Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлен из проблемы Waring )
Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории чисел , проблема Варинга спрашивает , может ли каждое натуральное число к имеет связанное с ним целым положительным числом s такими , что каждое натуральное число есть сумма в большинстве s натуральные чисел в степени к . Например, каждое натуральное число представляет собой сумму не более 4 квадратов, 9 кубиков или 19 четвертых степеней. Проблема Варинга была предложена в 1770 году Эдвардом Уорингом , в честь которого она названа. Утвердительный ответ на нее , известный как теорема Гильберта – Варинга , был дан Гильбертом в 1909 году. [1] Проблема Варинга имеет собственную классификацию предметов по математике., 11P05, «Проблема Варинга и варианты».

Связь с теоремой Лагранжа о четырех квадратах [ править ]

Задолго до того, как Варинг поставил свою задачу, Диофант спросил, может ли каждое положительное целое число быть представлено в виде суммы четырех полных квадратов, больших или равных нулю. Этот вопрос позже стал известен как гипотеза Баше, после того как в 1621 году Клод Гаспар перевел Диофанта , и он был решен Жозефом-Луи Лагранжем в его теореме о четырех квадратах.в 1770 году, в том же году, Уоринг высказал свое предположение. Варинг стремился обобщить эту проблему, пытаясь представить все положительные целые числа в виде суммы кубов, целых чисел в четвертой степени и т. Д., Чтобы показать, что любое положительное целое число может быть представлено как сумма других целых чисел, возведенных в определенную степень, и что всегда было максимальное количество целых чисел, возведенных в определенную степень, необходимое для представления всех положительных целых чисел таким образом.

Число g ( k ) [ править ]

Для каждого , пусть обозначают минимальное число из я степеней натуралов , необходимых для представления всех положительных целых чисел. Каждое положительное целое число - это сумма самой первой степени, так что . Некоторые простые вычисления показывают, что 7 требует 4 квадрата, 23 требует 9 кубов, [2] и 79 требует 19 четвертых степеней; Эти примеры показывают , что , и . Варинг предположил, что эти нижние оценки на самом деле являются точными значениями.

Теорема Лагранжа о четырех квадратах 1770 года утверждает, что каждое натуральное число является суммой не более четырех квадратов. Поскольку трех квадратов недостаточно, эта теорема доказана . Теорема Лагранжа о четырех квадратах была сформулирована в « Арифметике Диофанта » Баше 1621 года ; Ферма заявил, что у него есть доказательство, но не опубликовал его. [3]

С годами были установлены различные границы с использованием все более изощренных и сложных методов доказательства. Например, Лиувилль показал, что это не более 53. Харди и Литтлвуд показали, что все достаточно большие числа являются суммой не более 19 четвертых степеней.

Это была создана с 1909 по 1912 Wieferich [4] и AJ Kempner , [5] в 1986 году Р. Баласубраманьян , Ф. платье и Ж.-М. Deshouillers , [6] [7] в 1964 году Чэнь Цзинжун и в 1940 году Пиллаи . [8]

Пусть и соответственно обозначают целую и дробную части положительного действительного числа . Учитывая число , для представления может использоваться только и ; наиболее экономичное представление требует круга и круга . Отсюда следует, что не меньше, чем . Это было отмечено Дж. А. Эйлером, сыном Леонхарда Эйлера , примерно в 1772 году. [9] Более поздние работы Диксона , Пиллаи , Рубугундея , Нивена [10] и многих других доказали, что

Неизвестно какое значение . Малер [11] доказал, что таких может быть только конечное число , а Кубина и Вундерлих [12] показали, что любое такое должно удовлетворять 471 600 000. Таким образом, предполагается, что этого никогда не происходит, то есть для любого положительного целого числа .

Первые несколько значений :

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, 263619, 526502, 1051899, ... (последовательность A002804 в OEIS ) .

Число G ( k ) [ править ]

Из работы Харди и Литтлвуда соответствующая величина G ( k ) изучалась с помощью g ( k ). G ( k ) определяется как наименьшее положительное целое число s такое, что каждое достаточно большое целое число (т. Е. Каждое целое число, большее некоторой константы) может быть представлено как сумма не более s положительных целых чисел в степени k . Ясно, что G (1) = 1. Поскольку квадраты конгруэнтны 0, 1 или 4 (mod 8), никакое целое число, конгруэнтное 7 (mod 8), не может быть представлено в виде суммы трех квадратов, из чего следует, что G (2) ≥ 4. Поскольку G ( k ) ≤ g ( k ) для всех k , это показывает, что G (2) = 4 . Давенпорт показал, что G (4) = 16 в 1939 году, продемонстрировав, что любое достаточно большое число, конгруэнтное от 1 до 14 по модулю 16, может быть записано как сумма 14 четвертых степеней (Воган в 1985 и 1989 годах уменьшил 14 последовательно до 13 и 12. ). Точное значение G ( k ) неизвестно ни для каких других k , но существуют границы.

