В теоретической физике , то Weinberg-Виттена ( WW ) теорема , доказанная Steven Weinberg и Виттен , утверждает , что безмассовые частицы (либо композитные или элементарные) со спином J > 1/2 не может нести Лоренц-ковариантный ток, в то время как невесомые частицы с спин j > 1 не может нести лоренц-ковариантную энергию - напряжение . Теорема обычно интерпретируется как означающая, что гравитон ( j = 2) не может быть составной частицей в релятивистской квантовой теории поля .
Задний план
В 1980-е годы были очень популярны теории преонов , техниколор и тому подобное, и некоторые люди предполагали, что гравитация может быть возникающим явлением или что глюоны могут быть составными . Вайнберг и Виттен, с другой стороны, разработали запретную теорему, которая при очень общих предположениях исключает гипотетические составные и возникающие теории. Спустя десятилетия предлагаются новые теории возникающей гравитации, и некоторые физики высоких энергий все еще используют эту теорему, чтобы опровергнуть такие теории. Поскольку большинство из этих возникающих теорий не являются лоренц-ковариантными, теорема WW неприменима. Однако нарушение лоренцевой ковариантности обычно приводит к другим проблемам. [ необходима цитата ]
Теорема
Вайнберг и Виттен доказали два разных результата. По их словам, первое связано с Сидни Коулманом , который его не опубликовал:
- 3 + 1D QFT ( квантовая теория поля ) с сохраняющимся 4-векторным током(см. четыре-ток ), который является ковариантным по Пуанкаре (и калибровочно-инвариантным, если существует калибровочная симметрия, которая не была калибровочно-фиксированной ), не допускает безмассовых частиц со спиральностью | h | > 1/2, которые также имеют ненулевые заряды, связанные с рассматриваемым сохраняющимся током.
- 3 + 1D QFT с ненулевым сохраняющимся тензором энергии-импульса который является ковариантным по Пуанкаре (и калибровочно инвариантным, если существует калибровочная симметрия, которая не была фиксированной калибровкой ), не допускает безмассовых частиц со спиральностью | h | > 1.
Набросок доказательства
Сохраняющийся заряд Q определяется выражением. Будем рассматривать матричные элементы заряда и тока для одночастичных асимптотических состояний равной спиральности, а также , помеченные их светоподобными 4-импульсами . Мы рассмотрим случай, когдане равно нулю, что означает, что передача импульса пространственноподобна . Пусть q - собственное значение этих состояний для оператора заряда Q , так что:
где мы теперь использовали трансляционную ковариацию, которая является частью ковариации Пуанкаре. Таким образом:
с участием .
Давайте перейдем к системе отсчета, где p движется по положительной оси z, а p ′ движется по отрицательной оси z . Это всегда возможно для любой пространственноподобной передачи импульса.
В этой системе отсчета а также изменение на фазовый коэффициент при поворотах на θ против часовой стрелки вокруг оси z, тогда как а также изменение фазовыми факторами а также соответственно.
Если h не равно нулю, нам нужно указать фазы состояний. В общем, это невозможно сделать лоренц-инвариантным способом (см. Прецессию Томаса ), но одночастичное гильбертово пространство является лоренц-ковариантным. Итак, если мы сделаем произвольный, но фиксированный выбор для фаз, то каждый из компонентов матрицы в предыдущем абзаце должен быть инвариантным относительно поворотов вокруг оси z . Итак, если | h | = 0 или 1/2, все компоненты должны быть нулевыми.
Вайнберг и Виттен не предполагали преемственности
- .
Скорее авторы утверждают, что физические (то есть измеримые) квантовые числа безмассовой частицы всегда определяются матричными элементами в пределе нулевого импульса, определенном для последовательности пространственно-подобных переданных импульсов. Также,в первом уравнении можно заменить «размазанной» дельта-функцией Дирака , что соответствует выполнению объемный интеграл по конечному ящику.
Доказательство второй части теоремы полностью аналогично с заменой матричных элементов тока матричными элементами тензора энергии-импульса :
- а также
с участием .
