Топологический квантовый компьютер теоретический квантовый компьютер , предложенный русско-американский физик Алексей Китаев в 1997 году использует двумерные квазичастицы , называемые анионы , чьи мировые линии проходят вокруг друг друга, образуя косичек в трехмерном пространстве - времени (то есть, один временной плюс два пространственных измерения). Эти косы образуют логические ворота , из которых состоит компьютер. Преимущество квантового компьютера на основе квантовых кос перед использованием захваченных квантовых частиц состоит в том, что первый намного более стабилен. Небольшие кумулятивные возмущения могут вызвать декогеренцию квантовых состоянийи вносят ошибки в вычисления, но такие небольшие возмущения не изменяют топологические свойства кос . Это похоже на усилие, необходимое для того, чтобы разрезать веревку и снова прикрепить концы, чтобы сформировать другую косу, в отличие от шара (представляющего обычную квантовую частицу в четырехмерном пространстве-времени), врезающегося в стену.
В то время как элементы топологического квантового компьютера происходят из чисто математической области, эксперименты в дробных квантовых системах Холла показывают, что эти элементы могут быть созданы в реальном мире с использованием полупроводников, изготовленных из арсенида галлия при температуре, близкой к абсолютному нулю, и подвергнутых сильным магнитным полям. .
Вступление
Аньоны - это квазичастицы в двумерном пространстве. Анионы не являются ни фермионами, ни бозонами , но, как и фермионы, они не могут находиться в одном и том же состоянии. Таким образом, мировые линии двух эйонов не могут пересекаться или сливаться, что позволяет их путям образовывать устойчивые косы в пространстве-времени. Аньоны могут образовываться из возбуждений в холодном двумерном электронном газе в очень сильном магнитном поле и переносить дробные единицы магнитного потока. Это явление называется дробным квантовым эффектом Холла . В типичных лабораторных системах электронный газ занимает тонкий полупроводниковый слой, расположенный между слоями арсенида алюминия-галлия.
Когда анионы сплетены, преобразование квантового состояния системы зависит только от топологического класса траекторий анионов (которые классифицируются в соответствии с группой кос ). Следовательно, квантовая информация, которая хранится в состоянии системы, невосприимчива к небольшим ошибкам в траекториях. [1] В 2005 году Санкар Дас Сарма , Майкл Фридман и Четан Наяк предложили квантовое устройство Холла, которое реализует топологический кубит. В 2005 году Владимир Дж. Гольдман, Фернандо Э. Камино и Вэй Чжоу заявили, что создали и наблюдали первое экспериментальное свидетельство использования дробного квантового эффекта Холла для создания реальных энионов, что стало ключевым событием в области топологических квантовых компьютеров, хотя другие предполагали их результаты могут быть продуктом явлений, не связанных с кем-либо. Неабелевы анионы, вид необходимый для топологических квантовых компьютеров, которые еще должны быть подтверждены экспериментально. Были найдены возможные экспериментальные доказательства [2], но выводы остаются оспоренными. [3]
Топологический и стандартный квантовый компьютер
Топологические квантовые компьютеры эквивалентны по вычислительной мощности другим стандартным моделям квантовых вычислений, в частности модели квантовой схемы и модели квантовой машины Тьюринга . [4] То есть, любая из этих моделей может эффективно моделировать любые другие. Тем не менее, некоторые алгоритмы могут быть более естественными для топологической модели квантового компьютера. Например, алгоритмы для вычисления полинома Джонса были сначала разработаны в топологической модели, и только позже преобразованы и расширены в стандартной модели квантовой схемы.