Нижние оценки для G ( k ) [ править ]

Число G ( k ) больше или равно

2 r +2,             если k = 2 r при r ≥ 2, или k = 3 × 2 r ;
p r +1,             если p простое число больше 2 и k = p r ( p - 1);
( p r +1 - 1) / 2, если p простое число больше 2 и k = p r (p - 1) / 2;
k + 1 для всех целых k больше 1.

В отсутствие ограничений сравнения аргумент плотности предполагает, что G ( k ) должно быть равно k + 1 .

Верхние оценки для G ( k ) [ править ]

G (3) не менее четырех (поскольку кубы конгруэнтны 0, 1 или −1 mod 9); для чисел меньше 1,3 × 10 9 1290740 является последним, требующим шести кубиков, а число чисел от N до 2N, требующих пяти кубов, уменьшается с увеличением N с достаточной скоростью, чтобы люди поверили, что G (3) = 4 ; [13] наибольшее число, которое, как известно, не является суммой четырех кубов, равно 7373170279850, [14] и авторы приводят разумные аргументы, что это может быть наибольшим возможным. Верхняя оценка G (3) ≤ 7 получена Линником в 1943 г. [15] (Для всех неотрицательных целых чисел требуется не более 9 кубов, а наибольшие целые числа, требующие 9, 8, 7, 6 и 5 кубов, предположительно равны 239, 454, 8042, 1290740 и 7373170279850 соответственно.)

13792 - это наибольшее число, требующее семнадцати четвертых степеней (Deshouillers, Hennecart и Landreau показали в 2000 году [16], что каждое число от 13793 до 10 245 требует не более шестнадцати), а Кавада, Вули и Дешуиллерс расширили результат Давенпорта 1939 года, чтобы показать, что каждое число от 13793 до 10 245 требует не более шестнадцати. свыше 10 220 требуется не более шестнадцати). Шестнадцать четвертых степеней всегда необходимы, чтобы записать число вида 31 · 16 n .

617597724 - последнее число меньше 1,3 × 10 9, что требует десяти пятых степеней, и 51033617 - последнее число меньше 1,3 × 10 9, что требует одиннадцати.

Верхние границы справа при k = 5, 6, ..., 20 принадлежат Вогану и Вули . [17]

Используя свой усовершенствованный метод Харди-Литтлвуда , И. М. Виноградов опубликовал многочисленные уточнения, приведшие к

в 1947 году и, в конечном итоге,

для неуказанной константы C и достаточно большого k в 1959 г.

Применяя свою p-адическую форму метода Харди-Литтлвуда-Рамануджана-Виноградова к оценке тригонометрических сумм, в которой суммирование ведется по числам с малыми простыми делителями, Анатолий Алексеевич Карацуба получил [18] (1985) новую оценку уравнения Харди. функция (для ):

Дальнейшие уточнения были получены Воганом [1989].

Вул затем было установлено , что для некоторой константы C , [19]

Воан и Вули написали обширную обзорную статью. [17]

См. Также [ править ]

  • Fermat polygonal number theorem, the theorem every positive integer is a sum of at most n of the n-gonal numbers
  • Waring–Goldbach problem, the problem of representing numbers as sums of powers of primes
  • Subset sum problem, an algorithmic problem that can be used to find the shortest representation of a given number as a sum of powers
  • Sums of three cubes, discusses what numbers are the sum of three not necessarily positive cubes

Notes[edit]

