В области теории представлений в математике , А проективное представление о группе G на векторном пространстве V над полем Р является группа гомоморфизм из G в проективную линейную группу
- PGL ( V ) = GL ( V ) / F ∗ ,
где GL ( V ) - общая линейная группа обратимых линейных преобразований V над F , а F ∗ - нормальная подгруппа, состоящая из ненулевых скалярных кратных тождественного преобразования (см. Скалярное преобразование ). [1]
Говоря более конкретно, проективное представление - это набор операторов , где подразумевается, что каждый определяется только с точностью до умножения на константу. Они должны удовлетворять свойству гомоморфизма с точностью до константы:
для некоторых констант .
Поскольку каждый в любом случае определяется только с точностью до константы, строго говоря, не имеет смысла спрашивать, являются ли константы равны 1. Тем не менее, возникает вопрос, можно ли выбрать конкретного представителя каждой семьи? операторов таким образом, чтобы удовлетворяют свойству гомоморфизма на носу, а не только с точностью до константы. Если такой выбор возможен, мы говорим, что может быть "лишен проекции" или что может быть «возведен к обычному представлению». Эта возможность обсуждается ниже.
Линейные представления и проективные представления
Один из способов возникновения проективного представления - это взять линейное групповое представление группы G на V и применить фактор-отображение
что фактор по подгруппе F * из скалярных преобразований ( диагональных матриц со всеми диагональными элементами равно). Интерес к алгебре находится в другом направлении: учитывая проективное представление , попробуйте «поднять» его до обычного линейного представления . Общее проективное представление ρ : G → PGL ( V ) не может быть поднято до линейного представления G → GL ( V ) , и препятствие к этому поднятию можно понять через групповые когомологии, как описано ниже.
Однако можно поднять проективное представлениеот G до линейного представления другой группы H , который будет представлять собой центральное расширение из G . Группа является подгруппой определяется следующим образом:
- ,
где это фактор-карта на . С является гомоморфизмом, легко проверить, что действительно является подгруппой . Если исходное проективное представление верен, тогда изоморфен прообразу в из .
Мы можем определить гомоморфизм установив . Ядро является:
- ,
который содержится в центре . Ясно также, что сюръективно, так что является центральным продолжением . Мы также можем определить обычное представление из установив . Обычное представление из является лифтом проективного представления из в смысле:
- .
Если G является совершенной группой существует единое универсальное совершенное центральное расширение из G , которые могут быть использованы.
Групповые когомологии
Анализ вопроса о подъеме затрагивает групповые когомологии . В самом деле, если зафиксировать для каждого g в G поднятый элемент L ( g ) при поднятии из PGL ( V ) обратно в GL ( V ) , тогда подъемы удовлетворяют
для некоторого скаляра c ( g , h ) в F ∗ . Отсюда следует, что 2-коцикл или множитель Шура c удовлетворяет уравнению коцикла
для всех г , ч , к в G . Это c зависит от выбора подъемника L ; другой выбор подъемной силы L ′ ( g ) = f ( g ) L ( g ) приведет к другому коциклу
когомологичен c . Таким образом, L определяет единственный класс в H 2 ( G , F ∗ ) . Этот класс может быть нетривиальным. Например, в случае симметрической группы и знакопеременной группы Шур установил, что существует ровно один нетривиальный класс множителей Шура, и полностью определил все соответствующие неприводимые представления. [2]
В общем, нетривиальный класс приводит к проблеме расширения для G . Если G правильно расширен , мы получаем линейное представление расширенной группы, которая вызывает первоначальное проективное представление , когда оттеснил вниз к G . Решением всегда является центральное расширение . Из леммы Шура следует , что неприводимые представления центральных расширений группы G и неприводимые проективные представления группы G по сути являются одними и теми же объектами.
