчивые квантовые вычисления анонимами». Летопись физики . 303 : 2–30. arXiv : квант-ph / 9707021 . Bibcode : 2003AnPhy.303 .... 2K . DOI : 10.1016 / S0003-4916 (02) 00018-0 . S2CID 119087885 .
- ^ Вэнь, Сяо-Ган (1991). "Бесщелковые граничные возбуждения в состояниях FQH и в состояниях кирального спина" (PDF) . Phys. Rev. B . 43 (13): 11025–11036. Bibcode : 1991PhRvB..4311025W . DOI : 10.1103 / Physrevb.43.11025 . PMID 9996836 .
- ^ Кейн, CL; Меле, Э.Дж. (23 ноября 2005 г.). «Квантовый спиновый эффект Холла в графене». Письма с физическим обзором . 95 (22): 226801. arXiv : cond-mat / 0411737 . Bibcode : 2005PhRvL..95v6801K . DOI : 10.1103 / physrevlett.95.226801 . PMID 16384250 . S2CID 6080059 .
- ^ Мураками, Шуичи; Нагаоса, Наото; Чжан, Шоу-Чэн (6 октября 2004 г.). «Изолятор спин-холла». Письма с физическим обзором . 93 (15): 156804. arXiv : cond-mat / 0406001 . DOI : 10.1103 / physrevlett.93.156804 . PMID 15524922 . S2CID 13018985 .
- ^ а б Чен, Се; Лю, Чжэн-Синь; Вэнь, Сяо-Ган (2011). «2D-симметрия защищала топологические порядки и их защищала бесщелевые краевые возбуждения». Phys. Rev. B . 84 (23): 235141. arXiv : 1106.4752 . Bibcode : 2011PhRvB..84w5141C . DOI : 10.1103 / Physrevb.84.235141 . S2CID 55330505 .
- ^ Холдейн, FDM (11 апреля 1983 г.). "Нелинейная теория поля гейзенберговских антиферромагнетиков с большим спином: полуклассически квантованные солитоны одномерного легкоосевого состояния Нееля" . Письма с физическим обзором . 50 (15): 1153–1156. Bibcode : 1983PhRvL..50.1153H . DOI : 10.1103 / physrevlett.50.1153 .
- ^ Холдейн, FDM (11 ноября 2004 г.). «Кривизна Берри на поверхности Ферми: аномальный эффект Холла как топологическое свойство ферми-жидкости». Письма с физическим обзором . 93 (20): 206602. arXiv : cond-mat / 0408417 . Bibcode : 2004PhRvL..93t6602H . DOI : 10.1103 / physrevlett.93.206602 . PMID 15600949 . S2CID 35487502 .
- ^ Аффлек, Ян; Холдейн, FDM (1 сентября 1987 г.). «Критическая теория квантовых спиновых цепочек». Physical Review B . 36 (10): 5291–5300. Bibcode : 1987PhRvB..36.5291A . DOI : 10.1103 / Physrevb.36.5291 . PMID 9942166 .
- ^ Аффлек, I (15 мая 1989 г.). «Квантовые спиновые цепочки и разрыв Холдейна». Журнал физики: конденсированное вещество . IOP Publishing. 1 (19): 3047–3072. Bibcode : 1989JPCM .... 1.3047A . DOI : 10.1088 / 0953-8984 / 1/19/001 .
