Твин простой является простым числом , что является либо 2 меньше или 2 больше , чем другой простым число, например, либо член двойной простых пар (41, 43). Другими словами, простое число-близнец - это простое число, у которого пробел между двумя числами равен двум. Иногда термин простое число-близнец используется для пары простых чисел-близнецов; альтернативное название для этого - простой близнец или простая пара .
Простые числа-близнецы становятся все более редкими по мере изучения больших диапазонов в соответствии с общей тенденцией увеличения промежутков между соседними простыми числами по мере увеличения самих чисел. Однако неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов (так называемая гипотеза о простых числах- близнецах ) или существует наибольшая пара. Работа Итана Чжана в 2013 году, а также работа Джеймса Мейнарда , Теренса Тао и других позволили добиться существенного прогресса в доказательстве того, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов, но в настоящее время это остается нерешенным. [1]
Бесконечно много простых чисел-близнецов?
Характеристики
Обычно пара (2, 3) не считается парой простых чисел-близнецов. [2] Поскольку 2 - единственное четное простое число, эта пара - единственная пара простых чисел, которые отличаются на единицу; таким образом, простые числа-близнецы для любых других двух простых чисел расположены как можно ближе друг к другу.
Первые несколько пар простых чисел-близнецов:
- (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101) , 103), (107, 109), (137, 139),… OEIS : A077800 .
Пять - единственное простое число, которое принадлежит двум парам, так как каждая пара простых чисел-близнецов больше, чем имеет форму для некоторого натурального числа n ; то есть число между двумя простыми числами кратно 6. [3] В результате сумма любой пары простых чисел-близнецов (кроме 3 и 5) делится на 12.
Теорема Бруна
В 1915 году Вигго Брун показал, что сумма обратных простых чисел-близнецов сходится. [4] Этот знаменитый результат, названный теоремой Бруна , был первым использованием сита Бруна и помог инициировать развитие современной теории сита . Современная версия аргумента Бруна может использоваться, чтобы показать, что количество простых чисел-близнецов меньше N не превышает
для некоторой абсолютной постоянной C > 0. [5] Фактически, она ограничена сверху величиной
где , где C 2 - двойная простая константа , приведенная ниже . [6]
Гипотеза о простых числах близнецов
Вопрос о том, существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов, был одним из самых больших открытых вопросов в теории чисел в течение многих лет. Это содержание гипотезы о простых числах-близнецах , которая утверждает, что существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 также простое число. В 1849 году де Полиньяк выдвинул более общую гипотезу о том, что для любого натурального числа k существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 k также является простым числом . [7] Случай k = 1 гипотезы де Полиньяка является гипотезой о простых близнецах.
Более сильная форма гипотезы о простых числах-близнецах, гипотеза Харди – Литтлвуда (см. Ниже), постулирует закон распределения простых чисел-близнецов, аналогичный теореме о простых числах .
17 апреля 2013 года , Yitang Чжан объявил доказательство того, что для некоторых целого числа N , что составляет менее 70 млн существует бесконечное множество пар простых чисел , которые отличаются N . [8] Статья Чжана была принята Annals of Mathematics в начале мая 2013 года. [9] Теренс Тао впоследствии предложил совместную работу по проекту Polymath Project для оптимизации оценки Чжана. [10] По состоянию на 14 апреля 2014 г., через год после объявления Чжана, граница была снижена до 246. [11] Кроме того, исходя из гипотезы Эллиотта – Халберштама и ее обобщенной формы, вики проекта Polymath заявляет, что граница была уменьшено до 12 и 6 соответственно. [11] Эти улучшенные оценки были обнаружены с использованием другого подхода, который был проще, чем у Чжана, и независимо был открыт Джеймсом Мейнардом и Теренсом Тао. Этот второй подход также дал оценки наименьшего f ( m ), необходимые для гарантии того, что бесконечно много интервалов шириной f ( m ) содержат не менее m простых чисел.
