Проблема Варинга

В теории чисел , проблема Варинга спрашивает , может ли каждое натуральное число к имеет связанное с ним целым положительным числом s такими , что каждое натуральное число есть сумма в большинстве s натуральные чисел в степени к . Например, каждое натуральное число представляет собой сумму не более 4 квадратов, 9 кубиков или 19 четвертых степеней. Проблема Варинга была предложена в 1770 году Эдвардом Уорингом , в честь которого она названа. Утвердительный ответ на нее , известный как теорема Гильберта – Варинга , был дан Гильбертом в 1909 году. ^[1] Проблема Варинга имеет собственную классификацию предметов по математике., 11P05, «Проблема Варинга и варианты».

Связь с теоремой Лагранжа о четырех квадратах [ править ]

Задолго до того, как Варинг поставил свою задачу, Диофант спросил, может ли каждое положительное целое число быть представлено в виде суммы четырех полных квадратов, больших или равных нулю. Этот вопрос позже стал известен как гипотеза Баше, после того как в 1621 году Клод Гаспар перевел Диофанта , и он был решен Жозефом-Луи Лагранжем в его теореме о четырех квадратах.в 1770 году, в том же году, Уоринг высказал свое предположение. Варинг стремился обобщить эту проблему, пытаясь представить все положительные целые числа в виде суммы кубов, целых чисел в четвертой степени и т. Д., Чтобы показать, что любое положительное целое число может быть представлено как сумма других целых чисел, возведенных в определенную степень, и что всегда было максимальное количество целых чисел, возведенных в определенную степень, необходимое для представления всех положительных целых чисел таким образом.

Число g ( k ) [ править ]

Для каждого , пусть обозначают минимальное число из я степеней натуралов , необходимых для представления всех положительных целых чисел. Каждое положительное целое число - это сумма самой первой степени, так что . Некоторые простые вычисления показывают, что 7 требует 4 квадрата, 23 требует 9 кубов, ^[2] и 79 требует 19 четвертых степеней; Эти примеры показывают , что , и . Варинг предположил, что эти нижние оценки на самом деле являются точными значениями.${\displaystyle k}$${\displaystyle g(k)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle k}$${\displaystyle g(1)=1}$${\displaystyle g(2)\geq 4}$${\displaystyle g(3)\geq 9}$${\displaystyle g(4)\geq 19}$

Теорема Лагранжа о четырех квадратах 1770 года утверждает, что каждое натуральное число является суммой не более четырех квадратов. Поскольку трех квадратов недостаточно, эта теорема доказана . Теорема Лагранжа о четырех квадратах была сформулирована в « Арифметике Диофанта » Баше 1621 года ; Ферма заявил, что у него есть доказательство, но не опубликовал его. ^[3]${\displaystyle g(2)=4}$

С годами были установлены различные границы с использованием все более изощренных и сложных методов доказательства. Например, Лиувилль показал, что это не более 53. Харди и Литтлвуд показали, что все достаточно большие числа являются суммой не более 19 четвертых степеней.${\displaystyle g(4)}$

Это была создана с 1909 по 1912 Wieferich ^[4] и AJ Kempner , ^[5] в 1986 году Р. Баласубраманьян , Ф. платье и Ж.-М. Deshouillers , ^{[6] [7]} в 1964 году Чэнь Цзинжун и в 1940 году Пиллаи . ^[8]${\displaystyle g(3)=9}$ ${\displaystyle g(4)=19}$ ${\displaystyle g(5)=37}$${\displaystyle g(6)=73}$

Пусть и соответственно обозначают целую и дробную части положительного действительного числа . Учитывая число , для представления может использоваться только и ; наиболее экономичное представление требует круга и круга . Отсюда следует, что не меньше, чем . Это было отмечено Дж. А. Эйлером, сыном Леонхарда Эйлера , примерно в 1772 году. ^[9] Более поздние работы Диксона , Пиллаи , Рубугундея , Нивена ^[10] и многих других доказали, что${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c=2^{k}\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -1<3^{k}}$${\displaystyle 2^{k}}$${\displaystyle 1^{k}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \lfloor (3/2)^{k}\rfloor -1}$${\displaystyle 2^{k}}$${\displaystyle 2^{k}-1}$${\displaystyle 1^{k}}$${\displaystyle g(k)}$${\displaystyle 2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2}$