Ссылки по категориям
Дробные квантовые холловские состояния
- DC Tsui и HL Stormer и AC Госсард , Phys. Rev. Lett., 48 , 1559 (1982), "Двумерный магнитотранспорт в экстремальном квантовом пределе"
- Р.Б. Лафлин , Phys. Rev. Lett., 50 , 1395 (1983), "Аномальный квантовый эффект Холла: несжимаемая квантовая жидкость с фракционно заряженными возбуждениями"
Киральные спиновые состояния
- Калмейер В., Лафлин Р. Б. , Phys. Rev. Lett., 59 , 2095 (1987), "Эквивалентность резонирующей валентной связи и дробных квантовых состояний Холла"
- Сяо-Ган Вэнь , Ф. Вильчек и А. Зи , Phys. Rev., B39 , 11413 (1989), "Киральные спиновые состояния и сверхпроводимость"
Ранняя характеристика состояний FQH
- Внедиагональный дальний порядок, наклонное ограничение и дробный квантовый эффект Холла, С. М. Гирвин и А. Х. Макдональд, Phys. Rev. Lett., 58 , 1252 (1987)
- Модель эффективной теории поля для дробного квантового эффекта Холла, SC Zhang, TH Hansson, S. Kivelson, Phys. Rev. Lett., 62 , 82 (1989)
Топологический порядок
- Xiao-Gang Wen , Phys. Rev. B, 40 , 7387 (1989), "Вакуумное вырождение кирального спинового состояния в компактифицированных пространствах"
- Сяо-Ган Вэнь , Int. J. Mod. Phys. B, 4 , 239 (1990), "Топологические порядки в жестких состояниях"
- Сяо-Ган Вэнь , Квантовая теория поля многих систем тел - от происхождения звука до происхождения света и электронов , Oxford Univ. Press, Oxford, 2004.
Характеристика топологического порядка
- D. Arovas, JR Schrieffer, F. Wilczek, Phys. Rev. Lett., 53 , 722 (1984), "Дробная статистика и квантовый эффект Холла"
- Сяо-Ган Вэнь и Цянь Ню , Phys. Rev. B41 , 9377 (1990), "Вырождение основного состояния состояний FQH в присутствии случайного потенциала и на римановых поверхностях высокого рода"
- Xiao-Gang Wen , Phys. Rev. B, 43 , 11025 (1991), "Беспрерывные граничные возбуждения в состояниях FQH и в состояниях кирального спина"
- Китаев и Прескиллы , Phys. Rev. Lett. 96 , 110404 (2006), "Энтропия топологической запутанности"
- Майкл Левин и Сяо-Ганг Вэнь, Phys. Rev. Lett. 96 , 110405 (2006), "Обнаружение топологического порядка в волновой функции основного состояния"
Эффективная теория топологического порядка
- Виттен, Э. (1989). «Квантовая теория поля и многочлен Джонса» . Comm. Математика. Phys . 121 (3): 351–399. Bibcode : 1989CMaPh.121..351W . DOI : 10.1007 / bf01217730 . Руководство по ремонту 0990772 . S2CID 14951363 . Zbl 0667.57005 .
Механизм топологического порядка
- Майкл Левин, Сяо-Ганг Вэнь , Phys. Rev. B, 71 , 045110 (2005), Конденсация струнной сети: физический механизм топологических фаз,
- Чамон, С. (2005). «Квантовая стеклянность в сильно коррелированных чистых системах: пример топологической избыточной защиты». Phys. Rev. Lett . 94 (4): 040402. arXiv : cond-mat / 0404182 . Bibcode : 2005PhRvL..94d0402C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.94.040402 . PMID 15783534 . S2CID 25731669 .
- Хамма, Алиосия; Занарди, Паоло; Вэнь, Сяо-Ган (2005). «Конденсация струн и мембран на трехмерных решетках». Phys. Rev. B . 72 (3): 035307. arXiv : cond-mat / 0411752 . Bibcode : 2005PhRvB..72c5307H . DOI : 10.1103 / Physrevb.72.035307 . S2CID 118956379 .
- Х. Бомбин, М.А. Мартин-Дельгадо, cond-mat / 0607736, Точный топологический квантовый порядок в D = 3 и за его пределами: Браньоны и конденсаты Брана-Сети
Квантовые вычисления
- Четан Наяк, Стивен Х. Саймон , Ади Стерн , Майкл Фридман , Санкар Дас Сарма , http://www.arxiv.org/abs/0707.1889 , 2007, «Неабелевы аньоны и топологические квантовые вычисления», Rev. Mod. Phys. 80, 1083 (2008).