Первый пример: дискретное преобразование Фурье
Рассмотрим поле целых чисел , где простое, и пусть быть -мерное пространство функций на со значениями в . Для каждого в , определим два оператора, а также на следующим образом:
Запишем формулу для будто а также были целыми числами, но легко видеть, что результат зависит только от значения а также мод . Оператор это перевод, а сдвиг в частотном пространстве (то есть, он имеет эффект переводя дискретного преобразования Фурье из).
Легко проверить, что для любого а также в , операторы а также коммутируют с точностью до умножения на константу:
- .
Поэтому мы можем определить проективное представление из следующим образом:
- ,
где обозначает образ оператора в фактор-группе . С а также ездить до постоянной, легко видеть, что это проективное представление. С другой стороны, поскольку а также на самом деле не ездят - и никакие ненулевые кратные им не будут ездить - нельзя поднять до обычного (линейного) представления .
Поскольку проективное представление верен, центральное расширение из полученный конструкцией в предыдущем разделе, является лишь прообразом в изображения . В явном виде это означает, что группа всех операторов вида
для . Эта группа является дискретной версией группы Гейзенберга и изоморфна группе матриц вида
с участием .
Проективные представления групп Ли
Изучение проективных представлений групп Ли приводит к рассмотрению истинных представлений их центральных расширений (см. Расширение групп § Группы Ли ). Во многих интересных случаях достаточно рассмотреть представления накрывающих групп . В частности, предположим является связным покрытием связной группы Ли , чтобы для дискретной центральной подгруппы из . (Обратите внимание, что является особым видом центрального расширения .) Предположим также, что является неприводимым унитарным представлением (возможно бесконечное измерение). Тогда по лемме Шура центральная подгруппабудет действовать скалярными кратными идентичности. Таким образом, на проективном уровне спустится к . То есть для каждого, мы можем выбрать прообраз из в , и определим проективное представление из установив
- ,
где обозначает изображение в оператора . С содержится в центре и центр действует как скаляр , значение не зависит от выбора .
Предыдущая конструкция - важный источник примеров проективных представлений. Теорема Баргмана (обсуждается ниже) дает критерий, при котором каждое неприводимое проективное унитарное представление возникает таким образом.
Проективные представления SO (3)
Физически важный пример приведенной выше конструкции возникает в случае группы вращений SO (3) , универсальное покрытие которой - SU (2) . Согласно теории представлений SU (2) , существует ровно одно неприводимое представление SU (2) в каждом измерении. Когда размерность нечетная (случай «целочисленного вращения»), представление опускается до обычного представления SO (3). [3] Когда размерность четная (случай «дробного спина»), представление не опускается до обычного представления SO (3), но (согласно результату, обсужденному выше) спускается к проективному представлению SO (3) . Такие проективные представления SO (3) (те, которые не происходят из обычных представлений) называются «спинорными представлениями».
Согласно рассуждению, обсуждаемому ниже, любое конечномерное неприводимое проективное представление SO (3) происходит из конечномерного неприводимого обычного представления SU (2).
Примеры покрытий, приводящих к проективным представлениям
Известные случаи покрывающих групп, дающих интересные проективные представления:
- Специальная ортогональная группа SO ( п , Р ) двукратно покрывается Спин группы Spin ( п , F ).
- В частности, группа SO (3) (группа вращений в трехмерном пространстве) дважды покрывается SU (2) . Это имеет важные приложения в квантовой механике, поскольку изучение представлений SU (2) приводит к нерелятивистской (низкоскоростной) теории спина .
- Группа SO + (3; 1) , изоморфная группе Мёбиуса , также дважды покрывается SL 2 ( C ). Обе являются супергруппами вышеупомянутых SO (3) и SU (2) соответственно и образуют релятивистскую спиновую теорию.
- Универсальное покрытие группы Пуанкаре - это двойное покрытие (полупрямое произведение SL 2 ( C ) на R 4 ). Неприводимые унитарные представления этого покрытия порождают проективные представления группы Пуанкаре, как в классификации Вигнера . Переход к обложке необходим, чтобы включить случай дробного отжима.
