Неприкасаемый номер

Неприкасаемым число является положительным целым числом , которое не может быть выражено как сумма всех делителей любого положительного целого числа ( в том числе самого неприкосновенного числа). То есть эти числа не соответствуют функции аликвотной суммы . Их исследование восходит, по крайней мере, к Абу Мансуру аль-Багдади (около 1000 г. н.э.), который заметил, что и 2, и 5 неприкасаемы. ^[1]

Примеры [ править ]

Например, число 4 не является неприкасаемым, поскольку оно равно сумме собственных делителей 9: 1 + 3 = 4. Число 5 неприкасаемо, поскольку оно не является суммой собственных делителей любого положительного целого числа: 5 = 1 + 4 - единственный способ записать 5 как сумму различных положительных целых чисел, включая 1, но если 4 делит число, то делит и 2, поэтому 1 + 4 не может быть суммой всех собственных делителей любого числа (поскольку список факторов должен содержать как 4, так и 2).

Первые несколько неприкасаемых чисел:

2 , 5 , 52 , 88 , 96 , 120 , 124 , 146 , 162 , 188 , 206 , 210 , 216 , 238 , 246 , 248 , 262, 268, 276 , 288 , 290 , 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ... (последовательность A005114 в OEIS )

Свойства [ править ]

Число 5 считается единственным нечетным неприкосновенным числом, но это не было доказано: оно следует из немного более сильной версии гипотезы Гольдбаха , поскольку сумма собственных делителей числа pq (с p , q различными простыми числами) равно 1+ p + q . Таким образом, если число n можно записать как сумму двух различных простых чисел, то n +1 не является неприкосновенным числом. Ожидается , что каждое четное число больше , чем 6 представляет собой сумму двух различных простых чисел, так что, вероятно , не нечетное число больше , чем 7, неприкасаемый число, и , , , так что только 5 может быть нечетное число неприкасаемых. ^[2]${\ displaystyle 1 = \ sigma (2) -2}$${\ Displaystyle 3 = \ sigma (4) -4}$${\ Displaystyle 7 = \ sigma (8) -8}$Таким образом, оказывается, что, кроме 2 и 5, все неприкосновенные числа являются составными числами (поскольку, кроме 2, все четные числа являются составными). Никакое совершенное число не является неприкасаемым, поскольку, по крайней мере, оно может быть выражено как сумма собственных делителей (такая ситуация имеет место в случае 28 ). Точно так же ни одно из дружеских или общительных чисел не является неприкасаемым. Кроме того, все числа Мерсенна не являются неприкасаемыми, поскольку M _n = 2 ⁿ -1 может быть выражено как сумма собственных делителей 2 ⁿ .

Никакое число неприкасаемых не может быть на единицу больше простого числа , так как если p простое, то сумма собственных делителей p ² равна  p  + 1. Кроме того, нет числа неприкасаемых на три больше, чем простое число, за исключением 5, поскольку если p - нечетное простое число, тогда сумма собственных делителей числа 2p равна  p  + 3.

Бесконечность [ править ]

Число неприкасаемых бесконечно много, и этот факт доказал Пол Эрдёш . ^[3] Согласно Чену и Чжао, их естественная плотность составляет не менее d> 0,06. ^[4]

См. Также [ править ]

• Последовательность аликвот
• Неточность
• Noncototient
• Странное число

Ссылки [ править ]

• Ричард К. Гай , Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд), Springer Verlag , 2004 ISBN 0-387-20860-7 ; раздел B10. 

Внешние ссылки [ править ]

• Последовательность OEIS A070015 (наименьшее m такое, что сумма аликвотных частей m равна n или 0, если такого числа не существует)