- А.Ю. Китаев , Анналы физики, 303 , 1 (2003), Отказоустойчивые квантовые вычисления с помощью энионов
- Фридман, Майкл Х .; Китаев, Алексей ; Ларсен, Майкл Дж .; Ван, Чжэнхань (2003). «Топологические квантовые вычисления». Бык. Амер. Математика. Soc . 40 : 31. arXiv : Quant-ph / 0101025 . DOI : 10,1090 / s0273-0979-02-00964-3 .
- Эрик Деннис, Алексей Китаев, Эндрю Ландал и Джон Прескилл, J. Math. Phys., 43 , 4452 (2002), Топологическая квантовая память
- Ади Стерн, Бертран И. Гальперин, Phys. Rev. Lett., 96 , 016802 (2006), Предлагаемые эксперименты по исследованию неабелевого nu = 5/2 квантового холловского состояния.
Появление элементарных частиц
- Xiao-Gang Wen , Phys. Ред. D68 , 024501 (2003), Квантовый порядок из струнно-сеточных конденсаций и происхождение легких и безмассовых фермионов
- М. Левин и Сяо-Ганг Вэнь , Фермионы, струны и калибровочные поля в моделях спина решетки., Phys. Ред. B 67 , 245316, (2003).
- М. Левин и Сяо-Ган Вэнь , Коллоквиум: Фотоны и электроны как возникающие явления, Rev. Mod. Phys. 77, Nu 12:19, 9 апреля 2009 г. (UTC) 871 (2005), 4 страницы; также, Квантовый эфир: фотоны и электроны из модели ротора, arXiv: hep-th / 0507118,2007.
- Чжэн-Ченг Гу и Сяо-Ган Вэнь , gr-qc / 0606100, Бозонная модель на решетке как квантовая теория гравитации,
Квантовая операторная алгебра
- Йеттер DN, TQFT из гомотопических 2-типов, J. Knot Theory 2 (1993), 113.
- Ландсман Н. П., Рамазан Б. Квантование алгебр Пуассона, ассоциированных с алгеброидами Ли, Proc. Конф. on Groupoids in Physics, Analysis and Geometry (Boulder CO, 1999) », Editors J. Kaminker et al., 159 {192 Contemp. Математика. 282, амер. Математика. Soc., Providence RI, 2001, (также математика {ph / 001005. )
- Неабелева квантовая алгебраическая топология (NAQAT) 20 ноября (2008 г.), 87 страниц, Baianu, IC
- Левин А., Ольшанецкий М., Гамильтоновы алгеброиды и деформации сложных структур на кривых Римана, hep-th / 0301078v1.
- Сяо-Ган Вэнь, Юн-Ши Ву и Ю. Хацугай. Алгебра произведения киральных операторов и краевые возбуждения капли FQH (pdf), Nucl. Phys. B422 , 476 (1994): использовала алгебру произведения киральных операторов для построения объемной волновой функции, описания топологических порядков и вычисления краевых состояний для некоторых неабелевых состояний FQH.
- Сяо-Ган Вэнь и Юн-Ши Ву. Алгебра произведения киральных операторов, скрытая в определенных состояниях FQH (pdf), Nucl. Phys. B419 , 455 (1994): продемонстрировано, что неабелевы топологические порядки тесно связаны с алгеброй произведения киральных операторов (а не с конформной теорией поля).
- Неабелева теория.
- Баяну, ИК (2007). «Неабелева категориальная онтология пространства-времени и квантовой гравитации». Аксиоматы . 17 (3–4): 353–408. DOI : 10.1007 / s10516-007-9012-1 . S2CID 3909409 ..
- Р. Браун, П. Дж. Хиггинс, П. Дж. И Р. Сивера, "Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды" EMS Tracts in Mathematics Vol 15 (2011),
- Библиография по категориям и приложениям алгебраической топологии в теоретической физике
- Квантовая алгебраическая топология (QAT) [ постоянная мертвая ссылка ]