В математике и теоретической физики , классификация Вигнера является классификация неотрицательных ( Е ≥ 0) энергии неприводимых унитарных представлений в группе Пуанкаре , которые имеют острые [ когда определяется как? ] массовые собственные значения . (Поскольку эта группа некомпактна, эти унитарные представления бесконечномерны.) Она была введена Юджином Вигнером для классификации частиц и полей в физике - см. Статью « Физика частиц и теория представлений» . Он опирается на стабилизирующие подгруппы этой группы, получившие названиеВигнеровские маленькие группы различных массовых состояний.
В Казимира инварианты группы Пуанкаре являются С 1 = P μ P μ , где Р является оператором 4-импульса , и С 2 = W α W α , где W представляет собой Паули-Любанского псевдовектор . Собственные значения этих операторов служат для обозначения представлений. Первый связан с квадратом массы, а второй - со спиральностью или вращением .
Таким образом, физически релевантные представления могут быть классифицированы в зависимости от того, m > 0 ; m = 0, но P 0 > 0 ; и m = 0 при P μ = 0 . Вигнер обнаружил, что безмассовые частицы принципиально отличаются от массивных частиц.
- В первом случае, отметит , что подпространство (см обобщенных собственных подпространств неограниченных операторов ) , связанное с Р = ( м, 0,0,0 ) является представлением из SO (3) . В лучевой интерпретации вместо этого можно перейти к Spin (3) . Итак, массивные состояния классифицируются с помощью неприводимого унитарного представления Spin (3), которое характеризует их спин и положительную массу m .
- Во втором случае, смотреть на стабилизатор из P = ( к, 0,0, -k ) . Это двойная крышка из SE (2) (см блок представления луча ). У нас есть два случая: один, когда арматура описывается целым кратным 1/2, называемым спиральностью , а другой - представлением «непрерывного спина».
- Последний случай описывает вакуум . Единственное конечномерное унитарное решение - это тривиальное представление, называемое вакуумом.
Массивные скалярные поля
В качестве примера представим себе неприводимое унитарное представление с m > 0 и s = 0 . Он соответствует пространству массивных скалярных полей .
Пусть M - лист гиперболоида, определяемый:
- , .
Метрика Минковского ограничивается римановой метрикой на M , давая M метрическую структуру гиперболического пространства , в частности, это модель гиперболоида гиперболического пространства, см. Геометрию пространства Минковского для доказательства. Группа Пуанкаре Р действует на М , потому что (забывание действие перевода подгруппы ℝ 4 с добавлением внутри P ) он сохраняет Минковского скалярное произведение , и элемент х перевода подгруппы ℝ 4 группы Пуанкаре действует на L 2 (M ) путем умножения на подходящие фазовые множители ехр (- я р · х ) , где р ∈ М . Эти два действия могут быть объединены в умном способе , используя индуцированные представления , чтобы получить действие Р на L 2 (M) , который комбинирует движения М и фазовое умножения.
Это дает действие группы Пуанкаре на пространстве интегрируемых с квадратом функций, определенных на гиперповерхности M в пространстве Минковского. Их можно рассматривать как меры, определенные на пространстве Минковского, которые сосредоточены на множестве M, определенном формулой
- ,
Преобразование Фурье (по всем четырем переменным) таких мер дает решения с положительной энергией [ требуется пояснение ] конечной энергии уравнения Клейна – Гордона, определенного на пространстве Минковского, а именно
без физических единиц. Таким образом, неприводимое представление m > 0, s = 0 группы Пуанкаре реализуется посредством ее действия на подходящем пространстве решений линейного волнового уравнения.
Теория проективных представлений
Физически нас интересуют неприводимые проективные унитарные представления группы Пуанкаре. В конце концов, два вектора в квантовом гильбертовом пространстве, которые отличаются умножением на константу, представляют одно и то же физическое состояние. Таким образом, два унитарных оператора, которые различаются на несколько единиц, имеют одинаковое действие на физические состояния. Следовательно, унитарные операторы, представляющие симметрию Пуанкаре, определены только с точностью до константы - и, следовательно, закон композиции групп должен выполняться только с точностью до константы.
Согласно теореме Баргманна , каждое проективное унитарное представление группы Пуанкаре соответствует обычному унитарному представлению ее универсальной оболочки, которая является двойной крышкой. (Теорема Баргмана применима, потому что двойное покрытие группы Пуанкаре не допускает нетривиальных одномерных центральных расширений .)
Переход к двойному покрытию важен, потому что он позволяет использовать случаи спина половинных нечетных чисел. В случае положительной массы, например, маленькая группа - это SU (2), а не SO (3); тогда представления SU (2) включают как целочисленные, так и полунечетно-целые случаи спинов.
Поскольку общий критерий в теореме Баргмана не был известен, когда Вигнер проводил свою классификацию, ему нужно было показать вручную (раздел 5 статьи), что фазы могут быть выбраны в операторах так, чтобы они отражали закон состава в группе, с точностью до знак, который затем учитывается переходом к двойному покрытию группы Пуанкаре.
Дальнейшая информация
В эту классификацию не вошли тахионные решения, решения без фиксированной массы, инфрачастицы без фиксированной массы и т. Д. Такие решения имеют физическое значение при рассмотрении виртуальных состояний. Знаменитым примером является случай глубоко неупругого рассеяния , в котором виртуальный космический фотон обменивается между входящим лептоном и входящим адроном . Это оправдывает введение поперечно и продольно поляризованных фотонов и связанной с ними концепции поперечных и продольных структурных функций при рассмотрении этих виртуальных состояний как эффективных датчиков внутреннего кваркового и глюонного содержания адронов. С математической точки зрения рассматривается группа SO (2,1) вместо обычной группы SO (3), встречающейся в обычном массивном случае, описанном выше. Этим объясняется наличие двух векторов поперечной поляризации а также которые удовлетворяют а также , по сравнению с обычным случаем бесплатного бозон с тремя векторами поляризации , каждый из них удовлетворяет .
Смотрите также
- Индуцированное представительство
- Теория представлений группы диффеоморфизмов
- Теория представлений галилеевой группы
- Теория представлений группы Пуанкаре
- Система импримитивности
- Псевдовектор Паули – Любанского
Рекомендации
- Баргманн, В .; Вигнер, EP (1948). «Теоретико-групповое обсуждение релятивистских волновых уравнений» . Proc. Natl. Акад. Sci. США 34 (5): 211–23. Полномочный код : 1948PNAS ... 34..211B . DOI : 10.1073 / pnas.34.5.211 . PMC 1079095 . PMID 16578292 .
- Макки, Джордж (1978). Представления унитарных групп в физике, теории вероятностей и чисел . Серия конспектов лекций по математике. 55 . Издательство Бенджамин / Каммингс . ISBN 978-0805367034..
- Штернберг, Шломо (1994). Теория групп и физика . Издательство Кембриджского университета . Раздел 3.9. (Классификация Вигнера). ISBN 978-0521248709.
- Тунг, Ву-Ки (1985). Теория групп в физике . Всемирная научная издательская компания . Глава 10. (Представления группы Лоренца и группы Пуанкаре; классификация Вигнера). ISBN 978-9971966577.
- Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, том I , издательство Кембриджского университета, глава 2 (Релятивистская квантовая механика) , ISBN 0-521-55001-7
- Вигнер, Е.П. (1939), «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца», Annals of Mathematics , 40 (1): 149–204, Bibcode : 1939AnMat..40..149W , doi : 10.2307 / 1968551 , JSTOR 1968551 , Руководство по ремонту 1503456