${\displaystyle g(k)=2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2}$	${\displaystyle \,\mathrm {if} }$	${\displaystyle 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor \leq 2^{k}}$
${\displaystyle g(k)=2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -2}$	${\displaystyle \,\mathrm {if} }$	${\displaystyle 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}}$	${\displaystyle \,\mathrm {and} }$	${\displaystyle \lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor =2^{k}}$
${\displaystyle g(k)=2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -3}$	${\displaystyle \,\mathrm {if} }$	${\displaystyle 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}}$	${\displaystyle \,\mathrm {and} }$	${\displaystyle \lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}.}$

Неизвестно какое значение . Малер ^[11] доказал, что таких может быть только конечное число , а Кубина и Вундерлих ^[12] показали, что любое такое должно удовлетворять 471 600 000. Таким образом, предполагается, что этого никогда не происходит, то есть для любого положительного целого числа .${\displaystyle k}$${\displaystyle 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k>}$${\displaystyle g(k)=2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2}$${\displaystyle k}$

Первые несколько значений :${\displaystyle g(k)}$

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, 263619, 526502, 1051899, ... (последовательность A002804 в OEIS ) .

Число G ( k ) [ править ]

Из работы Харди и Литтлвуда соответствующая величина G ( k ) изучалась с помощью g ( k ). G ( k ) определяется как наименьшее положительное целое число s такое, что каждое достаточно большое целое число (т. Е. Каждое целое число, большее некоторой константы) может быть представлено как сумма не более s положительных целых чисел в степени k . Ясно, что G (1) = 1. Поскольку квадраты конгруэнтны 0, 1 или 4 (mod 8), никакое целое число, конгруэнтное 7 (mod 8), не может быть представлено в виде суммы трех квадратов, из чего следует, что G (2) ≥ 4. Поскольку G ( k ) ≤ g ( k ) для всех k , это показывает, что G (2) = 4 . Давенпорт показал, что G (4) = 16 в 1939 году, продемонстрировав, что любое достаточно большое число, конгруэнтное от 1 до 14 по модулю 16, может быть записано как сумма 14 четвертых степеней (Воган в 1985 и 1989 годах уменьшил 14 последовательно до 13 и 12. ). Точное значение G ( k ) неизвестно ни для каких других k , но существуют границы.

Нижние оценки для G ( k ) [ править ]

Число G ( k ) больше или равно

2 ^{r +2,}             если k = 2 ^r при r ≥ 2, или k = 3 × 2 ^r ;

p ^{r +1,}             если p простое число больше 2 и k = p ^r ( p - 1);

( p ^{r +1} - 1) / 2, если p простое число больше 2 и k = p ^r (p - 1) / 2;

k + 1 для всех целых k больше 1.

В отсутствие ограничений сравнения аргумент плотности предполагает, что G ( k ) должно быть равно k + 1 .

Верхние оценки для G ( k ) [ править ]

G (3) не менее четырех (поскольку кубы конгруэнтны 0, 1 или −1 mod 9); для чисел меньше 1,3 × 10 ⁹ 1290740 является последним, требующим шести кубиков, а число чисел от N до 2N, требующих пяти кубов, уменьшается с увеличением N с достаточной скоростью, чтобы люди поверили, что G (3) = 4 ; ^[13] наибольшее число, которое, как известно, не является суммой четырех кубов, равно 7373170279850, ^[14] и авторы приводят разумные аргументы, что это может быть наибольшим возможным. Верхняя оценка G (3) ≤ 7 получена Линником в 1943 г. ^[15] (Для всех неотрицательных целых чисел требуется не более 9 кубов, а наибольшие целые числа, требующие 9, 8, 7, 6 и 5 кубов, предположительно равны 239, 454, 8042, 1290740 и 7373170279850 соответственно.)

13792 - это наибольшее число, требующее семнадцати четвертых степеней (Deshouillers, Hennecart и Landreau показали в 2000 году ^[16], что каждое число от 13793 до 10 ²⁴⁵ требует не более шестнадцати), а Кавада, Вули и Дешуиллерс расширили результат Давенпорта 1939 года, чтобы показать, что каждое число от 13793 до 10 ²⁴⁵ требует не более шестнадцати. свыше 10 ²²⁰ требуется не более шестнадцати). Шестнадцать четвертых степеней всегда необходимы, чтобы записать число вида 31 · 16 ⁿ .

