В математике , А фальсифицированы гильбертово пространство ( Гельфанд тройная , вложенными гильбертово пространство , оборудованный гильбертово пространство ) представляет собой конструкцию , предназначен , чтобы связать распределение и квадратно-интегрируемые аспекты функционального анализа . Такие пространства были введены для изучения спектральной теории в широком смысле. [ расплывчато ] Они объединяют « связанное состояние » ( собственный вектор ) и « непрерывный спектр » в одном месте.
Мотивация
Такая функция, как канонический гомоморфизм вещественной прямой на комплексную плоскость
является собственной функцией от дифференциального оператора
на вещественной прямой R , но не интегрируемых с квадратом для обычной меры Бореля на R . Чтобы правильно рассматривать эту функцию как собственную функцию, требуется некоторый способ выйти за строгие рамки теории гильбертова пространства . Это было обеспечено аппаратом распределений Шварца , и после 1950 г. была разработана обобщенная теория собственных функций .
Подход функционального анализа
Концепция оснащенного гильбертова пространства помещает эту идею в абстрактную функционально-аналитическую структуру. Формально оснащенное гильбертово пространство состоит из гильбертова пространства H вместе с подпространством Φ, несущим более тонкую топологию , то есть такую, для которой естественное включение
непрерывно. Это не без потерь считать , что Φ является плотным в H для нормы Гильберта. Рассмотрим включение двойственных пространств H * в Φ * . Последний, двойственный к Φ в своей топологии `` пробной функции '', реализуется как пространство распределений или обобщенных функций некоторого вида, а линейные функционалы на подпространстве Φ типа
для v в H точно представлены как распределения (потому что мы предполагаем, что Φ плотно).
Теперь, применяя теорему Рисса мы можем определить H * с H . Таким образом, оснащенное гильбертово пространство определяется в терминах сэндвича:
Наиболее показательными примерами являются те, для которых Ф - ядерное пространство ; этот комментарий является абстрактным выражением идеи, что Φ состоит из тестовых функций, а Φ * - из соответствующих распределений . Также простой пример дают пространства Соболева : Здесь (в простейшем случае соболевских пространств на)
где .
Формальное определение (тройка Гельфанда)
Фальсифицированы гильбертово пространство является парой ( Н , Φ) с Н гильбертово пространство, Φ плотное подпространство, такое , что Φ дается топологическое векторное пространство структуры , для которых отображение включения я непрерывно.
Отождествляя H с его двойственным пространством H * , сопряженным к i является отображение
Сопряжение двойственности между Φ и Φ * тогда совместимо со скалярным произведением на H в том смысле, что:
в любое время а также . В случае комплексных гильбертовых пространств мы используем эрмитово скалярное произведение; она будет комплексной линейной по u (математическое соглашение) или v (физическое соглашение) и сопряженно-линейной (комплексной антилинейной) по другой переменной.
Тройка часто называют «тройкой Гельфанда» (в честь математика Израиля Гельфанда ).
Заметим, что даже несмотря на то, что Φ изоморфно Φ *, если случается, что Φ является гильбертовым пространством само по себе, этот изоморфизм не то же самое, что композиция включения i с присоединенным к нему i *
Рекомендации
- Ж.-П. Антуан, Квантовая механика за пределами гильбертова пространства (1996), появившаяся в книге «Необратимость и причинность, полугруппы и оснащенные гильбертовы пространства» , Арно Бом, Хайнц-Дитрих Добнер, Петр Келановски, ред., Springer-Verlag, ISBN 3-540-64305-2 . (Предоставляет обзор опроса.)
- J. Dieudonné , Éléments d'analyse VII (1978). (Смотрите параграфы 23.8 и 23.32.)
- И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин. Обобщенные функции, т. 4: Некоторые приложения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. Academic Press, Нью-Йорк, 1964.
- К. Маурин, Разложения по обобщенным собственным функциям и унитарные представления топологических групп , Польское научное издательство, Варшава, 1968.
- Р. де ла Мадрид, "Квантовая механика на языке оснащенного гильбертова пространства", докторская диссертация (2001).
- Р. де ла Мадрид, "Роль оснащенного гильбертова пространства в квантовой механике", Eur. J. Phys. 26, 287 (2005); квант-ph / 0502053 .
- Минлос, Р.А. (2001) [1994], "Rigged_Hilbert_space" , Энциклопедия математики , EMS Press