Другие теоремы более слабые, чем гипотеза о простых близнецах
В 1940 году Пол Эрдеш показал, что существует константа c <1 и бесконечно много простых чисел p такие, что ( p ′ - p ) <( c ln p ), где p ′ обозначает следующее простое число после p . Это означает, что мы можем найти бесконечно много интервалов, содержащих два простых числа ( p , p '), пока мы позволяем этим интервалам медленно увеличиваться в размере по мере того, как мы перемещаемся к все большим и большим простым числам. Здесь «медленно расти» означает, что длина этих интервалов может увеличиваться логарифмически. Этот результат последовательно улучшался; в 1986 г. Гельмут Майер показал, что можно использовать константу c <0,25. В 2004 году Дэниел Голдстон и Джем Йылдырым показали, что константа может быть улучшена до c = 0,085786… В 2005 году Голдстон, Янош Пинц и Йылдырым установили, что c может быть выбрано произвольно малым, [12] [13] т.е.
С другой стороны, этот результат не исключает, что не может быть бесконечно много интервалов, содержащих два простых числа, если мы позволяем интервалу увеличиваться в размере, например, как c ln ln p .
Предполагая гипотезу Эллиотта – Хальберштама или немного более слабую версию, они смогли показать, что существует бесконечно много n таких, что по крайней мере два из n , n + 2, n + 6, n + 8, n + 12, n + 18 или n + 20 - простые числа. При более сильной гипотезе они показали, что для бесконечного числа n по крайней мере два из n , n + 2, n + 4 и n + 6 являются простыми числами.
Результат Yitang Zhang ,
является значительным улучшением результата Голдстона – Грэма – Пинца – Йылдырима. Polymath Проект оптимизация Чжана связан и работы Maynard сократила связана с N = 246. [14] [15]
Домыслы
Первая гипотеза Харди – Литтлвуда
Гипотеза Харди – Литтлвуда (названная в честь Джона Харди и Джона Литтлвуда ) является обобщением гипотезы о простых близнецах. Он касается распределения простых созвездий , включая простые числа-близнецы, по аналогии с теоремой о простых числах . Пусть π 2 ( x ) обозначает количество простых чисел p ≤ x таких, что p + 2 также простое число. Определим двойную простую константу C 2 как [16]
(здесь произведение распространяется на все простые числа p ≥ 3). Тогда частным случаем первой гипотезы Харди-Литтлвуда является то, что
в том смысле, что частное двух выражений стремится к 1, когда x стремится к бесконечности. [17] (Второе ~ не является частью гипотезы и доказывается интегрированием по частям .)
Гипотезу можно оправдать (но не доказать), если предположить, что 1 / ln t описывает функцию плотности простого распределения. Это предположение, предложенное теоремой о простых числах, влечет гипотезу о простых числах-близнецах, как показано в формуле для π 2 ( x ) выше.
Из полностью общей первой гипотезы Харди – Литтлвуда о простых k -наборах (здесь не приводится) следует, что вторая гипотеза Харди – Литтлвуда неверна.
Эта гипотеза была расширена гипотезой Диксона .