Для пространственноподобной передачи импульса мы можем перейти в систему отсчета, где p ′ + p находится вдоль оси t, а p ′ - p вдоль оси z . В этой системе отсчета компоненты трансформируется как , ,, или же при повороте на θ вокруг оси z . Аналогичным образом можно сделать вывод, что
Обратите внимание, что эта теорема также применима к теориям свободного поля . Если они содержат безмассовые частицы с «неправильной» спиральностью / зарядом, они должны быть калибровочными теориями.
Исключение возникающих теорий
Какое отношение эта теорема имеет к эмерджентным / составным теориям?
Если предположить, что гравитация - это новая теория фундаментально плоской теории над плоским пространством-временем Минковского , то по теореме Нётер у нас есть сохраняющийся тензор энергии-напряжения, ковариантный по Пуанкаре. Если теория имеет внутреннюю калибровочную симметрию (типа Янга – Миллса), мы можем выбрать тензор напряжений – энергии Белинфанте – Розенфельда, который является калибровочно-инвариантным. Поскольку не существует фундаментальной симметрии диффеоморфизмов , нам не нужно беспокоиться о том, что этот тензор не является BRST-замкнутым относительно диффеоморфизмов. Итак, применима теорема Вайнберга – Виттена, и мы не можем получить безмассовый составной / эмерджентный гравитон со спином 2 (т.е. спиральность ± 2) .
Если у нас есть теория с фундаментальным сохраняющимся 4-током, связанным с глобальной симметрией , тогда у нас не может быть возникающих / составных безмассовых частиц со спином 1, которые заряжены согласно этой глобальной симметрии.
Теории, к которым теорема неприменима
Неабелевы калибровочные теории
Есть несколько способов понять, почему неабелевы теории Янга – Миллса в кулоновской фазе не нарушают эту теорему. Теории Янга – Миллса не имеют никакого сохраняющегося 4-тока, связанного с зарядами Янга – Миллса, которые являются как ковариантными по Пуанкаре, так и калибровочно-инвариантными. Теорема Нётер дает ток, который является сохраняющимся и ковариантным по Пуанкаре, но не калибровочно-инвариантным. Как | p > действительно является элементом BRST- когомологий, т.е. фактор-пространством , это действительно класс эквивалентности состояний. Как таковой,корректно определено только в том случае, если J BRST-замкнут. Но если J не является калибровочно-инвариантным, то J, вообще говоря, не является BRST-замкнутым. Ток определяется как не сохраняется, потому что удовлетворяет вместо где D - ковариантная производная . Ток, определенный после фиксации калибровки, такой как кулоновская калибровка , сохраняется, но не является лоренц-ковариантным.
Спонтанно нарушенные калибровочные теории
В калибровочных бозонов , связанные с спонтанно нарушенных симметрий массивны. Например, в КХД есть электрически заряженные ро-мезоны, которые можно описать возникающей скрытой калибровочной симметрией, которая спонтанно нарушается. Поэтому в принципе ничто не мешает нам иметь составные преонные модели W- и Z-бозонов .
Аналогичным образом, хотя фотон заряжен со слабой симметрией SU (2) (поскольку это калибровочный бозон, связанный с линейной комбинацией слабого изоспина и гиперзаряда), он также движется через конденсат таких зарядов и Итак, это не точное собственное состояние слабых зарядов, и эта теорема также не применима.
Массивная гравитация
Аналогичным образом, возможна сложная / возникающая теория массивной гравитации .
Общая теория относительности
В GR имеются диффеоморфизмы, и A | ψ> (над элементом | ψ> BRST-когомологий) имеет смысл только в том случае, если A BRST-замкнута. Не существует локальных BRST-замкнутых операторов, включая любой тензор энергии-импульса, который мы только можем придумать.
В качестве альтернативного объяснения обратите внимание, что тензор напряжений для чистого ОТО обращается в нуль (это утверждение эквивалентно вакуумному уравнению Эйнштейна), а тензор напряжений для ОТО, связанного с материей, является просто тензором напряжений материи. Последний не сохраняется,, скорее где ковариантная производная.
Индуцированная гравитация
В индуцированной гравитации фундаментальная теория также инвариантна к диффеоморфизму, и применимо то же самое замечание.
