В специальной теории относительности , четыре импульса является обобщением классического трехмерного импульса в четырехмерное пространство - время . Импульс - это вектор в трех измерениях ; аналогично четырехмерный импульс - это четырехмерный вектор в пространстве-времени . Контравариантный четыре-импульс частицы с релятивистской энергией Е и три-импульсом р = ( р х , р у , р г ) = Тм v , где v это три-скорость частицы иγ - фактор Лоренца , равен
Величина m v, указанная выше, является обычным нерелятивистским импульсом частицы и m ее массой покоя . Четырехимпульс полезен в релятивистских вычислениях, потому что это ковариантный вектор Лоренца . Это означает, что легко проследить, как он трансформируется при преобразованиях Лоренца .
Выше определение применяется согласно координатной конвенции , что х 0 = кт . Некоторые авторы используют конвенции х 0 = т , что дает модифицированное определение с р 0 = Е / с 2 . Кроме того , можно определить ковариантные четыре-импульса р М , где знак энергии (или знак трех-импульса, в зависимости от выбранной сигнатуры метрики) будет отменен.
Норма Минковского
Вычисление квадрата нормы Минковского четырехимпульса дает лоренц-инвариантную величину, равную (с точностью до множителей скорости света c ) квадрату собственной массы частицы :
где
является метрический тензор из специальной теории относительности с метрикой сигнатуры для определенности выбирается равным (-1, 1, 1, 1) . Отрицательность нормы отражает то, что импульс является времениподобным четырехвектором для массивных частиц. Другой выбор подписи изменил бы знаки в определенных формулах (например, для нормы здесь). Этот выбор не важен, но, однажды сделанный, он должен сохраняться во всем.
Норма Минковского является инвариантом Лоренца, то есть ее значение не изменяется преобразованиями / повышением Лоренца в различных системах отсчета. Вообще говоря, для любых двух четырех импульсов p и q величина p ⋅ q инвариантна.
Отношение к четырехскоростной
Для массивной частицы четырехмерный импульс задается инвариантной массой частицы m, умноженной на четырехскоростную скорость частицы ,
где четырехскорость u равна
а также
- фактор Лоренца (связанный со скоростью v ), c - скорость света .
Вывод
Есть несколько способов прийти к правильному выражению для четырехимпульса. Один из способов - сначала определить четырехмерную скорость u = dx / dτ и просто определить p = mu , довольствуясь тем, что это четырехмерный вектор с правильными единицами измерения и правильным поведением. Другой, более удовлетворительный подход состоит в том, чтобы начать с принципа наименьшего действия и использовать лагранжевы рамки для получения четырех импульсов, включая выражение для энергии. [1] Можно сразу, используя наблюдения , описанные ниже, определяют четыре импульса от действия S . Учитывая, что в общем случае для замкнутой системы с обобщенными координатами q i и каноническими импульсами p i , [2]
это немедленно (вспоминая x 0 = ct , x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z и x 0 = - x 0 , x 1 = x 1 , x 2 = x 2 , x 3 = x 3 в настоящее метрическое соглашение), что
является ковариантным четырехвектором с трехвекторной частью, являющейся (отрицательной) каноническим импульсом.
Сначала рассмотрим систему с одной степенью свободы q . При выводе уравнений движения из действия с использованием принципа Гамильтона обнаруживается (как правило) промежуточная стадия для изменения действия:
Предполагается, что различные пути удовлетворяют условию δq ( t 1 ) = δq ( t 2 ) = 0 , из которого сразу следуют уравнения Лагранжа . Когда уравнения движения известны (или просто предполагаются выполненными), можно отказаться от требования δq ( t 2 ) = 0 . В этом случае предполагается, что траектория удовлетворяет уравнениям движения, и действие является функцией верхнего предела интегрирования δq ( t 2 ) , но t 2 все еще фиксируется. Вышеупомянутое уравнение становится с S = S ( q ) , и определяя δq ( t 2 ) = δq , и допуская большее количество степеней свободы,
Наблюдая за этим
один вывод
Аналогичным образом оставьте конечные точки фиксированными, но пусть t 2 = t меняется. На этот раз системе позволено перемещаться через конфигурационное пространство с «произвольной скоростью» или с «большей или меньшей энергией», уравнения поля по-прежнему выполняются, и можно изменять интеграл, но вместо этого наблюдайте
по основной теореме исчисления . Вычислите, используя приведенное выше выражение для канонических импульсов,
Теперь используя
где H - гамильтониан , приводит к, поскольку E = H в данном случае,
Между прочим, используя H = H ( q , p , t ) с p =∂ S/∂ qв приведенном выше уравнении дает уравнения Гамильтона – Якоби . В этом контексте S называется главной функцией Гамильтона .
Действие S задается формулой
где L - релятивистский лагранжиан для свободной частицы. Из этого,
Вариант действия
Чтобы вычислить δds , сначала заметьте , что δds 2 = 2 dsδds и что
Так
или же
и поэтому
что просто
где на втором этапе используются уравнения поля du μ / ds = 0 , ( δx μ ) t 1 = 0 и ( δx μ ) t 2 ≡ δx μ, как в наблюдениях выше. Теперь сравните последние три выражения, чтобы найти
с нормой - m 2 c 2 , и знаменитым результатом для релятивистской энергии,
где m r - немодная релятивистская масса , следует. Сравнивая выражения для импульса и энергии напрямую, получаем
это верно и для безмассовых частиц. Возводя в квадрат выражения для энергии и трехимпульса и связывая их, получаем соотношение энергия-импульс :
Подстановка
в уравнении для нормы дает релятивистское уравнение Гамильтона – Якоби , [3]
Также возможно получить результаты напрямую из лагранжиана. По определению [4]
которые представляют собой стандартные формулы для канонического импульса и энергии замкнутой (не зависящей от времени лагранжевой) системы. При таком подходе менее очевидно, что энергия и импульс являются частями четырехвектора.