Расчеты
Чтобы соответствовать своему названию, топологический квантовый компьютер должен обеспечивать уникальные вычислительные свойства, обещанные традиционным квантовым компьютером, использующим захваченные квантовые частицы. К счастью, в 2000 году Майкл Х. Фридман , Алексей Китаев , Майкл Дж. Ларсен и Чжэнхан Ван доказали, что топологический квантовый компьютер в принципе может выполнять любые вычисления, которые может выполнять обычный квантовый компьютер, и наоборот. [4] [5] [6]
Они обнаружили, что обычное квантовое компьютерное устройство, при условии безошибочной работы его логических схем, даст решение с абсолютным уровнем точности, тогда как топологическое квантовое вычислительное устройство с безупречной работой даст решение только с конечным уровнем точности. точность. Однако любой уровень точности ответа можно получить, добавив к топологическому квантовому компьютеру больше витков (логических схем) в простой линейной зависимости. Другими словами, разумное увеличение элементов (скручивания тесьмы) позволяет добиться высокой степени точности ответа. Фактические вычисления [вентили] выполняются краевыми состояниями дробного квантового эффекта Холла. Это делает важные модели одномерных энионов. В одном пространственном измерении энионы определяются алгебраически.
Исправление ошибок и контроль
Несмотря на то, что квантовые косы по своей природе более стабильны, чем захваченные квантовые частицы, все же существует потребность в контроле ошибок, вызывающих тепловые флуктуации, которые создают случайные паразитные пары анионов, которые мешают соседним косичкам. Управление этими ошибками - это просто вопрос разделения энионов на расстояние, на котором частота мешающих отклонений падает почти до нуля. Моделирование динамики топологического квантового компьютера может быть многообещающим методом реализации отказоустойчивых квантовых вычислений даже со стандартной схемой обработки квантовой информации. Рауссендорф, Харрингтон и Гойал изучили одну модель и получили многообещающие результаты моделирования. [7]
Пример: вычисления с анионами Фибоначчи
Одним из ярких примеров топологических квантовых вычислений является система анионов Фибоначчи . В контексте конформной теории поля энионы Фибоначчи описываются моделью Янга – Ли, частным случаем SU (2) теории Черна – Саймонса и моделями Весса – Зумино – Виттена . [8] Эти аньоны можно использовать для создания общих вентилей для топологических квантовых вычислений. Создание модели состоит из трех основных шагов:
- Выберите наш базис и ограничьте наше гильбертово пространство
- Сплетите аньоны вместе
- Соедините эйоны в конце и определите, как они соединяются, чтобы прочитать вывод системы.
Государственная подготовка
Энионы Фибоначчи характеризуются тремя качествами:
- Они имеют топологический заряд . В этом обсуждении мы рассматриваем еще один заряд, называемый который является «вакуумным» зарядом, если аннигилируют друг с другом.
- Каждый из этих энионов - своя собственная античастица. а также .
- Если их подвести близко друг к другу, они «сольются» друг с другом нетривиальным образом. В частности, правила «слияния» таковы:
- Многие свойства этой системы можно объяснить аналогично свойствам двух частиц со спином 1/2. В частности, мы используем то же тензорное произведение и прямая сумма операторы.
Последнее правило «слияния» может быть расширено до системы из трех энионов:
Таким образом, слияние трех энионов приведет к окончательному состоянию полного заряда. 2 способами, или заряд ровно одним способом. Мы используем три состояния, чтобы определить нашу основу. [9] Однако, поскольку мы хотим закодировать эти три энионных состояния как суперпозицию 0 и 1, нам нужно ограничить базис двумерным гильбертовым пространством. Таким образом, мы рассматриваем только два состояния с общим зарядом. Этот выбор чисто феноменологический. В этих состояниях мы группируем два крайних левых эниона в «контрольную группу», а крайний правый оставляем как «не вычислительный энион». Мы классифицируем состояние как тот, где контрольная группа имеет общий `` слитый '' заряд , и состояние имеет контрольную группу с общим «плавленым» зарядом . Для более полного описания см. Наяк. [9]
Ворота
Следуя приведенным выше идеям, адиабатическое переплетение этих эйонов друг с другом приведет к унитарному преобразованию. Эти операторы кос являются результатом двух подклассов операторов:
- F матрица
- R матрица
R матрица может быть концептуально рассматривать как топологическую фазу , который передается на энионы во оплетке. Когда энионы наматываются друг на друга, они набирают некоторую фазу из -за эффекта Ааронова-Бома .