617597724 - последнее число меньше 1,3 × 10 ^9, что требует десяти пятых степеней, и 51033617 - последнее число меньше 1,3 × 10 ^9, что требует одиннадцати.

Верхние границы справа при k = 5, 6, ..., 20 принадлежат Вогану и Вули . ^[17]

Используя свой усовершенствованный метод Харди-Литтлвуда , И. М. Виноградов опубликовал многочисленные уточнения, приведшие к

${\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11)}$

в 1947 году и, в конечном итоге,

${\displaystyle G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+C\log \log \log k)}$

для неуказанной константы C и достаточно большого k в 1959 г.

Применяя свою p-адическую форму метода Харди-Литтлвуда-Рамануджана-Виноградова к оценке тригонометрических сумм, в которой суммирование ведется по числам с малыми простыми делителями, Анатолий Алексеевич Карацуба получил ^[18] (1985) новую оценку уравнения Харди. функция (для ):${\displaystyle G(k)}$${\displaystyle k\geq 400}$

${\displaystyle \!G(k)<2k\log k+2k\log \log k+12k.}$

Дальнейшие уточнения были получены Воганом [1989].

Вул затем было установлено , что для некоторой константы C , ^[19]

${\displaystyle G(k)\leq k\log k+k\log \log k+Ck.}$

Воан и Вули написали обширную обзорную статью. ^[17]

См. Также [ править ]

• Fermat polygonal number theorem, the theorem every positive integer is a sum of at most n of the n-gonal numbers
• Waring–Goldbach problem, the problem of representing numbers as sums of powers of primes
• Subset sum problem, an algorithmic problem that can be used to find the shortest representation of a given number as a sum of powers
• Sums of three cubes, discusses what numbers are the sum of three not necessarily positive cubes

Notes[edit]

References[edit]

• G. I. Arkhipov, V. N. Chubarikov, A. A. Karatsuba, "Trigonometric sums in number theory and analysis". Berlin–New-York: Walter de Gruyter, (2004).
• G. I. Arkhipov, A.A. Karatsuba, V. N. Chubarikov, "Theory of multiple trigonometric sums". Moscow: Nauka, (1987).
• Yu. V. Linnik, "An elementary solution of the problem of Waring by Schnirelman's method". Mat. Sb., N. Ser. 12 (54), 225–230 (1943).
• R. C. Vaughan, "A new iterative method in Waring's problem". Acta Mathematica (162), 1–71 (1989).
• I. M. Vinogradov "The method of trigonometrical sums in the theory of numbers". Trav. Inst. Math. Stekloff (23), 109 pp. (1947).
• I. M. Vinogradov "On an upper bound for G(n)". Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. (23), 637–642 (1959).
• I. M. Vinogradov, A. A. Karatsuba, "The method of trigonometric sums in number theory", Proc. Steklov Inst. Math., 168, 3–30 (1986); translation from Trudy Mat. Inst. Steklova, 168, 4–30 (1984).
• Ellison, W. J. (1971). "Waring's problem". American Mathematical Monthly. 78 (1): 10–36. doi:10.2307/2317482. JSTOR 2317482. Survey, contains the precise formula for g(k), a simplified version of Hilbert's proof and a wealth of references.
• Khinchin, A. Ya. (1998). Three Pearls of Number Theory. Mineola, NY: Dover. ISBN 978-0-486-40026-6. Has an elementary proof of the existence of G(k) using Schnirelmann density.
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics. 164. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X. Zbl 0859.11002. Has proofs of Lagrange's theorem, the polygonal number theorem, Hilbert's proof of Waring's conjecture and the Hardy-Littlewood proof of the asymptotic formula for the number of ways to represent N as the sum of s kth powers.
• Hans Rademacher and Otto Toeplitz, The Enjoyment of Mathematics (1933) (ISBN 0-691-02351-4). Has a proof of the Lagrange theorem, accessible to high school students.

External links[edit]

Wikisource has original text related to this article: Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem)

• "Waring problem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]