Энергия и трехимпульс являются отдельно сохраняющимися величинами для изолированных систем в лагранжевых рамках. Следовательно, сохраняется и четырехимпульс. Подробнее об этом ниже.
Более простые подходы включают ожидаемое поведение в электродинамике. [5] В этом подходе отправной точкой является применение закона силы Лоренца и второго закона Ньютона в системе покоя частицы. Свойства преобразования тензора электромагнитного поля, включая инвариантность электрического заряда , затем используются для преобразования в лабораторную систему, и полученное выражение (снова закон силы Лоренца) интерпретируется в духе второго закона Ньютона, что приводит к правильному выражению для релятивистского трехимпульса. Недостатком, конечно же, является то, что не сразу ясно, применим ли результат ко всем частицам, независимо от того, заряжены они или нет, и что он не дает полного четырехвектора.
Также можно избежать электромагнетизма и использовать хорошо настроенные мысленные эксперименты с участием хорошо обученных физиков, бросающих бильярдные шары, используя знание формулы сложения скоростей и предполагая сохранение количества движения. [6] [7] Это тоже дает только трехвекторную часть.
Сохранение четырехмерного импульса
Как показано выше, существует три закона сохранения (не независимые, последние два подразумевают первый и наоборот):
- Четырехмерный импульс p (ковариантный или контравариантный) сохраняется.
- Полная энергия E = p 0 c сохраняется.
- 3-космический импульс сохраняется (не путать с классическим нерелятивистским импульсом ).
Обратите внимание, что инвариантная масса системы частиц может быть больше, чем сумма масс покоя частиц, поскольку кинетическая энергия в системе координат центра масс и потенциальная энергия сил между частицами вносят вклад в инвариантную массу. Например, две частицы с четырьмя импульсами (5 ГэВ / c , 4 ГэВ / c , 0, 0) и (5 ГэВ / c , −4 ГэВ / c , 0, 0) каждая имеют массу (покоя) 3 ГэВ. / c 2 по отдельности, но их общая масса (масса системы) составляет 10 ГэВ / c 2 . Если бы эти частицы столкнулись и прилипли, масса составного объекта составила бы 10 ГэВ / c 2 .
Одно из практических приложений сохранения инвариантной массы из физики элементарных частиц включает объединение четырех импульсов p A и p B двух дочерних частиц, образовавшихся при распаде более тяжелой частицы, с четырехимпульсом p C, чтобы найти массу более тяжелой частицы. . Сохранение четырехимпульса дает p C μ = p A μ + p B μ , в то время как масса M более тяжелой частицы определяется выражением - P C ⋅ P C = M 2 c 2 . Путем измерения энергии и три-импульсы дочерних частиц, можно реконструировать инвариантную массу системы двух частиц, который должен быть равен М . Этот метод используется, например, в экспериментальных поисках Z 'бозонов на частицы высоких энергий коллайдеров , где Z' бозон будет отображаться как выпуклость в спектре инвариантных масс электрона - позитрон или мюоны -antimuon пар.
Если масса объекта не изменяется, внутреннее произведение Минковского его четырех импульсов и соответствующих четырех ускорений A μ просто равно нулю. Четырехскоростное ускорение пропорционально производной по собственному времени четырехмерного импульса, деленной на массу частицы, поэтому
Канонический импульс при наличии электромагнитного потенциала
Для заряженной частицы с зарядом q , движущейся в электромагнитном поле, заданном электромагнитным четырехпотенциалом :
где Φ - скалярный потенциал и A = ( A x , A y , A z ) - векторный потенциал , компоненты (не калибровочно-инвариантного ) канонического четырехвектора импульса P равны
Это, в свою очередь, позволяет компактно включить потенциальную энергию заряженной частицы в электростатический потенциал и силу Лоренца на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, в релятивистскую квантовую механику .
Смотрите также
- Четыре силы
- Четыре градиента
- Псевдовектор Паули – Любанского
Рекомендации
- ↑ Ландау и Лифшиц, 2002 , стр. 25–29.
- ↑ Ландау и Лифшиц, 1975 , стр.139.
- ^ Ландау и Лифшиц 1975 , стр. 30
- ↑ Ландау и Лифшиц, 1975 , стр. 15–16.
- ^ Сард 1970 , раздел 3.1
- ^ Сард 1970 , раздел 3.2
- ^ Lewis & Tolman 1909 Версия Wikisource
- Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Addison – Wesley Pub. Co. ISBN 978-0201029185.
- Ландау, ЛД ; Лифшиц, Е.М. (1975) [1939]. Механика . Перевод с русского Дж. Б. Сайкса и Дж . С. Белла . (3-е изд.). Амстердам: Эльзевир. ISBN 978-0-7506-28969.
- Ландау, ЛД; Лифшиц, Э.М. (2000). Классическая теория полей . 4-я ред. Английское издание, переизданное с исправлениями; перевод с русского Мортона Хамермеша. Оксфорд: Баттерворт Хайнеманн. ISBN 9780750627689.
- Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853952-0.
- Сард, RD (1970). Релятивистская механика - специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: В. А. Бенджамин. ISBN 978-0805384918.
- Льюис, GN ; Толман, Р. К. (1909). «Принцип относительности и неньютоновская механика» . Фил. Mag . 6. 18 (106): 510–523. DOI : 10.1080 / 14786441008636725 . Версия Wikisource