Гипотеза Полиньяка
Гипотеза Полиньяка 1849 года гласит, что для каждого положительного четного натурального числа k существует бесконечно много последовательных пар простых чисел p и p ′ таких, что p ′ - p = k (т.е. существует бесконечно много промежутков между простыми числами размера k ). Случай k = 2 является гипотезой о простых числах близнецов . Гипотеза еще не была доказана или опровергнута для какого-либо конкретного значения k , но результат Чжана доказывает, что она верна по крайней мере для одного (в настоящее время неизвестного) значения k . Действительно, если такого k не существовало, то для любого положительного четного натурального числа N существует не более конечного числа таких n , что p n +1 - p n = m для всех m < N, и поэтому для достаточно большого n мы имеем p n +1 - p n > N , что противоречило бы результату Чжана. [18]
Большие двойные простые числа
Начиная с 2007 года, два проекта распределенных вычислений , Twin Prime Search и PrimeGrid , создали несколько рекордно больших двойных простых чисел. По состоянию на сентябрь 2018 г.[Обновить], текущая наибольшая известная пара простых чисел-близнецов - 2996863034895 · 2 1290000 ± 1, [19] с 388 342 десятичными знаками. Он был обнаружен в сентябре 2016 года. [20]
Имеется 808 675 888 577 436 двойных простых пар меньше 10 18 . [21] [22]
Эмпирический анализ всех пар простых чисел до 4,35 · 10 15 показывает, что если количество таких пар меньше x равно f ( x ) · x / (log x ) 2, то f ( x ) составляет около 1,7 для малых x и уменьшается приближается к 1,3 при стремлении x к бесконечности. Согласно гипотезе Харди – Литтлвуда, предельное значение f ( x ) предполагается равным удвоенной константе двойного простого числа ( OEIS : A114907 ) (не путать с константой Бруна ).
Прочие элементарные свойства
Каждое третье нечетное число делится на 3, что требует, чтобы никакие три последовательных нечетных числа не могли быть простыми, если одно из них не равно 3. Таким образом, пять - единственное простое число, которое является частью двух пар простых чисел-близнецов. Нижний член пары по определению является простым числом Чена .
Доказано, что пара ( m , m + 2) является простым числом-близнецом тогда и только тогда, когда
Если m - 4 или m + 6 также простое число, то три простых числа называются тройкой простых чисел .
Для пары простых чисел- близнецов формы (6 n - 1, 6 n + 1) для некоторого натурального числа n > 1, n должно иметь цифру единиц 0, 2, 3, 5, 7 или 8 ( OEIS : A002822 ).
Изолированный прайм
Изолированный простой (также известный как одного простого или без двойной штрихом ) простое число р такое , что ни р - 2 , ни р + 2 простое число. Другими словами, p не является частью пары простых чисел-близнецов. Например, 23 - изолированное простое число, поскольку 21 и 25 оба составные .
Первые несколько изолированных простых чисел
- 2 , 23 , 37 , 47 , 53 , 67 , 79 , 83 , 89 , 97 , ... OEIS : A007510
Из теоремы Бруна следует, что почти все простые числа изолированы в том смысле, что отношение количества изолированных простых чисел меньше заданного порога n и числа всех простых чисел меньше n стремится к 1, когда n стремится к бесконечности.
Смотрите также
- Кузен прайм
- Главный разрыв
- Prime к -кратному
- Прайм четверка
- Простая тройка
- Сексуальный премьер
Рекомендации
- ^ Терри Тао, Малые и большие промежутки между простыми числами
- ^ Первые 100000 двойных простых чисел
- ^ Колдуэлл, Крис К. "Все ли простые числа (прошедшие 2 и 3) имеют форму 6n + 1 и 6n-1?" . Основные страницы . Университет Теннесси в Мартине . Проверено 27 сентября 2018 .
- ^ Брун, В. (1915), "Über Das Goldbachsche Gesetz унд умереть Anzahl дер Primzahlpaare", Archiv для Mathematik ог Naturvidenskab (на немецком языке ), 34 (8): 3-19, ISSN 0365-4524 , СУЛ 45.0330.16
- ^ Бейтман и Даймонд (2004) стр. 313
- ^ Хеини Халберстам, и Ханс-Эгон Ричерт, просеивающие методы , стр. 117, Dover Publications, 2010 г.
- ^ де Полиньяк, А. (1849). "Recherches nouvelles sur les nombres premiers" [Новое исследование простых чисел]. Comptes rendus (на французском). 29 : 397–401.С п. 400: «1 er Théorème. Всякая пара существует как разность deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières…» (1- я теорема. Каждое четное число равно разности двух последовательных простых чисел в бесконечном числе. способов…)
- ^ Макки, Мэгги (14 мая 2013 г.). «Первое доказательство того, что бесконечно много простых чисел попадают в пары» . Природа . DOI : 10.1038 / nature.2013.12989 . ISSN 0028-0836 .