F матрица является результатом физических вращений анионов. Когда они переплетаются друг с другом, важно понимать, что два нижних эниона - контрольная группа - по-прежнему будут различать состояние кубита. Таким образом, плетение эйонов изменит то, какие аньоны входят в контрольную группу, и, следовательно, изменит основу. Мы оцениваем энионы, всегда сначала объединяя вместе контрольную группу (нижние эйоны), так что замена энионов приведет к ротации системы. Поскольку эти энионы неабелевы , порядок энионов (которые находятся в контрольной группе) будет иметь значение, и как таковые они преобразуют систему.
Полный оператор косы может быть получен как:
Чтобы математически построить операторы F и R , мы можем рассмотреть перестановки этих операторов F и R. Мы знаем, что если мы последовательно изменим основу, на которой мы работаем, это в конечном итоге вернет нас к той же основе. Точно так же мы знаем, что если мы заплетем нити вокруг друг друга определенное количество раз, это приведет к тому же состоянию. Эти аксиомы называются пентагональной и гексагональной аксиомами соответственно, поскольку выполнение операции можно визуализировать с помощью пятиугольника / шестиугольника преобразований состояний. Хотя это сложно математически [10], к ним можно подойти гораздо более успешно визуально.
С помощью этих операторов кос мы можем наконец формализовать понятие кос в терминах того, как они действуют в нашем гильбертовом пространстве, и построить произвольные универсальные квантовые вентили. [11]
Смотрите также
- Теория Гинзбурга – Ландау
- Представление Хусими Q
- Случайная матрица
- Топологический дефект
- Торический код
Рекомендации
- ↑ Кастельвекки, Давиде (3 июля 2020 г.). «Добро пожаловать, аньоны! Физики нашли лучшее доказательство давно разыскиваемых 2D-структур» . Природа . Проверено 23 сентября 2020 года .
Саймон и другие разработали сложные теории, использующие анионы в качестве платформы для квантовых компьютеров. Пары квазичастиц могут закодировать в своей памяти информацию о том, как они кружили друг вокруг друга. А поскольку дробная статистика является «топологической» - она зависит от того, сколько раз один энион обходил другой, а не от незначительных изменений его пути, - на нее не влияют крошечные возмущения. Эта надежность может упростить масштабирование топологических квантовых компьютеров по сравнению с современными технологиями квантовых вычислений, которые подвержены ошибкам.
- ^ Виллет, Р.Л. (15 января 2013 г.). "Осцилляции Ааронова – Бома, настроенные на магнитное поле, и свидетельство существования неабелевых энионов при ν = 5/2". Письма с физическим обзором . 111 (18): 186401. arXiv : 1301.2639 . Bibcode : 2013PhRvL.111r6401W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.111.186401 . PMID 24237543 .
- ^ фон Кейзерлинг, Курт; Саймон, SH; Бернд, Розенов (2015). "Улучшенная кулоновская связь объемного края в дробных интерферометрах Фабри-Перо". Письма с физическим обзором . 115 (12): 126807. arXiv : 1411.4654 . Bibcode : 2015PhRvL.115l6807V . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.115.126807 . PMID 26431008 .
- ^ а б Фридман, Майкл Х .; Ларсен, Майкл; Ван, Чжэнхань (01.06.2002). «Модульный функтор, универсальный для квантовых вычислений». Сообщения по математической физике . 227 (3): 605–622. arXiv : квант-ph / 0001108 . DOI : 10.1007 / s002200200645 . ISSN 0010-3616 .
- ^ Фридман, Майкл Х .; Китаев, Алексей; Ван, Чжэнхань (01.06.2002). "Моделирование топологических теорий поля на квантовых компьютерах". Сообщения по математической физике . 227 (3): 587–603. arXiv : квант-ph / 0001071 . DOI : 10.1007 / s002200200635 . ISSN 0010-3616 .
- ^ Фридман, Майкл; Китаев, Алексей; Ларсен, Майкл; Ван, Чжэнхань (01.01.2003). «Топологические квантовые вычисления» . Бюллетень Американского математического общества . 40 (1): 31–38. arXiv : квант-ph / 0101025 . DOI : 10.1090 / S0273-0979-02-00964-3 . ISSN 0273-0979 .