Двойственность Зайберга
Если мы возьмем N = 1 киральную супер КХД с N c цветов и N f ароматов с, то по двойственности Зайберга эта теория двойственна неабелевой калибровочная теория, тривиальная (т.е. свободная) в инфракрасном пределе. Таким образом, двойственная теория не страдает ни проблемой инфрачастиц, ни непрерывным спектром масс. Несмотря на это, дуальная теория по-прежнему является неабелевой теорией Янга – Миллса. Из-за этого двойной магнитный ток по-прежнему страдает теми же проблемами, даже если он является «возникающим током». Свободные теории не освобождаются от теоремы Вайнберга – Виттена.
Конформная теория поля
В конформной теории поля единственными действительно безмассовыми частицами являются невзаимодействующие синглетоны (см. Одноэлементное поле ). Другие "частицы" / связанные состояния имеют непрерывный спектр масс, который может принимать любую сколь угодно малую ненулевую массу. Таким образом, мы можем иметь связанные состояния со спином 3/2 и спином 2 с произвольно малыми массами, но при этом не нарушать теорему. Другими словами, это инфрачастицы .
Инфрачастицы
Две идентичные в остальном заряженные инфрачастицы, движущиеся с разными скоростями, принадлежат разным секторам суперселекции . Скажем, у них есть импульсы p ′ и p соответственно. Тогда, поскольку J μ (0) является локальным нейтральным оператором , он не отображается между разными секторами супервыбора. Так,равно нулю. Единственный способ | p ′ '> и | p > могут принадлежать одному и тому же сектору, если они имеют одинаковую скорость, что означает, что они пропорциональны друг другу, то есть передача нулевого или нулевого импульса, что не рассматривается в доказательстве. Итак, инфрачастицы нарушают предположение о непрерывности
Это, конечно, не означает, что импульс заряженной частицы не может измениться на некоторый пространственноподобный импульс. Это означает только то, что если входящее состояние является состоянием одной инфрачастицы, то исходящее состояние содержит инфрачастицу вместе с рядом мягких квантов. Это не что иное, как неизбежное тормозное излучение . Но это также означает, что исходящее состояние не является одночастичным.
Теории с нелокальными зарядами
Очевидно, что нелокальный заряд не имеет локального 4-тока, а теория с нелокальным 4-импульсом не имеет локального тензора энергии-импульса.
Акустические метрические теории и аналоговая модель гравитации
Эти теории не являются лоренцковариантными. Однако некоторые из этих теорий могут привести к приближенной эмерджентной симметрии Лоренца при низких энергиях, так что мы можем и съесть торт, и съесть его.
Теория суперструн
Теория суперструн, определенная над фоновой метрикой (возможно, с некоторыми потоками) над 10-мерным пространством, которое является продуктом плоского 4-мерного пространства Минковского и компактного 6-мерного пространства, имеет безмассовый гравитон в своем спектре. Это эмерджентная частица, возникающая в результате колебаний суперструны. Давайте посмотрим, как мы будем определять тензор энергии-импульса. Фон задается g (метрика) и парой других полей. Эффективное действие является функционалом фона. Вакуумный тензор энергии-импульс затем определяются как функциональные производной
Оператор напряжения-энергии определяется как вершинный оператор, соответствующий этому бесконечно малому изменению фоновой метрики.
Не все фоны допустимы. Суперструны должны обладать суперконформной симметрией, которая является суперобобщением симметрии Вейля , чтобы быть согласованными, но они являются суперконформными только при распространении по некоторым специальным фонам (которые удовлетворяют уравнениям поля Эйнштейна плюс некоторые поправки более высокого порядка). Из-за этого эффективное действие определяется только для этих специальных фонов, а функциональная производная не определена четко. Вершинный оператор для тензора энергии-импульса в точке также не существует.
Рекомендации
- Вайнберг, Стивен; Виттен, Эдвард (1980). «Пределы безмассовых частиц». Физика Письма Б . 96 (1–2): 59–62. Bibcode : 1980PhLB ... 96 ... 59W . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (80) 90212-9 .
- Дженкинс, Алехандро (2006). Темы физики элементарных частиц и космологии, выходящие за рамки стандартной модели (Диссертация). arXiv : hep-th / 0607239 . Bibcode : 2006PhDT ........ 96J . (подробный обзор см. в главе 2)