- ^ Чжан, Итанг (2014). «Ограниченные промежутки между простыми числами». Анналы математики . 179 (3): 1121–1174. DOI : 10.4007 / annals.2014.179.3.7 . Руководство по ремонту 3171761 .
- ^ Тао, Теренс (4 июня 2013 г.). «Предложение Polymath: ограниченные промежутки между простыми числами» .
- ^ а б «Ограниченные промежутки между простыми числами» . Polymath . Проверено 27 марта 2014 .
- ^ Голдстон, Дэниел Алан ; Мотохаши, Йоичи; Пинц, Янош ; Йылдырым, Джем Ялчин (2006), «Небольшие промежутки между простыми числами существуют» , Японская академия. Ход работы. Серия A. Математические науки , 82 (4): 61–65, arXiv : math.NT / 0505300 , doi : 10.3792 / pjaa.82.61 , MR 2222213.
- ^ Голдстон, Д.А .; Graham, SW; Pintz, J .; Йылдырым, CY (2009), «Небольшие промежутки между простыми или почти простыми числами», Труды Американского математического общества , 361 (10): 5285–5330, arXiv : math.NT / 0506067 , doi : 10.1090 / S0002-9947-09 -04788-6 , Руководство по ремонту 2515812
- ^ Мэйнард Джеймс (2015), "Маленькие промежутки между штрихами", Анналы математики , второй серии, 181 (1): 383-413, Arxiv : 1311.4600 , DOI : 10.4007 / annals.2015.181.1.7 , MR 3272929
- ^ Polymath, DHJ (2014), «Варианты решета Сельберга и ограниченные интервалы, содержащие много простых чисел», Research in the Mathematical Sciences , 1 : Art. 12, 83, Arxiv : 1407,4897 , DOI : 10,1186 / s40687-014-0012-7 , МР 3373710
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A005597 (десятичное разложение двойной простой константы)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Проверено 1 ноября 2019 .
- ^ Bateman & Даймонд (2004) pp.334-335
- ^ де Полиньяк, А. (1849). "Recherches nouvelles sur les nombres premiers" [Новое исследование простых чисел]. Comptes rendus (на французском). 29 : 397–401.С п. 400: «1 er Théorème. Всякая пара существует как разность deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières…» (1- я теорема. Каждое четное число равно разности двух последовательных простых чисел в бесконечном числе. способов…)
- ^ Колдуэлл, Крис К. «Основная база данных: 2996863034895 * 2 ^ 1290000-1» .
- ^ "Найдены мировые рекорды двойных простых чисел!" .
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A007508 (количество пар простых чисел-близнецов меньше 10 ^ n)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Проверено 1 ноября 2019 .
- ^ Томас Оливейра и Силва (7 апреля 2008 г.). «Таблицы значений пи (х) и пи2 (х)» . Университет Авейру . Проверено 7 января 2011 года .
- Бейтман, Пол Т .; Даймонд, Гарольд Г. (2004). Аналитическая теория чисел . World Scientific. ISBN 981-256-080-7. Zbl 1074.11001 .
дальнейшее чтение
- Слоан, Нил ; Plouffe, Саймон (1995). Энциклопедия целочисленных последовательностей . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 0-12-558630-2.
Внешние ссылки
- «Близнецы» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Топ-20 простых чисел-близнецов на Prime Pages Криса Колдуэлла
- Ксавье Гурдон, Паскаль Себа: Введение в простые числа-близнецы и константу Бруна
- "Официальный пресс-релиз" 58711-значного рекорда для двух простых чисел
- Вайсштейн, Эрик В. «Простые числа-близнецы» . MathWorld .
- 20000 первых простых чисел-близнецов
- Polymath: ограниченные промежутки между простыми числами
- Внезапный прогресс в проблеме простых чисел вызвал у математиков гудение