  1. ^ Hilbert, David (1909). "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem)". Mathematische Annalen. 67 (3): 281–300. doi:10.1007/bf01450405. MR 1511530.
  2. ^ Remember we restrict ourselves to natural numbers. With general integers, it is not hard to write 23 as the sum of 4 cubes, e.g. or .
  3. ^ Dickson, Leonard Eugene (1920). "Chapter VIII". History of the Theory of Numbers, Volume II: Diophantine Analysis. Carnegie Institute of Washington.
  4. ^ Wieferich, Arthur (1909). "Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt". Mathematische Annalen. 66 (1): 95–101. doi:10.1007/BF01450913.
  5. ^ Kempner, Aubrey (1912). "Bemerkungen zum Waringschen Problem". Mathematische Annalen. 72 (3): 387–399. doi:10.1007/BF01456723.
  6. ^ Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Dress, François (1986). "Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solution" [Waring's problem for biquadrates. I. Sketch of the solution]. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (in French). 303 (4): 85–88. MR 0853592.
  7. ^ Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Dress, François (1986). "Problème de Waring pour les bicarrés. II. Résultats auxiliaires pour le théorème asymptotique" [Waring's problem for biquadrates. II. Auxiliary results for the asymptotic theorem]. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (in French). 303 (5): 161–163. MR 0854724.
  8. ^ Pillai, S. S. (1940). "On Waring's problem g(6)=73". Proc. Indian Acad. Sci. 12: 30–40. doi:10.1007/BF03170721. MR 0002993.
  9. ^ L. Euler "Opera posthuma" (1), 203-204 (1862). Read Online
  10. ^ Niven, Ivan M. (1944). "An unsolved case of the Waring problem". American Journal of Mathematics. The Johns Hopkins University Press. 66 (1): 137–143. doi:10.2307/2371901. JSTOR 2371901. MR 0009386.
  11. ^ Mahler, Kurt (1957). "On the fractional parts of the powers of a rational number II". Mathematika. 4 (2): 122–124. doi:10.1112/s0025579300001170. MR 0093509.
  12. ^ Kubina, Jeffrey M.; Wunderlich, Marvin C. (1990). "Extending Waring's conjecture to 471,600,000". Math. Comp. 55 (192): 815–820. Bibcode:1990MaCom..55..815K. doi:10.2307/2008448. JSTOR 2008448. MR 1035936.
  13. ^ Nathanson (1996, p. 71)
  14. ^ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Appendix by (2000). "7373170279850". Mathematics of Computation. 69 (229): 421–439. doi:10.1090/S0025-5718-99-01116-3.
  15. ^ U.V. Linnik. Mat. Sb. N.S. 12(54), 218–224 (1943) On the representation of large numbers as sums of seven cubes.
  16. ^ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard (2000). "Waring's Problem for sixteen biquadrates - numerical results". Journal de théorie des nombres de Bordeaux. 12 (2): 411–422. doi:10.5802/jtnb.287.
  17. ^ a b Vaughan, R. C.; Wooley, Trevor (2002). "Waring's Problem: A Survey". In Bennet, Michael A.; Berndt, Bruce C.; Boston, Nigel; Diamond, Harold G.; Hildebrand, Adolf J.; Philipp, Walter (eds.). Number Theory for the Millennium. III. Natick, MA: A. K. Peters. pp. 301–340. ISBN 978-1-56881-152-9. MR 1956283.
  18. ^ Karatsuba, A. A. (1985). "On the function G(n) in Waring's problem". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Math. 27 (49:5): 935–947. Bibcode:1986IzMat..27..239K. doi:10.1070/IM1986v027n02ABEH001176.
  19. ^ Vaughan, R.C. (1997). The Hardy-Littlewood method. Cambridge Tracts in Mathematics. 125 (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-57347-5. Zbl 0868.11046.

References[edit]

  • G. I. Arkhipov, V. N. Chubarikov, A. A. Karatsuba, "Trigonometric sums in number theory and analysis". Berlin–New-York: Walter de Gruyter, (2004).
  • G. I. Arkhipov, A.A. Karatsuba, V. N. Chubarikov, "Theory of multiple trigonometric sums". Moscow: Nauka, (1987).
  • Yu. V. Linnik, "An elementary solution of the problem of Waring by Schnirelman's method". Mat. Sb., N. Ser. 12 (54), 225–230 (1943).
  • R. C. Vaughan, "A new iterative method in Waring's problem". Acta Mathematica (162), 1–71 (1989).
  • I. M. Vinogradov "The method of trigonometrical sums in the theory of numbers". Trav. Inst. Math. Stekloff (23), 109 pp. (1947).
  • I. M. Vinogradov "On an upper bound for G(n)". Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. (23), 637–642 (1959).
  • I. M. Vinogradov, A. A. Karatsuba, "The method of trigonometric sums in number theory", Proc. Steklov Inst. Math., 168, 3–30 (1986); translation from Trudy Mat. Inst. Steklova, 168, 4–30 (1984).
  • Ellison, W. J. (1971). "Waring's problem". American Mathematical Monthly. 78 (1): 10–36. doi:10.2307/2317482. JSTOR 2317482. Survey, contains the precise formula for g(k), a simplified version of Hilbert's proof and a wealth of references.
  • Khinchin, A. Ya. (1998). Three Pearls of Number Theory. Mineola, NY: Dover. ISBN 978-0-486-40026-6. Has an elementary proof of the existence of G(k) using Schnirelmann density.
  • Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics. 164. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X. Zbl 0859.11002. Has proofs of Lagrange's theorem, the polygonal number theorem, Hilbert's proof of Waring's conjecture and the Hardy-Littlewood proof of the asymptotic formula for the number of ways to represent N as the sum of s kth powers.
  • Hans Rademacher and Otto Toeplitz, The Enjoyment of Mathematics (1933) (ISBN 0-691-02351-4). Has a proof of the Lagrange theorem, accessible to high school students.

External links[edit]

  • "Waring problem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]