- Ортогональная группа О ( п ) является дважды покрыта Pin группы Pin ± ( п ).
- Симплектическая группу Sp (2 л ) = Sp (2 н , R ) (не следует путать с компактной вещественной формой симплектической группы, иногда также обозначается через Sp ( м )) является дважды покрыт метаплектической группой Mp (2 п ). Важное проективное представление Sp (2 n ) происходит из метаплектического представления Mp (2 n ).
Конечномерные проективные унитарные представления
В квантовой физике симметрия физической системы обычно реализуется посредством проективного унитарного представления. группы Ли на квантовом гильбертовом пространстве, т. е. непрерывный гомоморфизм
где фактор унитарной группы операторами вида . Причина использования частного состоит в том, что физически два вектора в гильбертовом пространстве, которые пропорциональны, представляют одно и то же физическое состояние. [То есть пространство (чистых) состояний - это набор классов эквивалентности единичных векторов , где два единичных вектора считаются эквивалентными, если они пропорциональны.] Таким образом, унитарный оператор, кратный единице, фактически действует как личность на уровне физических состояний.
Конечномерное проективное представление тогда порождает проективное унитарное представление алгебры Ли из . В конечномерном случае всегда можно «депроективизировать» представление алгебры Ли просто выбрав представителя для каждого с нулевым следом. [4] В свете теоремы о гомоморфизмах тогда можно депроективизировать сам, но за счет перехода на универсальный чехол из . [5] То есть каждое конечномерное проективное унитарное представление возникает из обычного унитарного представления в соответствии с процедурой, указанной в начале этого раздела.
В частности, поскольку представление алгебры Ли было депроективизировано путем выбора представителя с нулевым следом, каждое конечномерное проективное унитарное представление возникает из детерминанта - обычного унитарного представления (т.е. такой, в котором каждый элемент действует как оператор с определителем). Если полупрост, то каждый элемент является линейной комбинацией коммутаторов, и в этом случае каждое представлениеоператорами с нулевым следом. Тогда в полупростом случае соответствующее линейное представление уникален.
Наоборот, если является неприводимым унитарным представлением универсальной накрывающей из , то по лемме Шура центрдействует как скалярное кратное идентичности. Таким образом, на проективном уровне спускается к проективному представлению исходной группы . Таким образом, существует естественное взаимно однозначное соответствие между неприводимыми проективными представлениями и неприводимые, детерминантно-обычные представления . (В полупростом случае квалификатор "определитель-один" может быть опущен, потому что в этом случае каждое представление автоматически определяется.)
Важным примером является случай SO (3) , универсальным покрытием которого является SU (2) . Теперь алгебра Липолупростой. Более того, поскольку SU (2) - компактная группа , каждое ее конечномерное представление допускает скалярное произведение, относительно которого представление унитарно. [6] Таким образом, неприводимые проективные представления группы SO (3) находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми обычными представлениями группы SU (2).
Бесконечномерные проективные унитарные представления: случай Гейзенберга
Результаты предыдущего пункта не верны в бесконечномерном случае просто потому, что след обычно не очень хорошо определяется. В самом деле, результат неверен: рассмотрим, например, трансляции в позиционном пространстве и в импульсном пространстве для квантовой частицы, движущейся в, действующий в гильбертовом пространстве . [7] Эти операторы определены следующим образом:
для всех . Эти операторы представляют собой просто непрерывные версии операторов а также описано в разделе «Первый пример» выше. Как и в этом разделе, мы можем затем определить проективное унитарное представление из :
потому что операторы коммутируют до фазового фактора. Но никакой выбор фазовых множителей не приведет к обычному унитарному представлению, поскольку сдвиги по положению не коммутируют со сдвигами по импульсу (и умножение на ненулевую константу этого не изменит). Однако эти операторы происходят из обычного унитарного представления группы Гейзенберга , которая является одномерным центральным расширением группы Гейзенберга.. [8] (См. Также теорему Стоуна – фон Неймана .)