- ^ Raussendorf, R .; Harrington, J .; Гоял, К. (01.01.2007). «Топологическая отказоустойчивость при квантовом вычислении состояния кластера». Новый журнал физики . 9 (6): 199. arXiv : Quant-ph / 0703143 . Bibcode : 2007NJPh .... 9..199R . DOI : 10,1088 / 1367-2630 / 9/6/199 . ISSN 1367-2630 .
- ^ Требст, Саймон; Тройер, Матиас; Ван, Чжэнхань; Людвиг, Андреас WW (2008). «Краткое введение в аньоновские модели Фибоначчи». Приложение "Прогресс теоретической физики" . 176 : 384–407. arXiv : 0902.3275 . Bibcode : 2008PThPS.176..384T . DOI : 10.1143 / PTPS.176.384 .
- ^ а б Наяк, Четан (2008). «Неабелевы аньоны и топологические квантовые вычисления». Обзоры современной физики . 80 (3): 1083–1159. arXiv : 0707.1889 . Bibcode : 2008RvMP ... 80.1083N . DOI : 10.1103 / RevModPhys.80.1083 .
- ^ Эрик Пакетт. Топологические квантовые вычисления с анионами, 1, 2009. Категории, логика и основы физики IV.
- ^ Явные косы, которые выполняют определенные квантовые вычисления с анионами Фибоначчи, были даны Bonesteel, NE; Хормози, Л .; Zikos, G .; Саймон, SH; Запад, KW (2005). «Топологии кос для квантовых вычислений». Письма с физическим обзором . 95 (14): 140503. Arxiv : колич-фот / 0505065 . Bibcode : 2005PhRvL..95n0503B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.95.140503 . PMID 16241636 .
дальнейшее чтение
- Коллинз, Грэм П. (апрель 2006 г.). «Вычисления с квантовыми узлами» (PDF) . Scientific American .
- Шарма, Санкар Дас; Фридман, Майкл; Наяк, Четан (2005). «Топологически защищенные кубиты от возможного неабелевого дробного квантового холловского состояния». Письма с физическим обзором . 94 (16): 166802. arXiv : cond-mat / 0412343 . Bibcode : 2005PhRvL..94p6802D . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.94.166802 . PMID 15904258 .
- Наяк, Четан; Саймон, Стивен Х .; Стерн, Ади ; Фридман, Майкл ; Шарма, Санкар Дас (2008). «Неабелевы аньоны и топологические квантовые вычисления». Обзоры современной физики . 80 (3): 1083–1159. arXiv : 0707.1889 . Bibcode : 2008RvMP ... 80.1083N . DOI : 10.1103 / RevModPhys.80.1083 .
- Кунду, А. (1999). «Точное решение бозе-газа с двойной дельта-функцией через взаимодействующий энионный газ». Phys. Rev. Lett . 83 (7): 1275–1278. arXiv : hep-th / 9811247 . Bibcode : 1999PhRvL..83.1275K . DOI : 10.1103 / physrevlett.83.1275 .
- Batchelor, MT; Гуань, XW .; Элькерс, Н. (2006). «Одномерный взаимодействующий энионный газ: низкоэнергетические свойства и статистика исключения Холдейна» (PDF) . Phys. Rev. Lett . 96 (21): 210402. arXiv : cond-mat / 0603643 . Bibcode : 2006PhRvL..96u0402B . DOI : 10.1103 / physrevlett.96.210402 . PMID 16803221 .
- Жирардо, доктор медицины (2006). «Аньон-фермионное отображение и приложения к ультрахолодным газам в герметичных волноводах». Phys. Rev. Lett . 97 (10): 100402. arXiv : cond-mat / 0604357 . Bibcode : 2006PhRvL..97j0402G . DOI : 10.1103 / physrevlett.97.100402 . PMID 17025794 .
- Аверин, ДВ; Нестеров, JA (2007). «Кулоновская блокада анионов в квантовых антидотах». Phys. Rev. Lett . 99 (9): 096801. arXiv : 0704.0439 . Bibcode : 2007PhRvL..99i6801A . DOI : 10.1103 / physrevlett.99.096801 . PMID 17931025 .
- Саймон, Стивен Х. «Квантовые вычисления с изюминкой» .