Бесконечномерные проективные унитарные представления: теорема Баргмана
С другой стороны, теорема Баргмана утверждает, что если когомологии двумерной алгебры Ли из тривиально, то всякое проективное унитарное представление можно де-проективизировать после перехода на универсальную обложку. [9] [10] Точнее, предположим, что мы начинаем с проективного унитарного представления группы Ли . Тогда теорема утверждает, что можно поднять до обычного унитарного представления универсального покрытия из . Это значит, что отображает каждый элемент ядра карты покрытия в скалярное кратное тождества, так что на проективном уровне спускается к - и что ассоциированное проективное представление равно .
Теорема не распространяется на группу - как показывает предыдущий пример - потому что двумерные когомологии ассоциированной коммутативной алгебры Ли нетривиальны. Примеры, в которых результат действительно применим, включают полупростые группы (например, SL (2, R) ) и группу Пуанкаре . Этот последний результат важен для классификации Вигнера проективных унитарных представлений группы Пуанкаре.
Доказательство теоремы Баргмана проводится путем рассмотрения центрального расширения из , построенная аналогично предыдущему разделу о линейных представлениях и проективных представлениях, как подгруппа группы прямых произведений , где гильбертово пространство, на котором действует и группа унитарных операторов на . Группа определяется как
Как и в предыдущем разделе, карта дано является сюръективным гомоморфизмом, ядро которого чтобы является центральным продолжением . Опять же, как и в предыдущем разделе, мы можем затем определить линейное представление из установив . потом это лифт в смысле , где это фактор-карта из к .
Ключевой технический момент - показать, что является Ли группа. (Это утверждение не так очевидно, потому что если бесконечномерна, группа является бесконечномерной топологической группой.) Как только этот результат установлен, мы видим, что является одномерным центральным расширением группы Ли , так что алгебра Ли из также является одномерным центральным расширением (обратите внимание, что прилагательное «одномерный» не относится к а также , а скорее к ядру карты проекции от этих объектов на а также соответственно). Но группа когомологий можно отождествить с пространством одномерных (опять же в указанном выше смысле) центральных расширений; если тривиально, то всякое одномерное центральное расширение тривиально. В этом случае, это просто прямая сумма с копией реальной линии. Отсюда следует, что универсальная крышка из должен быть прямым продуктом универсального покрытия с копией реальной линии. Затем мы можем поднять из к (составив карту покрытия) и, наконец, ограничим этот подъем универсальным покрытием из .
Заметки
- Перейти ↑ Gannon 2006 , pp. 176–179.
- ^ Шур 1911
- ^ Зал 2015 Раздел 4.7
- ^ Hall 2013 Предложение 16,46
- ^ Холл 2013 Теорема 16.47
- ^ Холл 2015 доказательство теоремы 4.28
- ^ Холл 2013 Пример 16.56
- ↑ Hall 2013 Упражнение 6 в главе 14
- ^ Баргманн 1954
- ^ Симмс 1971
Рекомендации
- Баргманна, Валентин (1954), "Об унитарных лучевых представлений непрерывных групп", Анналы математики , 59 (1): 1-46, DOI : 10,2307 / 1969831 , JSTOR 1969831
- Гэннон, Терри (2006), Самогон за гранью монстра: мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83531-2
- Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Шур, И. (1911), "Uber die Darstellung der simrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen" , Crelle's Journal , 139 : 155–250
- Simms, DJ (1971), «Краткое доказательство критерия Баргмана для подъема проективных представлений групп Ли», Reports on Mathematical Physics , 2 (4): 283–287, doi : 10.1016 / 0034-4877 (71) 90011 -5
Смотрите также
- Аффинное представление
- Групповое действие
- Центральное расширение
- Физика элементарных частиц и теория представлений
- Спин-½
- Спинор
- Симметрия в квантовой механике
- Группа Гейзенберга